平面圖形例題與講解

1、4.4平面圖形1多邊形的概念我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)到立體圖形是由平面圖形所圍成的，因此研究立體圖形往往從平面圖形開始如圖所示，三角形、長(zhǎng)方形和圓是我們?cè)缇褪煜さ膱D形圓是由曲線圍成的封閉圖形而上面的其他四個(gè)圖形是由線段圍成的封閉圖形多邊形的概念：我們把由線段圍成的封閉圖形叫做多邊形多邊形的標(biāo)志：線段圍成；封閉圖形按照組成多邊形的邊的個(gè)數(shù)，有三角形、四邊形、五邊形、六邊形等等談重點(diǎn) 圓不是多邊形(1)圓是由曲線圍成的封閉圖形；(2)多邊形是由線段圍成的封閉圖形【例1】 下列圖形中多邊形有幾個(gè)？()A2個(gè) B3個(gè) C4個(gè) D5個(gè)解析：多邊形概念包含兩個(gè)條件，首先是封閉圖形，從而排除各行中的最后一個(gè)；其次必須由

2、線段圍成，從而排除第一行的第二個(gè)圖形、第二行的第一、三個(gè)圖形答案：B解技巧 依據(jù)概念識(shí)別多邊形判斷一個(gè)圖形是否是多邊形一定要嚴(yán)格依據(jù)概念，而不能依靠自己的直覺解題，如第二行的第二個(gè)圖形，若僅憑感覺很容易出錯(cuò)2.多邊形的分割(1)從一個(gè)n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)頂點(diǎn)與其余與它不相鄰的頂點(diǎn)，可以將n邊形分割成(n2)個(gè)三角形我們把一個(gè)頂點(diǎn)與其余的不相鄰的頂點(diǎn)連接起來的線段叫做這個(gè)多邊形的對(duì)角線如圖所示，四邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)只有1條對(duì)角線，把四邊形分成2個(gè)三角形；五邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)有2條對(duì)角線，把五邊形分成3個(gè)三角形；六邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)有3條對(duì)角線，把五邊形分成4個(gè)三角形依此類推(2)在

3、n邊形內(nèi)任意取一點(diǎn)，將這一個(gè)點(diǎn)與各個(gè)頂點(diǎn)分別連接，可以將多邊形分割成n個(gè)三角形如圖所示，如果按這種方法分割多邊形，四邊形可以分割成4個(gè)三角形；五邊形可以分割成5個(gè)三角形；六邊形可以分割成6個(gè)三角形n邊形可以分割成n個(gè)三角形(3)在n邊形的一條邊上任找一點(diǎn)(頂點(diǎn)除外)，將該點(diǎn)與各頂點(diǎn)連接，這種方法可以把n邊形分割成(n1)個(gè)三角形如圖所示，如果按這種方法分割多邊形，四邊形可以分割成3個(gè)三角形；五邊形可以分割成4個(gè)三角形；六邊形可以分割成5個(gè)三角形n邊形可以分割成(n1)個(gè)三角形【例2】 用不同的方法把圖形全部分割成三角形，至少可以分割成10個(gè)三角形的多邊形是()A8 B10 C12 D14解析：

4、從一個(gè)12邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)頂點(diǎn)與其余和它不相鄰的頂點(diǎn)，可以將n邊形分割成10個(gè)三角形；在12邊形內(nèi)任意取一點(diǎn)，將這一個(gè)點(diǎn)與各個(gè)頂點(diǎn)分別連接，可以將多邊形分割成12個(gè)三角形；在12邊形的一條邊上任找一點(diǎn)(頂點(diǎn)除外)，將該點(diǎn)與各頂點(diǎn)連接，這種方法可以把n邊形分割成11個(gè)三角形所以至少可以分割成10個(gè)三角形的多邊形是12邊形答案：C3簡(jiǎn)單圖案的設(shè)計(jì)生活中許多美麗的圖案都是由平面圖形構(gòu)成的如圖所示，生活中處處充滿了美麗而富有意義的圖案，而且有許多僅僅是用簡(jiǎn)單的平面圖形構(gòu)成的設(shè)計(jì)圖案時(shí)，一般要先設(shè)計(jì)一些簡(jiǎn)單的圖案，例如三角形，正方形，平行四邊形，圓等，再把這些圖案按要求變換，從而得到較復(fù)

5、雜的，具有美感的圖案【例3】 生活中經(jīng)?？吹揭恍┖?jiǎn)單的平面圖形組成的優(yōu)美圖案，你能說出下圖中的神秘圖案由哪些平面圖形組成的嗎？分析：通過仔細(xì)觀察，就可以找到組成各個(gè)圖案的基本幾何圖形解：(1)正方形；(2)正五邊形，三角形；(3)正五邊形，三角形，正六邊形，平行四邊形解技巧 設(shè)計(jì)圖案的基本圖形三角形、正方形、圓、平行四邊形、梯形、正五邊形、正六邊形等是設(shè)計(jì)圖案的基本圖形4按要求分割三角形一般就是按要求把三角形分為面積相等的幾部分，利用等(同)底等(同)高的兩個(gè)三角形的面積相等可以做出解答如圖所示的兩個(gè)三角形等底同高，所以面積相等【例4】 用三種不同的方法將下圖的三角形分成面積相等的4個(gè)小三角形

6、分析：把三角形的面積分為相等的四部分，憑同學(xué)們的生活經(jīng)驗(yàn)即可解決，作圖時(shí)，要準(zhǔn)確測(cè)量解：如圖所示5.多邊形的分割與拼接多邊形與三角形的關(guān)系是本節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)，也是中考考查的熱點(diǎn)，例如正方形的分割與拼接，長(zhǎng)方形的分割與拼接在中考中經(jīng)常遇到解題時(shí)，要注意審清題意，按要求分割，弄清楚分割前后三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系任何一個(gè)多邊形都可以用不同的方法分割成若干個(gè)三角形，常見的有以下方法：(1)從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)與其他頂點(diǎn)連接；(2)從多邊形的內(nèi)部找一點(diǎn)，連接這點(diǎn)與多邊形的各頂點(diǎn)；(3)在邊上找一點(diǎn)(除頂點(diǎn)之外)，連接該點(diǎn)與各頂點(diǎn)在分割三角形時(shí)，要按一定的標(biāo)準(zhǔn)去分割，注意各自的規(guī)律多邊形的拼接一般考查規(guī)則多邊形，例如正

7、方形，長(zhǎng)方形，等腰梯形等的拼接，解題時(shí)，注意這些特殊多邊形的邊角的特點(diǎn)(以后還會(huì)進(jìn)一步學(xué)習(xí))析規(guī)律 轉(zhuǎn)化思想在多邊形的分割中的應(yīng)用將多邊形分割成若干個(gè)三角形是解決多邊形問題的重要方法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想【例5】 閱讀材料：多邊形上或內(nèi)部的一點(diǎn)與多邊形各頂點(diǎn)的連線，將多邊形分割成若干個(gè)小三角形圖1給出了四邊形的具體分割方法，分別將四邊形分割成了2個(gè)，3個(gè)，4個(gè)小三角形，請(qǐng)你按照上述方法將圖2中的六邊形進(jìn)行分割，并寫出得到的小三角形的個(gè)數(shù)試把這一結(jié)論推廣至n邊形圖1圖2分析：圖1中，是作一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的所有對(duì)角線對(duì)其進(jìn)行分割；是連接多邊形的其中一邊上的一個(gè)點(diǎn)和各個(gè)頂點(diǎn)，對(duì)其進(jìn)行分割；是連接多邊形內(nèi)

8、部的任意一點(diǎn)和多邊形的各個(gè)頂點(diǎn)，對(duì)其進(jìn)行分割解：如圖所示：第一種分割法可以把n邊形分割成(n2)個(gè)三角形；第二種分割法可以把n邊形分割成(n1)個(gè)三角形；第三種分割法可以把n邊形分割成n個(gè)三角形6七巧板及其應(yīng)用“七巧板”也稱“七巧圖”，就是用七塊不同形狀的木板構(gòu)成圖形的游戲在“七巧板”的七個(gè)部件中有五塊等腰直角三角形板(兩塊完全一樣的小型三角形板、一塊中型三角形板和兩塊完全一樣的大型三角形板)、一塊正方形板和一塊平行四邊形板制作七巧板的步驟如下：把正方形紙板分成七部分；剪開成七塊；分別涂上七種不同的顏色用七塊板不但可以拼成一個(gè)正方形，還可以拼出多種多樣的幾何圖形，如長(zhǎng)方形、三角形、平行四邊形、

9、不規(guī)則的多角形等，如圖(1)；也可以拼成各種形態(tài)的人物形象，如圖(2)；或者動(dòng)物，如貓、鴨子、烏龜?shù)龋鐖D(3)；或者是橋、房子、寶塔等，如圖(4)；或者是一些漢字、英文字母等，如圖(5)【例61】 如圖，七巧板中小陰影三角形的面積是大陰影三角形的面積的幾分之幾？分析：小陰影三角形的面積是七巧板中小型三角形的面積，假設(shè)小型三角形的面積是1，則中型三角形的面積是小型三角形面積的2倍，是2；大陰影三角形的面積又是中型三角形的面積的2倍，是4；所以七巧板中小陰影三角形的面積是大陰影三角形的面積的.解：假設(shè)小陰影三角形的面積是1，則大陰影三角形的面積是4，所以小陰影三角形的面積是大陰影三角形面積的.【例62】 如圖，用七巧板拼出圖案后，并附上一句比較貼近圖形且有意義的解說詞：“書山有路勤為徑