古希臘的三角學史

1、.古希臘的三角學史 學夫子三角學像其他數(shù)學分支一樣，也不是任何一個人或一個民族的工作。關于相似三角形的邊之比的那些定理，古埃及人和巴比倫人早就知道并加以利用了。考慮到前希臘時代缺乏角的度量的概念，這樣的研究最好是稱作“三邊學，或三邊形的度量，而不是“三角學?數(shù)學史?要說起幾何研究，從古埃及、巴比倫那里就已經(jīng)開場，不管是研究圓，還是研究其他幾何圖形，三角形的影子絕對是隨處可見。對三角形的研究應該是最為系統(tǒng)才對，不過一開場，對“邊的概念要比“角的概念要深化得多，所以早起的三角學嚴格來說更應該稱之為“三邊學，關于三角形的邊的很多定理早就被希臘人所熟悉，在研究圓的性質(zhì)時，涉及到圓心角的定理，都是以弦與

2、弧的關系來建立的，這些結(jié)論假設翻譯成現(xiàn)代數(shù)學語言，那么你會發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)上就是如今的三角公式，比方歐幾里得在?幾何本來?就用幾何語言描繪了鈍角和銳角的余弦法那么；在阿基米德的著作中，也用幾何方法描繪了等同于“兩角和與差的正弦公式的定理折弦定理。然而在亞歷山大時代，這種純粹的幾何語言描繪的局限性逐漸開場顯現(xiàn)，特別是在埃拉托斯特尼與阿里斯塔克斯對天文學的研究中，對“角度與弦長的系統(tǒng)知識的需求變得越加迫切。一：三角學的孕育阿里斯塔克斯一個最有名的論斷，就是提出日心說，這比哥白尼的學說早1500多年，不過這一學說的著作全部都失傳，我們倒是有一篇名為?論太陽和月亮的大小和間隔 ?的文章，這篇文章比提出日心說

3、的時間要早，因為其內(nèi)容還是假定地球為中心。在這篇文章里，他觀察到：當月亮剛好半滿的時候，太陽和月亮的視線之間的夾角小于四分之一圓的三非常之一。用現(xiàn)代語言來說，這意味著月亮與太陽的間隔 之比是sin3°，阿里斯塔克斯利用他那個時代的定理，得出這個值的范圍在1/20到1/18之間，于是他斷言：地球與太陽的間隔 之比大于它與月亮的間隔 18倍，但小于20倍。這個結(jié)果跟現(xiàn)代的“約400倍相差甚遠，但是阿里斯塔克斯的計算方法是無懈可擊的，錯就錯在觀察結(jié)果上：視線的夾角應該是1/6°而不是3°。不過總比歐多克索斯的9倍和菲迪亞斯阿基米德的老爸的12倍要好些。不僅如此，阿里斯塔

4、克斯還利用他的觀察計算出了太陽、月亮、地球的直徑之比，雖然結(jié)果與真實相差甚遠，但其中涉及到的數(shù)學特別是三角知識，絕對具有標志性。僅僅得到大小的比值當然不夠，人類還想得到太陽月亮確實切大小，所需要的自然是地球的大小數(shù)據(jù)，于是，對地球半徑的測量就變得必要起來。亞里士多德曾經(jīng)得到的半徑為40000英里，還有一些人的結(jié)果是30000英里。一個更為準確、也更為著名的計算，要歸功于埃拉托斯特尼。埃拉托斯特尼注意到，夏至那天的正午，太陽的光線直射進塞尼城的一口深井里，而在同一時間、同一經(jīng)線上的亞歷山大城，太陽光的投影外表：太陽間隔 定點之間的角度是圓的五非常之一，如以下圖所示：這意味著S'AZ是圓的

5、五非常之一，自然弧長AS也是地球周長的五非常之一，測出塞尼城與亞歷山大城之間的間隔 ，就能得到地球的周長，大約為25000英里。阿里斯塔克斯和埃拉托斯特尼的工作已經(jīng)讓大家感覺到，是有必要建立起專門的“角度的學科了，而到這里，甚至于關于角度的測量都還沒建立起來，有兩個人的工作，把三角學向前推進了一步，值得我們提起希帕克斯和梅涅勞斯。二：三角學的過渡從希波克拉底到埃拉托斯特尼，希臘的數(shù)學家一直在研究直線與圓之間的關系，并且把這些關系應用于天文學，但是都沒有產(chǎn)生系統(tǒng)的三角學，雖然人們已經(jīng)注意到圓里面弧與弦的關系。一直到公元前2世紀的下半葉，才由天文學家希帕克斯編制出了第一章三角函數(shù)表，他因此獲得了“

6、三角學之父的資格。其實阿里斯塔克斯就已經(jīng)注意到，弧長與弦長之比，隨著他們所對的圓心角的遞減從180°到0°而遞減，趨近于極限值1，我估計也不止他一個人知道，但不管怎么樣，始終沒有一個人把整個一系列角度所對應的弧弦之比列出一個表格出來。也許是因為天文觀測的需要，埃拉托斯特尼完成了這一任務，這就是人類數(shù)學史上的第一章三角函數(shù)表實際上就是不同角度的弦長與弧長之比。而梅涅勞斯這個名字，相信大家首先想到的就是那著名的“梅涅勞斯定理，這個定理如此美妙，假如考慮進當時連系統(tǒng)的角度制都還沒有建立的社會背景，我們就不得不佩服他的工作。他對球面三角和平面幾何的研究，在古代天文學中扮演著重要角色

7、，他的著作是第一部三角學的系統(tǒng)作品，里面所涉及到的三角學結(jié)論也是創(chuàng)始性的。在希帕克斯和梅涅勞斯的工作下，三角學的系統(tǒng)建立猶如黎明前的最后一絲黑暗，最終在托勒密的怒吼下逐漸明晰可見。三：托勒密和海倫的工作托勒密是一位非常了不起的數(shù)學家和天文學家，我們對他的生平信息的理解仍然很少，就好似我們對阿基米德和歐幾里得的生平也根本上是一無所知一樣。提起這個名字，大家印象最深的恐怕要數(shù)幾何中著名的托勒密定理了。托勒密利用他所制定的法那么，成功建立起一個更為詳細的三角函數(shù)表，雖然這個表很有可能是參考了希帕克斯的成果。360度的角度制也就是從他這里開場走向正軌，雖然這并非托勒密的創(chuàng)造。在天文學中，他設計出了“均

8、輪的設想，以此來解決前輩們思想上的一些矛盾。但是這個思想太過于偏激，以致后來哥白尼看了以后也大呼受不了。他不承受埃拉托斯特尼估算的25000英里的地球周長，而采用波西多尼烏斯的18000英里，并且認為的歐亞世界占據(jù)地球圓周的180度以上，而不是130度，這個宏大的錯誤讓后來的航海家們包括哥倫布誤認為，從歐洲向西航行到印度也許并不遠。倘假設哥倫布知道托勒密對地球尺寸的低估是多么離譜的話，他可能就不起航了。托勒密不僅熱衷于天文學，還對光學感興趣，在他的?光學?一書中，闡述了反射幾何學，以及探究早期折射定律的早期努力?！皫熤拍?，大體是從先秦時期的“師長、師傅、先生而來。其中“師傅更早那么意指春秋時

9、國君的老師。?說文解字?中有注曰：“師教人以道者之稱也。“師之含義，如今泛指從事教育工作或是傳授知識技術也或是某方面有特長值得學習者?！袄蠋煹脑獠⒎怯伞袄隙稳荨皫??！袄显谂f語義中也是一種尊稱，隱喻年長且學識淵博者?！袄稀皫熯B用最初見于?史記?，有“荀卿最為老師之說法。漸漸“老師之說也不再有年齡的限制，老少皆可適用。只是司馬遷筆下的“老師當然不是今日意義上的“老師，其只是“老和“師的復合構(gòu)詞，所表達的含義多指對知識淵博者的一種尊稱，雖能從其身上學以“道，但其不一定是知識的傳播者。今天看來，“老師的必要條件不光是擁有知識，更重于傳播知識。海倫這個名字大概也是因那著名的三角形面積公式而知名，這說

10、明海倫在幾何學中應該有頗深的造詣。我們從他的作品中得知，海倫的數(shù)學研究看來多偏向于實用性，不過正是他，將三角學玩弄得越發(fā)成熟。另外，他在科學史上被人銘記的原因，乃是因為他創(chuàng)造了一種原始型號的蒸汽機。這個工作可讓學生分組負責搜集整理,登在小黑板上,每周一換。要求學生抽空抄錄并且閱讀成誦。其目的在于擴大學生的知識面,引導學生關注社會,熱愛生活,所以內(nèi)容要盡量廣泛一些,可以分為人生、價值、理想、學習、成長、責任、友誼、愛心、探究、環(huán)保等多方面。如此下去,除假期外,一年便可以積累40多那么材料。假如學生的腦海里有了眾多的鮮活生動的材料,寫起文章來還用亂翻參考書嗎?要練說，先練膽。說話膽小是幼兒語言開展

11、的障礙。不少幼兒當眾說話時顯得害怕：有的結(jié)巴重復，面紅耳赤；有的聲音極低，自講自聽；有的低頭不語，扯衣服，扭身子?？傊?，說話時外部表現(xiàn)不自然。我抓住練膽這個關鍵，面向全體，偏向差生。一是和幼兒建立和諧的語言交流關系。每當和幼兒講話時，我總是笑臉相迎，聲音親切，動作親昵，消除幼兒畏懼心理，讓他能主動的、無拘無束地和我交談。二是注重培養(yǎng)幼兒敢于當眾說話的習慣。或在課堂教學中，改變過去老師講學生聽的傳統(tǒng)的教學形式，取消了先舉手后發(fā)言的約束，多采取自由討論和談話的形式，給每個幼兒較多的當眾說話的時機，培養(yǎng)幼兒愛說話敢說話的興趣，對一些說話有困難的幼兒，我總是認真地耐心地聽，熱情地幫助和鼓勵他把話說完、

12、說好，增強其說話的勇氣和把話說好的信心。三是要提明確的說話要求，在說話訓練中不斷進步，我要求每個幼兒在說話時要儀態(tài)大方，口齒清楚，聲音響亮，學會用眼神。對說得好的幼兒，即使是某一方面，我都抓住教育，提出表揚，并要其他幼兒模擬。長期堅持，不斷訓練，幼兒說話膽量也在不斷進步。但是，不管是你讀了這篇文章也罷，還是讀過托勒密和海倫的著作也罷，他們的工作實際上并沒有對三角形的系統(tǒng)開展做出過多大奉獻。實際上三角學也沒有大的進展，只不過三角學作為一門學科的界限開場明晰起來而已。到了這里，也就是公元150年前后，希臘數(shù)學實際上已經(jīng)開場停滯，即便三角學有了一些開展，他的地位也僅僅是充當天文學的測量工具而已。希臘數(shù)學從畢達哥拉斯就開場的“純理論上的開展，漸漸地向理論靠攏，這正是