等差數列專題

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上 等差數列專題一、等差數列知識點回顧與技巧點撥1等差數列的定義一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d表示2等差數列的通項公式若等差數列an的首項是a1，公差是d，則其通項公式為ana1(n1)d(nm)dp.3等差中項如果三個數x，A，y組成等差數列，那么A叫做x和y的等差中項，如果A是x和y的等差中項，則A.4等差數列的常用性質(1)通項公式的推廣：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an為等差數列，且mnpq，則amanapaq(m，n，p，qN*)(3)若

2、an是等差數列，公差為d，則ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差為md的等差數列(4)數列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差數列(5)S2n1(2n1)an.(6)若n為偶數，則S偶S奇；若n為奇數，則S奇S偶a中(中間項)5等差數列的前n項和公式若已知首項a1和末項an，則Sn，或等差數列an的首項是a1，公差是d，則其前n項和公式為Snna1d.6等差數列的前n項和公式與函數的關系Snn2n，數列an是等差數列的充要條件是SnAn2Bn(A，B為常數)7最值問題在等差數列an中，a10，d0，則Sn存在最大值，若a10，d0，則Sn存在最小值 一個推導利用倒序相加法推導等差數

3、列的前n項和公式：Sna1a2a3an，Snanan1a1，得：Sn. 兩個技巧已知三個或四個數組成等差數列的一類問題，要善于設元(1)若奇數個數成等差數列且和為定值時，可設為，a2d，ad，a，ad，a2d，.(2)若偶數個數成等差數列且和為定值時，可設為，a3d，ad，ad，a3d，其余各項再依據等差數列的定義進行對稱設元四種方法等差數列的判斷方法(1)定義法：對于n2的任意自然數，驗證anan1為同一常數；(2)等差中項法：驗證2an1anan2(n3，nN*)都成立；(3)通項公式法：驗證anpnq；(4)前n項和公式法：驗證SnAn2Bn.注：后兩種方法只能用來判斷是否為等差數列，而

4、不能用來證明等差數列回顧：1已知等差數列an中，a3=9，a9=3，則公差d的值為（）AB1CD12已知數列an的通項公式是an=2n+5，則此數列是（）A以7為首項，公差為2的等差數列B以7為首項，公差為5的等差數列C以5為首項，公差為2的等差數列D不是等差數列3在等差數列an中，a1=13，a3=12，若an=2，則n等于（）A23B24C25D264兩個數1與5的等差中項是（）A1B3C2D5（2005黑龍江）如果數列an是等差數列，則（）Aa1+a8a4+a5Ba1+a8=a4+a5Ca1+a8a4+a5Da1a8=a4a5考點1:等差數列的通項與前n項和題型1：已知等差數列的某些項，

5、求某項【解題思路】給項求項問題，先考慮利用等差數列的性質，再考慮基本量法【例1】已知為等差數列，則 解：方法1：方法2：，方法3：令，則方法4：為等差數列，也成等差數列，設其公差為，則為首項，為第4項.方法5：為等差數列，三點共線 對應練習：1、已知為等差數列，（互不相等），求.2、已知個數成等差數列，它們的和為，平方和為，求這個數.題型2：已知前項和及其某項，求項數.【解題思路】利用等差數列的通項公式求出及，代入可求項數； 利用等差數列的前4項和及后4項和求出，代入可求項數.【例2】已知為等差數列的前項和，求解：設等差數列的首項為，公差為，則對應練習：3、若一個等差數列的前4項和為36，后4

6、項和為124，且所有項的和為780，求這個數列的項數.4.已知為等差數列的前項和，則 .題型3：求等差數列的前n項和【解題思路】（1）利用求出，把絕對值符號去掉轉化為等差數列的求和問題.（2）含絕對值符號的數列求和問題，要注意分類討論.【例3】已知為等差數列的前項和，. （1） ； 求；求.解：，當時，當時，當時， .由，得，當時，；當時，.（1）； ；（3）時， 當時， 對應練習：5、已知為等差數列的前項和，求.考點2 ：證明數列是等差數列【名師指引】判斷或證明數列是等差數列的方法有：1、定義法：（，是常數）是等差數列； 2、中項法：()是等差數列；3、通項公式法：（是常數）是等差數列；4、

7、項和公式法：（是常數，）是等差數列.【例4】已知為等差數列的前項和，.求證：數列是等差數列.解：方法1：設等差數列的公差為，（常數）數列是等差數列.方法2：，數列是等差數列.對應練習：6、設為數列的前項和， （1） 常數的值； （2） 證：數列是等差數列.考點3 :等差數列的性質【解題思路】利用等差數列的有關性質求解.【例5】1、已知為等差數列的前項和，則 ；2、知為等差數列的前項和，則 .解：1、；2、方法1：令，則.，；方法2：不妨設 .，；方法3：是等差數列，為等差數列三點共線.對應練習：7、含個項的等差數列其奇數項的和與偶數項的和之比為（ ） 8.設、分別是等差數列、的前項和，則 .

8、考點4： 等差數列與其它知識的綜合【解題思路】1、利用與的關系式及等差數列的通項公式可求；2、求出后，判斷的單調性.【例6】已知為數列的前項和，；數列滿足：，其前項和為1 數列、的通項公式； 設為數列的前項和，求使不等式對都成立的最大正整數的值.解：，當時，； 當時， 當時，；，是等差數列，設其公差為.則，.2 ，是單調遞增數列.當時，對都成立所求最大正整數的值為.對應練習：9.已知為數列的前項和，.1 數列的通項公式；數列中是否存在正整數，使得不等式對任意不小于的正整數都成立？若存在，求最小的正整數，若不存在，說明理由.課后練習：1.(2010廣雅中學)設數列是等差數列，且，是數列的前項和，

9、則A B C D2.在等差數列中，則 .3.數列中，當數列的前項和取得最小值時， . 4.已知等差數列共有項，其奇數項之和為，偶數項之和為，則其公差是 . 5.設數列中，則通項 . 6.從正整數數列中刪去所有的平方數，得到一個新數列，則這個新數列的第項是 .答案與解析：對應練習：1、【解析】2、【解析】設這個數分別為則解得當時，這個數分別為：；當時，這個數分別為：3、【解析】4、【解析】設等差數列的公差為，則.5、【解析】方法1：設等差數列的公差為，則；方法2：6、【解析】，由知：，當時，數列是等差數列.7、【解析】（本兩小題有多種解法），.選B.8、【解析】 填.9、【解析】當時，且，是以為公差的等差數列，其首