條件概率及有關(guān)公式)

1、條件概率及有關(guān)公式條件概率及有關(guān)公式第一章第一章 概率論的基本概率論的基本概念概念 在解決許多概率問題時，往往需要在在解決許多概率問題時，往往需要在有某些附加信息有某些附加信息(條件條件)下求事件的概率下求事件的概率.一、條件概率一、條件概率1. 條件概率的概念條件概率的概念 如在事件如在事件B發(fā)生的條件下求事件發(fā)生的條件下求事件A發(fā)生發(fā)生的概率，將此概率記作的概率，將此概率記作P(A|B). 一般一般 P(A|B) P(A) P(A )=1/6，例例1. 擲一顆均勻骰子，擲一顆均勻骰子，A=擲出擲出2點點， B=擲出偶數(shù)點擲出偶數(shù)點，P(A|B)=？擲骰子擲骰子 已知事件已知事件B發(fā)生，此時

2、試驗所有可發(fā)生，此時試驗所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合就是能結(jié)果構(gòu)成的集合就是B，于是于是 P(A|B)= 1/3. B中共有中共有3個元素，它們的出現(xiàn)個元素，它們的出現(xiàn)等可能的，其中只有等可能的，其中只有1個在集個在集A中，中，容易看到容易看到)()(636131BPABPP(A|B) 若事件若事件B已發(fā)生已發(fā)生,則為使則為使 A也發(fā)生也發(fā)生 , 試驗結(jié)果必須是既在試驗結(jié)果必須是既在 B 中又在中又在A中的樣本點中的樣本點,即此點即此點必屬于必屬于AB. 由于我們已經(jīng)知道由于我們已經(jīng)知道B已發(fā)生已發(fā)生, 故故B變成了新的樣本變成了新的樣本空間空間, 于是于是 有有(1). SABAB2. 2. 條件

3、概率的定義條件概率的定義定義定義: 設(shè)設(shè)A、B是兩個事件，且是兩個事件，且P(B)0,則稱則稱 (1)()()|(BPABPBAP 為在事件為在事件B發(fā)生的條件下發(fā)生的條件下,事件事件A的條件概率的條件概率.條件概率也是概率條件概率也是概率, , 故具有概率的性質(zhì)：故具有概率的性質(zhì)：0)(ABP1)(AP11iiiiABPABPq 非負性非負性q 規(guī)范規(guī)范性性 q 可列可加性可列可加性 )()()()(212121ABBPABPABPABBP)(1)(ABPABP例例2. 某廠生產(chǎn)的燈泡能用某廠生產(chǎn)的燈泡能用1000小時的概率小時的概率為為0.8, 能用能用1500小時的概率為小時的概率為0.

4、4 , 求已用求已用1000小時的燈泡能用到小時的燈泡能用到1500小時的概率小時的概率.解解 令令 A 燈泡能用到燈泡能用到1000小時小時 B 燈泡能用到燈泡能用到1500小時小時所求概率為所求概率為)()(APABPABPAB218 . 04 . 0)()(APBP由條件概率的定義：由條件概率的定義：即即 若若P(B)0,則則P(AB)=P(B)P(A|B) (2)()()|(BPABPBAP二、二、 乘法公式乘法公式若已知若已知P(B), P(A|B)時時, 可以反求可以反求P(AB).稱為乘法公式稱為乘法公式 P (A1A2An）=P(A1)P(A2|A1) P(An| A1A2An

5、-1)推廣：推廣：當(dāng)當(dāng)P(A1A2An-1)0時，有：時，有： 特別地，特別地，有：有：P (A1A2A3）=P(A1)P(A2|A1) P(A3| A1A2)例例3 3 盒中裝有盒中裝有5個產(chǎn)品個產(chǎn)品, 其中其中3個一等品，個一等品，2個個二等品二等品, 從中不放回地取產(chǎn)品從中不放回地取產(chǎn)品, 每次每次1個個, 求求（1）取兩次，兩次都取得一等品的概率）取兩次，兩次都取得一等品的概率;（2）取兩次，第二次取得一等品的概率）取兩次，第二次取得一等品的概率;（3）取三次，第三次才取得一等品的概率）取三次，第三次才取得一等品的概率;（4）取兩次，已知第二次取得一等品，求）取兩次，已知第二次取得一等

6、品，求 第一次取得的是二等品的概率第一次取得的是二等品的概率.解解 令令 Ai 為第為第 i 次取到一等品次取到一等品（1）1034253)()()(12121AAPAPAAP)()()()(212121212AAPAAPAAAAPAP5342534352（2）取兩次）取兩次,第二次取得一等品的概率第二次取得一等品的概率;（3）取三次，第三次才取得一等品的概率）取三次，第三次才取得一等品的概率; 213121321)(AAAPAAPAPAAAP101334152)()()()()(221222121APAAPAPAPAAPAAP31035=1-=0.5 P A- B = P A - P AB（

7、4）取兩次，已知第二次取得一等品，求）取兩次，已知第二次取得一等品，求 第一次取得的是二等品的概率第一次取得的是二等品的概率. 例例4(波里亞罐子模型波里亞罐子模型). 一個罐子中包含一個罐子中包含b個個白球和白球和r個紅球個紅球. 隨機地抽取一個球，觀看顏隨機地抽取一個球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進色后放回罐中，并且再加進c個與所抽出的球個與所抽出的球具有相同顏色的球具有相同顏色的球. 這種手續(xù)進行四次這種手續(xù)進行四次, 試求試求第一、二次取到白球且第三、第一、二次取到白球且第三、 四次取到紅球四次取到紅球的概率的概率. b個白球個白球, r個紅球個紅球分析分析: 隨機取一個球隨機取一個

8、球,觀看顏觀看顏色后放回罐中色后放回罐中,并且再加進并且再加進c個與所抽出的球具有相同顏個與所抽出的球具有相同顏色的球色的球. 于是于是W1W2R3R4表示事件表示事件“連續(xù)取四個球連續(xù)取四個球，第一、第二個是白球，第三、四個是紅球，第一、第二個是白球，第三、四個是紅球. ” 解解: 設(shè)設(shè)Wi=第第i次取出是白球次取出是白球, i=1,2,3,4 Rj=第第j次取出是紅球次取出是紅球， j=1,2,3,4b=b+ r=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)(乘法公式乘法公式)b+cb+ r +c2rb+ r + c3r +cb+ r + c

9、b個白球個白球, r個紅球個紅球 全概率公式和貝葉斯公式主要用于計算全概率公式和貝葉斯公式主要用于計算比較復(fù)雜事件的概率比較復(fù)雜事件的概率, 它們它們實質(zhì)上是加法公實質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運用式和乘法公式的綜合運用. 綜合運用綜合運用加法公式加法公式P(AB)=P(A)+P(B)A、B互斥互斥乘法公式乘法公式P(AB)= P(A)P(B|A)P(A)0二、全概率公式與貝葉斯公式二、全概率公式與貝葉斯公式.,2;, 2 , 1,1,21210021的的一一個個劃劃分分為為樣樣本本空空間間則則稱稱若若的的一一組組事事件件為為的的樣樣本本空空間間為為試試驗驗設(shè)設(shè)定定義義nnjinAAAAAA

10、njiAAEAAAE 樣本空間的劃分：樣本空間的劃分：1A2A3AnA1nA稱為稱為全概率公式全概率公式. BB1niii=P=P A PA則對任一事件則對任一事件B，有，有定理定理:設(shè)設(shè) 為隨機試驗為隨機試驗E的樣本空間的樣本空間, A1,A2,An是樣本空間的一個劃分是樣本空間的一個劃分,且有且有P(Ai)0, i =1,2,n,全概率公式的說明全概率公式的說明:“全全”部概率部概率P(B)被被分解成了許多部分分解成了許多部分之和之和.(1)它的理論和實用意義在于它的理論和實用意義在于:A1A2A3A4A5A6A7A8B 在較復(fù)雜情況下直接計算在較復(fù)雜情況下直接計算P(B)不易不易,但但B

11、總是伴隨著某個總是伴隨著某個Ai出現(xiàn)出現(xiàn)(分類分類），適當(dāng)?shù)厝ィ?，適當(dāng)?shù)厝?gòu)造這一組構(gòu)造這一組Ai往往可以簡化計算往往可以簡化計算.(2).全概率公式的另一個角度理解全概率公式的另一個角度理解: 某 一 事 件某 一 事 件 B 的 發(fā) 生 有 各 種 可 能 的 原 因的 發(fā) 生 有 各 種 可 能 的 原 因Ai(i=1,2,n)，如果，如果B是由原因是由原因Ai所引起，則所引起，則B發(fā)生的概率是發(fā)生的概率是A1A2A3A4A5A6A7A8BP(BAi)=P(Ai)P(B |Ai)例例5. 有三個箱子，分別編號為有三個箱子，分別編號為1,2,3，1號箱裝號箱裝有有1個紅球個紅球4個白球，個

12、白球，2號箱裝有號箱裝有2紅紅3白球，白球，3號號箱裝有箱裝有3紅球紅球. 某人從三箱中任取一箱，從中某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，求取得紅球的概率任意摸出一球，求取得紅球的概率.解：記解：記 Ai=球取自球取自i號箱號箱, i=1,2,3; B =取得紅球取得紅球即即 B= A1BA2B A3B， B發(fā)生總是伴隨著發(fā)生總是伴隨著A1，A2，A3 之一同時發(fā)生，之一同時發(fā)生，123且且A1B, A2B, A3B兩兩互斥兩兩互斥 由全概率公式由全概率公式:31iiiABPAPBP)()()(代入數(shù)據(jù)得：代入數(shù)據(jù)得：P(B)=8/15=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2

13、) + P(A3)P(B |A3)例例5 . 有三個箱子，分別編號為有三個箱子，分別編號為1,2,3，1號箱裝號箱裝有有1個紅球個紅球4個白球，個白球，2號箱裝有號箱裝有2紅紅3白球，白球，3號號箱裝有箱裝有3紅球紅球. 某人從三箱中任取一箱，從中某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，求取得紅球的概率任意摸出一球，求取得紅球的概率.123例例 2. 甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊, 三人擊中的概率分別為三人擊中的概率分別為0.4、0.5、0.7. 飛飛 機被機被一人擊中而擊落的概率為一人擊中而擊落的概率為0.2,被兩人擊中而擊被兩人擊中而擊落的概率為落的概率

14、為0.6, 若三人都擊中若三人都擊中, 飛機必定被擊飛機必定被擊落落, 求飛機被擊落的概率求飛機被擊落的概率. 設(shè)設(shè)B=飛機被擊落飛機被擊落 Ai=飛機被飛機被i人擊中人擊中, i=1,2,3 由全概率公式由全概率公式: P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3)則則 B=A1BA2BA3B解解依題意，依題意，P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1可求得可求得: 為求為求P(Ai ) ,設(shè)設(shè) Hi=飛機被第飛機被第i人擊中人擊中, i=1,2,3 1123123123()()P AP H H HH H HH

15、H H2123123123()()P AP H H HH H HH H H)()(3213HHHPAP代入計算得代入計算得:P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.于是于是 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3)=0.458 =0.360.2+0.41 0.6+0.14 1即飛機被擊落的概率為即飛機被擊落的概率為0.458. (該球取自哪號箱的該球取自哪號箱的可能性最大可能性最大?)實際中還有一類問題，是實際中還有一類問題，是“已知結(jié)果求原因已知結(jié)果求原因” 這一類問題在實際中更為常見，它所求的這一類問題在實際中

16、更為常見，它所求的是條件概率，是已知某結(jié)果發(fā)生條件下，求各是條件概率，是已知某結(jié)果發(fā)生條件下，求各原因發(fā)生可能性大小原因發(fā)生可能性大小. 某人從任一箱中任意某人從任一箱中任意摸出一球，摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球發(fā)現(xiàn)是紅球,求求該球是取自該球是取自1號箱的概率號箱的概率.1231紅紅4白白接下來我們介紹為解決這類問題而引出的接下來我們介紹為解決這類問題而引出的貝葉斯公式貝葉斯公式 1iiinjjj=P AP B AP A | B =P AP B A說明說明: 該公式于該公式于1763年由貝葉斯年由貝葉斯(Bayes)給出給出. 它是在觀察到事件它是在觀察到事件A已發(fā)生的條件下已發(fā)生的條件下,尋找導(dǎo)致尋

17、找導(dǎo)致A發(fā)生的每個原因的概率發(fā)生的每個原因的概率. 它可以幫助人們確定它可以幫助人們確定某某結(jié)果結(jié)果( (事件事件A A ) )發(fā)生的最可能原因發(fā)生的最可能原因. .ni, 21定理定理(貝葉斯公式貝葉斯公式):設(shè)實驗設(shè)實驗E的樣本空間為的樣本空間為 , B為為E的事件的事件, A1,A2,An是是 的一個劃分的一個劃分,且且P(B)0, P(Ai)0，i =1,2,n, ，則，則 證明.證明.由由條條件件概概率率的的定定義義及及全全概概率率公公式式有有: :iP A | B iP A B=P B iinjjj=1P AP B AP AP B A1A2A3A5AiA4AB 例例 3. 某一地區(qū)

18、患有癌癥的人占某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患者對，患者對一種試驗反應(yīng)是陽性的概率為一種試驗反應(yīng)是陽性的概率為0.95，正常人對，正常人對這種試驗反應(yīng)是陽性的概率為這種試驗反應(yīng)是陽性的概率為0.04，現(xiàn)抽查了，現(xiàn)抽查了一個人，試驗反應(yīng)是陽性一個人，試驗反應(yīng)是陽性, 問此人是癌癥患者問此人是癌癥患者的概率有多大的概率有多大?則則 表示表示“抽查的人不患癌癥抽查的人不患癌癥”. C已知已知 P(C)=0.005,P( )=0.995, P(A|C)=0.95, P(A| )=0.04CC解解: 設(shè)設(shè) C=抽查的人患有癌癥抽查的人患有癌癥， A=試驗結(jié)果是陽性試驗結(jié)果是陽性， 求求P(C|A).

19、由由貝葉斯公式貝葉斯公式, 可得可得: )|()()|()()|()()|(CAPCPCAPCPCAPCPACP代入數(shù)據(jù)計算得代入數(shù)據(jù)計算得:P(CA)= 0.1066 例例4 對以往數(shù)據(jù)分析的結(jié)果表明對以往數(shù)據(jù)分析的結(jié)果表明,當(dāng)機器調(diào)整得良當(dāng)機器調(diào)整得良好時好時,產(chǎn)品的合格率為產(chǎn)品的合格率為90%,而當(dāng)機器發(fā)生某一故障而當(dāng)機器發(fā)生某一故障時時,其合格率為其合格率為30%.每天早上機器開動時每天早上機器開動時,機器調(diào)機器調(diào)整得良好的概率為整得良好的概率為75%.試求已知某日早上第一件試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格品時產(chǎn)品是合格品時,機器調(diào)整得良好的概率是多少？機器調(diào)整得良好的概率是多少？解解

20、 設(shè)設(shè) A=產(chǎn)品是合格品產(chǎn)品是合格品, B=機器調(diào)整得良好機器調(diào)整得良好顯然顯然,BB,構(gòu)成了必然事件的一個劃分構(gòu)成了必然事件的一個劃分,由貝葉斯公由貝葉斯公式式,所求的概率為所求的概率為25. 0)(,75. 0)(, 3 . 0)|(, 9 . 0)|(BPBPBAPBAP已知已知9 . 025. 03 . 075. 09 . 075. 09 . 0)()|()()|()()|()|(BPBAPBPBAPBPBAPABPB1BnAB1AB2ABnjiniiBBB1)(1jiniiABABABAniiABPAP1)()()()(1iniiBAPBP全概率公式ABayes公式)(ABPk)()

21、(APABPkniiikkBAPBPBAPBP1)()()()( 全概率公式與全概率公式與Bayes 公式公式B21.條件概率條件概率)()()(APABPABP 全概率公式全概率公式貝葉斯公式貝葉斯公式1122( )() ()() ()() ()nnP AP B P ABP B P ABP B P AB1() ()(),1,2, .() ()iiinjjjP B P A BP B AinP BP A B()( ) ()P ABP A P B A乘法定理乘法定理.)AB(P)AB(P,AB)AB(P,AB)AB(P,.B,)AB(P,AB,)AB(PAA大大比比一一般般來來說說中中樣樣本本點點

22、數(shù)數(shù)中中樣樣本本點點數(shù)數(shù)中中樣樣本本點點數(shù)數(shù)中中樣樣本本點點數(shù)數(shù)則則用用古古典典概概率率公公式式發(fā)發(fā)生生的的概概率率計計算算中中表表示示在在縮縮小小的的樣樣本本空空間間而而的的概概率率發(fā)發(fā)生生計計算算中中表表示示在在樣樣本本空空間間 .)()(. 2的的區(qū)區(qū)別別與與積積事事件件概概率率條條件件概概率率ABPABP例例3 設(shè)一倉庫中有設(shè)一倉庫中有10 箱同種規(guī)格的產(chǎn)品箱同種規(guī)格的產(chǎn)品, 其中其中由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的分別有由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的分別有5箱箱 , 3箱箱, 2 箱箱,三廠產(chǎn)品的廢品率依次為三廠產(chǎn)品的廢品率依次為 0.1, 0.2, 0.3 從這從這 10箱產(chǎn)品中任取一箱箱產(chǎn)品中任取一箱 , 再從這箱中任取一件產(chǎn)品再從這箱中任取一件產(chǎn)品,求取得的正品概率求取得的正品概率. 設(shè)設(shè) A 為事件為事件“取得的產(chǎn)品為正品取得的產(chǎn)品為正品”, 分別表示分別表示“任取一件產(chǎn)品是甲、乙、丙生產(chǎn)的任取一件產(chǎn)品是甲、乙、丙生產(chǎn)的