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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上線性代數(shù)綜合練習(xí)題時(shí)間:120分鐘一、選擇題(每小題3分,共15分):1設(shè)A是三階矩陣,將A的第一列與第二列交換得B,再把B的第二列加到第三列得C,則滿足AQ=C的可逆矩陣Q為( )。(A); (B);(C); (D)。 2設(shè)A、B為滿足AB=0的任意兩個(gè)非零矩陣,則必有( )。(A)A的列向量組線性相關(guān),B的行向量組線性相關(guān);(B)A的列向量組線性相關(guān),B的列向量組線性相關(guān);(C)A的行向量組線性相關(guān),B的行向量組線性相關(guān);(D)A的行向量組線性相關(guān),B的列向量組線性相關(guān)。3下列向量集按Rn的加法和數(shù)乘構(gòu)成R上一個(gè)線性空間的是( )。(A)Rn中,坐標(biāo)滿足x1+x2
2、+xn=0的所有向量;(B)Rn中,坐標(biāo)是整數(shù)的所有向量;(C)Rn中,坐標(biāo)滿足x1+x2+xn=1的所有向量;(D)Rn中,坐標(biāo)滿足x1=1,x2, xn可取任意實(shí)數(shù)的所有向量。4設(shè)=2是非奇異矩陣A的一個(gè)特征值,則矩陣(A2)-1有一個(gè)特征值等于( )。(A); (B); (C); (D)。 5任一個(gè)n階矩陣,都存在對(duì)角矩陣與它( )。(A)合同; (B)相似; (C)等價(jià); (D)以上都不對(duì)。二、填空題(每小題3分,共15分)1設(shè)矩陣A=,矩陣B滿足:ABA*=2BA*+E,其中A*為A的伴隨矩陣,E是三階單位矩陣,則|B|= 。2已知線性方程組無解,則= 。3若A=為正交矩陣,則= ,
3、= 。4設(shè)A為n階矩陣,且|A|0,A*為A的伴隨矩陣,E為n階單位矩陣。若A有特征值,則(A*)2+E必有特征值 。5若二次型f= 2x12+x22+x32+2 x1 x2+t x2 x3是正定的,則t的取值范圍是 。三、(15分)設(shè)有齊次線性方程組: 試問取何值時(shí),該方程組有非零解?并用一基礎(chǔ)解系表示出全部的解。四、(10分)設(shè)R3的兩組基為:和,向量=(2,3,3)T(1)求基到基的過渡矩陣;(2)求關(guān)于這兩組基的坐標(biāo)。五、(15分)設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值為1 = -2,2 = 1(2重),1=(1,1,1)T是屬于1 = -2的特征向量。試求:(1)屬于2 = 1(2重)的特征向量
4、;(2)A的伴隨矩陣A*。六、(10分)設(shè)二次型通過正交變換化為:,求、。七、(10分)已知A ,B為n階可逆方陣,且滿足2A-1B=B-4E,其中E是n階單位矩陣,試證:A-2E可逆。并求出(A-2E)-1=?八、(10分)設(shè)為階矩陣,且,其中是中元素的代數(shù)余子式(=1,2,n)。試證:的伴隨矩陣*的特征值是0和1,并說明各個(gè)特征值的重?cái)?shù)。線性代數(shù)綜合練習(xí)參考答案一、選擇題:1(D);2(A);3(A);4(B);5C);二、填空題: 1;2-1;3 ±,;4;5-三、解:A=(1)當(dāng)=0時(shí),r(A)=1<4,故齊次線性方程組有非零解,其同解方程組為:x1+x2+x3+ x4
5、=0由此得一基礎(chǔ)解系為:, 故全部解為: (其中為任意常數(shù))(7分)(2)當(dāng)0時(shí),當(dāng)=-10時(shí),r(A)=3<4,故齊次線性方程組也有非零解,其同解方程組為:,解之,可得一個(gè)基礎(chǔ)解系為:y=(1,2,3,4)T,故全部解為:X=ky(其中k為任意常數(shù))(15分)備注:此題也可另解|A|=(+10)3當(dāng)|A|=0時(shí),即=0或=-10時(shí),齊次線性方程組有無窮解。四、解:(1)記B=()=,C=()=則有: 從而,由基到基的過渡矩陣為:A=B-1C=(5分)(2)設(shè)關(guān)于基的坐標(biāo)為()即:由此可得:,解之得:,故關(guān)于基的坐標(biāo)為(0,1,1),又=即關(guān)于基的坐標(biāo)為(1,1,2)(10分)五、解:(
6、1)設(shè)A的屬于特征值2=1(2重)的特征向量為(x1,x2,x3)T,則A是實(shí)對(duì)稱矩陣,(x1,x2,x3)T與1正交,即有:(x1,x2,x3)=0,也即:x1+x2+x3=0,解之:2=(-1,1,0)T3=(-1,0,1)TA的屬于2=1的全部特征向量為:k12+ k23(k1,k2不同時(shí)為0)(5分)(2) A*=|A|A-1A*的特征值為:|A|·(-),|A|·1(2重) 又|A|=-2 A*的特征值為:1,-2(2重)(10分)A*(1,2,3)=(1,2,3)A*=(1,2,3)(1,2,3)-1=(15分)六、解:f的正交變換前后的矩陣分別為: 和于是,A
7、、B相似,從而有相同的特征多項(xiàng)式即:|E-A|=|E-B|(5分)也即:3-32+(2-a2-b2)+(a-b)2=3-32+2,比較上式等號(hào)兩邊的各冪次項(xiàng)系數(shù)有:(10分)七、證明:2A-1B=B-4E左乘A,得:2B=AB-4A(5分)即:AB-2B-4A=0(A-2E)(B-4E)=8E故A-2E可逆,且(A-2E)-1=(B-4E)(10分)八、證明:r(A)=n-1 r(A*)=1(2分)又齊次線性方程組(0E-A*)X=0的基礎(chǔ)解系含有n-1個(gè)線性無關(guān)的解向量,0是A*的特征值,其重?cái)?shù)不小于n-1(5分)另外,tr(A*)= A11+A22+Ann =1+2+n-1+n =1(8分)故有:1是A*的單特
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