高中函數(shù)知識點復習總結(jié)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第二章 函數(shù)一、函數(shù)的概念與表示 1、映射（1）映射：設A、B是兩個集合，如果按照某種映射法則f，對于集合A中的任一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應，則這樣的對應（包括集合A、B以及A到B的對應法則f）叫做集合A到集合B的映射，記作f：AB。（2）象與原象：如果給定一個從集合A到集合B的映射，那么集合A中的元素a對應的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象。注意點：（1）對映射定義的理解。（2）判斷一個對應是映射的方法。2、函數(shù)（1）函數(shù)的定義原始定義：設在某變化過程中有兩個變量x、y，如果對于x在某一范圍內(nèi)的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與它對應，那么就

2、稱y是x的函數(shù)，x叫作自變量。 近代定義：設A、B都是非空的數(shù)的集合，f：xy是從A到B的一個對應法則，那么從A到B的映射f：AB就叫做函數(shù)，記作y=f(x)，其中，原象集合A叫做函數(shù)的定義域，象集合C叫做函數(shù)的值域。（2）構(gòu)成函數(shù)概念的三要素 定義域?qū)▌t值域3、函數(shù)的表示方法解析法列表法圖象法注意：強調(diào)分段函數(shù)與復合函數(shù)的表示形式。二、函數(shù)的解析式與定義域1、函數(shù)解析式：函數(shù)的解析式就是用數(shù)學運算符號和括號把數(shù)和表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子叫解析式，解析式亦稱“解析表達式”或“表達式”，簡稱“式”。（注意分段函數(shù)）求函數(shù)解析式的方法：（1） 定義法 （2）變量代換法 （3）待定系數(shù)法 （4

3、）函數(shù)方程法 （5）參數(shù)法 （6）實際問題2、函數(shù)的定義域：要使函數(shù)有意義的自變量x的取值的集合。求函數(shù)定義域的主要依據(jù)：（1）分式的分母不為零；（2）偶次方根的被開方數(shù)不小于零，零取零次方?jīng)]有意義；（3）對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零；（4）指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1；如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算而得到的，那么它的定義域是由各基本函數(shù)定義域的交集。3。復合函數(shù)定義域：已知f(x)的定義域為,其復合函數(shù)的定義域應由不等式解出。三、函數(shù)的值域1函數(shù)的值域的定義在函數(shù)y=f(x)中，與自變量x的值對應的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。2確定函數(shù)的值域的原則當函數(shù)y

4、=f(x)用表格給出時，函數(shù)的值域是指表格中實數(shù)y的集合；當函數(shù)y=f(x)用圖象給出時，函數(shù)的值域是指圖象在y軸上的投影所覆蓋的實數(shù)y的集合；當函數(shù)y=f(x)用解析式給出時，函數(shù)的值域由函數(shù)的定義域及其對應法則唯一確定；當函數(shù)y=f(x)由實際問題給出時，函數(shù)的值域由問題的實際意義確定。3求函數(shù)值域的方法直接法：從自變量x的范圍出發(fā)，推出y=f(x)的取值范圍；二次函數(shù)法：利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域；反函數(shù)法：將求函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為求它的反函數(shù)的值域；判別式法：運用方程思想，依據(jù)二次方程有根，求出y的取值范圍；單調(diào)性法：利用函數(shù)的單調(diào)性求值域；不等式法：利用不等式的性質(zhì)求值域；圖象

5、法：當一個函數(shù)圖象可作時，通過圖象可求其值域；幾何意義法：由數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化距離等求值域。四函數(shù)的奇偶性1定義:設y=f(x)，xA，如果對于任意A，都有，則稱y=f(x)為偶函數(shù)。設y=f(x)，xA，如果對于任意A，都有，則稱y=f(x)為奇函數(shù)。如果函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，則稱函數(shù)y=具有奇偶性。2.性質(zhì)：函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關于原點對稱，y=f(x)是偶函數(shù)y=f(x)的圖象關于軸對稱, y=f(x)是奇函數(shù)y=f(x)的圖象關于原點對稱,偶函數(shù)在定義域內(nèi)關于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相反，奇函數(shù)在定義域內(nèi)關于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)無反函數(shù)，奇函數(shù)的反函數(shù)還是

6、奇函數(shù)，若函數(shù)f(x)的定義域關于原點對稱，則它可表示為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之和奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇兩函數(shù)的定義域D1 ，D2，D1D2要關于原點對稱對于F(x)=fg(x):若g(x)是偶函數(shù)，則F(x)是偶函數(shù)若g(x)是奇函數(shù)且f(x)是奇函數(shù)，則F(x)是奇函數(shù)若g(x)是奇函數(shù)且f(x)是偶函數(shù)，則F(x)是偶函數(shù)3奇偶性的判斷看定義域是否關于原點對稱看f(x)與f(-x)的關系五、函數(shù)的單調(diào)性1、函數(shù)單調(diào)性的定義；2、判斷函數(shù)單調(diào)性（求單調(diào)區(qū)間）的方法：（1）從定義入手，（2）從圖象入手，（3

7、）從函數(shù)運算入手，（4）從熟悉的函數(shù)入手（5）從復合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律入手注：函數(shù)的定義域優(yōu)先3、函數(shù)單調(diào)性的證明：定義法“取值作差變形定號結(jié)論”。4、一般規(guī)律（1）若f(x),g(x)均為增函數(shù)，則f(x)+g(x)仍為增函數(shù)；（2）若f(x)為增函數(shù)，則-f(x)為減函數(shù)；（3）互為反函數(shù)的兩個函數(shù)有相同的單調(diào)性；（4）設是定義在M上的函數(shù)，若f(x)與g(x)的單調(diào)性相反，則在M上是減函數(shù)；若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同，則在M上是增函數(shù)。六、反函數(shù)1、 反函數(shù)的概念：設函數(shù)y=f(x)的定義域為A，值域為C，由y=f(x)求出，若對于C中的每一個值y，在A中都有唯一的一個值和它對應，那

8、么叫以y為自變量的函數(shù)，這個函數(shù)叫函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)，記作，通常情況下，一般用x表示自變量，所以記作。注：在理解反函數(shù)的概念時應注意下列問題。（1）只有從定義域到值域上一一映射所確定的函數(shù)才有反函數(shù)；（2）反函數(shù)的定義域和值域分別為原函數(shù)的值域和定義域；2、求反函數(shù)的步驟（1）解關于x的方程y=f(x)，達到以y表示x的目的；（2）把第一步得到的式子中的x換成y，y換成x；（3）求出并說明反函數(shù)的定義域（即函數(shù)y=f(x)的值域）。3、關于反函數(shù)的性質(zhì)（1）y=f(x)和y=f-1(x)的圖象關于直線y=x對稱；（2）y=f(x)和y=f-1(x)具有相同的單調(diào)性；（3）y=f(x)和x

9、=f-1(y)互為反函數(shù)，但對同一坐標系下它們的圖象相同；（4）已知y=f(x)，求f-1(a)，可利用f(x)=a，從中求出x，即是f-1(a)；（5）f-1f(x)=x;（6）若點P(a,b)在y=f(x)的圖象上，又在y=f-1(x)的圖象上，則P(b,a)在y=f(x)的圖象上；（7）證明y=f(x)的圖象關于直線y=x對稱，只需證得y=f(x)反函數(shù)和y=f(x)相同；七二次函數(shù)1二次函數(shù)的解析式的三種形式(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a0)，其中a是開口方向與大小，c是Y軸上的截距，而是對稱軸。(2)頂點式（配方式）：f(x)=a(x-h)2+k其中(h,k)是拋物線的

10、頂點坐標。(3)兩根式（因式分解）：f(x)=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是拋物線與x軸兩交點的坐標。求一個二次函數(shù)的解析式需三個獨立條件，如：已知拋物線過三點，已知對稱軸和兩點，已知頂點和對稱軸。又如，已知f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程f(x)-x=0的兩根為，則可設f(x)-x=或。2二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)的圖象是一條拋物線，對稱軸，頂點坐標（1）a>0時，拋物線開口向上，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，時，（2）a<0時，拋物線開口向下，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，時，3二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)當時圖象與x軸有

11、兩個交點M1(x1,0),M2(x2,0)4二次函數(shù)與一元二次方程關系方程的根為二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)的的取值。二次函數(shù)與一元二次不等式的關系一元二次不等式的解集為二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)的的取值范圍。二次函數(shù)情況一元二次方程一元二次不等式解集Y=ax2+bx+c (a>0)=b2-4acax2+bx+c=0 (a>0)ax2+bx+c>0 (a>0)ax2+bx+c<0 (a>0)圖象與解>0=0<0方程無解R八指數(shù)式與對數(shù)式1冪的有關概念(1)正整數(shù)指數(shù)冪，(2)零指數(shù)冪(3)負整數(shù)指數(shù)冪(4)正分數(shù)指數(shù)

12、冪；(5)負分數(shù)指數(shù)冪(6)0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0,0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.2有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì) 3根式（1）根式的定義:一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，叫做根式，叫做根指數(shù)，叫被開方數(shù)。 (2)根式的性質(zhì): 當是奇數(shù)，則；當是偶數(shù)，則負數(shù)沒有偶次方根， 零的任何次方根都是零4對數(shù)(1)對數(shù)的概念 如果,那么b叫做以a為底N的對數(shù),記(2)對數(shù)的性質(zhì)：零與負數(shù)沒有對數(shù) (3)對數(shù)的運算性質(zhì) 其中a>0,a0,M>0,N>0(4)對數(shù)換底公式：（5）對數(shù)的降冪公式：九指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)1、 指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax (a>0 , a1)互為反函數(shù)，

13、從概念、圖象、性質(zhì)去理解它們的區(qū)別和聯(lián)系名稱指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)一般形式Y(jié)=ax (a>0且a1)y=logax (a>0 , a1)定義域(-,+ )(0,+ )值域(0,+ )(-,+ )過定點（，1）（1，）圖象指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax (a>0 , a1)圖象關于y=x對稱單調(diào)性a> 1,在(-,+ )上為增函數(shù)a<1, 在(-,+ )上為減函數(shù)a>1,在(0,+ )上為增函數(shù)a<1, 在(0,+ )上為減函數(shù)值分布y>1 ? y<1?y>0? y<0?比較兩個冪值的大小，是一類易錯題，解決這類問題，首先要分清底數(shù)相同還是指數(shù)相同2、 ，如果底數(shù)相同，可利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；指數(shù)相同，可以利用指數(shù)函數(shù)的底數(shù)與圖象關系（對數(shù)式比較大小同理）記住下列特殊值為底數(shù)的函數(shù)圖象：3、 研究指數(shù)，對數(shù)函數(shù)問題，盡量化為同底，并注意對數(shù)問題中的定義域限制4、 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)中的絕大部分問題是指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)與其他函數(shù)的復合問題，討論復合函數(shù)的單調(diào)性是解決問題的重要途徑。十函數(shù)的圖象1、作函數(shù)圖象的基本方法有兩種：（1） 描點法：1、先確定函數(shù)定義域，討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性，單調(diào)性，周期性）2、列表（注意特殊點，如：零點，最大最小，與軸的交點）3、描點，連線如：作出函數(shù)的圖象（2） 圖象變換