分式方程講義DYM

1、主講人：董亞明主講人：董亞明初中數(shù)學系列初中數(shù)學系列列分式方程解實際問題列分式方程解實際問題什么是分式？形如 ，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式.其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。如 是分式，還有 也是分式。BAyxyyx)2( 如何判斷一個式子是否為分式？1、分式的分母中必須含有字母。2、分母的值不能為零。若分母的值為零，則分式無意義。PS:由于字母可以表示不同的數(shù)，所以分式比分數(shù)更具有一般性。什么是方程？什么是分式方程？方程：含有未知數(shù)的等式。即：方程中一定有一個或一個以上含有未知數(shù)的代數(shù)式；2.方程式是等式，但等式不一定是方程。分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程

2、。如 是分式方程。3x30 x45分式方程與整式方程解法有哪些區(qū)別與聯(lián)系？聯(lián)系：解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程，具體做法是“去分母”，即方程兩邊同乘最簡公分母，這也是解分式方程的一般思路和做法。區(qū)別：解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母為零，因此要將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為零，則是方程的解。解分式方程的一般步驟及注意事項：去分母：方程兩邊同時乘以最簡公分母,將分式方程化為整式方程;若遇到互為相反數(shù)時.不要忘了改變符號。按解整式方程的步驟：移項，若有括號應(yīng)先去括號,注意變號,合并同類項，把系數(shù)化為1 求出未知數(shù)的值;驗根：求出未知數(shù)的

3、值后必須驗根,因為在把分式方程化為整式方程的過程中,擴大了未知數(shù)的取值范圍,可能產(chǎn)生增根. 驗根時把整式方程的根代入最簡公分母，如果最簡公分母等于0，這個根就是增根。否則這個根就是原分式方程的根。若解出的根都是增根，則原方程無解。 如果分式本身約分了，也要帶進去檢驗。補充補充：在分式方程化為整式方程的過程中，若整式方程的根使最簡公分母為0，（根使整式方程成立，而在分式方程中分母為0）那么這個根叫做原分式方程的增增根根。注意（1）注意去分母時，不要漏乘整式項。（2）増根是分式方程去分母后化成的整式方程的根，但不是原分式方程的根。（3）増根使最簡公分母等于0。列分式方程解實際問題的一般步驟：1、審

4、題 ；2、設(shè)未知數(shù)；3、找出能表示題目全部含意的相等關(guān)系，列出分式方程；4、解分式方程；5、驗根：先檢驗是否有增根，再檢查是否合符題意；6、寫出答案。常見題型及等量關(guān)系常見題型及等量關(guān)系1、行程問題、行程問題 基本量之間的關(guān)系：基本量之間的關(guān)系：路程=速度 X 時間，即，即s=vt(1)、相遇問題 ：甲行程 + 乙行程 =全路程(2)、追及問題： (設(shè)甲的速度快)a、同時不同地： 甲用的時間甲用的時間 = = 乙用的時間乙用的時間 甲的行程甲的行程 - - 乙的行程乙的行程 = = 甲乙原來相距的路程甲乙原來相距的路程b、同地不同時： 甲用的時間甲用的時間 = = 乙用的時間乙用的時間 - -

5、 時間差時間差 甲走的路程甲走的路程 = = 乙走的路程乙走的路程 c、水(空)航行問題 ： 順流速度順流速度 = = 靜水中航速靜水中航速 + + 水速水速 逆流航速逆流航速 = = 靜水中速度靜水中速度 水速水速 例1、A、B兩地相距87千米，甲騎自行車從A地出發(fā)向B地駛?cè)?，?jīng)過30分鐘后，乙騎自行車由B地出發(fā)，用每小時比甲快4千米的速度向A地駛來，兩人在距離B地45千米C處相遇，求甲乙的速度。分析：分析：等量關(guān)系：甲用時間等量關(guān)系：甲用時間= =乙用時間乙用時間+ + （小時）（小時）（87-45）千米）千米45千米千米x千米千米/小時小時（x+4）千米）千米/小時小時x4587 445

6、x6030例1、A、B兩地相距87千米，甲騎自行車從A地出發(fā)向B地駛?cè)?，?jīng)過30分鐘后，乙騎自行車由B地出發(fā)，用每小時比甲快4千米的速度向A地駛來，兩人在距離B地45千米C處相遇，求甲乙的速度。解：設(shè)甲每小時行駛x千米，那么乙每小時行駛(x+4)千米 根據(jù)題意，得 60304454587xx解之得， x1=14, x2= -24, 都是原方程的根 但x= -24不合題意，舍去所以x=14時， x+4=18 答：甲車的速度為16千米/小時，乙車的速度為20千米/小時。2 2、工程問題、工程問題 基本量之間的關(guān)系：工作量工作量 = = 工作效率工作效率 X X 工作時間工作時間常見等量關(guān)系：甲的工

7、作量甲的工作量+ +乙的工作量乙的工作量 = = 合作工作量合作工作量注：工作問題常把總工程看作是單位1，水池注水問題也屬于工程問題 例2、一項工程，若甲單獨做，剛好在規(guī)定日期內(nèi)完成，苦乙單做，則要超過規(guī)定時間6天完成；現(xiàn)甲乙兩人合作4天后，剩下工程由乙 單獨做，剛好在規(guī)定日期內(nèi)完成。問規(guī)定日期是幾天？分析：設(shè)工作總量為1，工效 X 工時= 工作量設(shè)規(guī)定日期為 x 天，則甲乙單完成各需x天、(x+6)天，甲乙的工效分別為61 ,1xx(1)、相等關(guān)系：甲乙合做4天的量+乙單獨做(x-4)天的量=總量1列出方程： 164)61 1(4xxxx(2)、相等關(guān)系：甲 做工作量+乙做工作量=1列出方程得：16 4xxx例2、一項工程，若甲單獨做，剛好在規(guī)定日期內(nèi)完成，苦乙單做，則要超過規(guī)定時間6天完成；現(xiàn)甲乙兩人合作4天后，剩下工程由乙 單獨做，剛好在規(guī)定日期內(nèi)完成。問規(guī)定日期是幾天？解：設(shè)規(guī)定日期為x天，根據(jù)題意得 164xxx解得 x=12,經(jīng)檢驗，x=12是原方程的解。答：規(guī)定日期是12天。練習1：甲、乙兩人做某種機器零件，已知甲每小時比乙多做6個，甲做90個零件所用的時間和乙做60個零件所用時間相等，求甲、乙每小時各做多少個零件？等量關(guān)系：甲用時間等量關(guān)系：甲用時間= =乙用時間乙用時間解：設(shè)甲每小時做解：設(shè)甲每小時做x x個零件則乙