固體物理基礎(chǔ)課后習(xí)題答案吳

1、1-1試證理想六方密堆結(jié)構(gòu)中c/a=1.633O證：配位數(shù)12；令OA = a; OF = c22333AF =´a =a;FA23OF =a c =a12若晶胞基矢 rr互相垂直，試求晶面族a, b, c(hkl )的面間距。rrrr解：令a = ai ;b = bj; c = ck ;且V = a × b × cr則：b1r2 rr 2= b ´ c ×V=i ;arb2rb32 rrr 2= c ´ a ×V=j;br2 rr2= a ´ b ×V=kcrrr+ lb3rör那么，

2、0; h rrklG = hb1 + kb2= 2çi +j +k ÷abcèø d = 2 =1rGæ h ö2æ k ö2æ l ö2+ ç b ÷+ ç c ÷ç a ÷èøèøèø13若在體心立方晶胞的每個(gè)面中心處加上一個(gè)同類如何選?。科?，試說明這種結(jié)構(gòu)的基元應(yīng)晶格是什么格子？解：將整個(gè)晶體看成是5個(gè)簡單立方格子套構(gòu)而成。格子：簡單立方；基元：頂點(diǎn)、體心、三個(gè)相鄰面心1

3、4試求面心立方結(jié)構(gòu)的(111)和(110)面的面密度。解：(111)面：頂點(diǎn)3個(gè)，每個(gè)1/6；邊上3個(gè)，每個(gè)1/2；= 1 ×3 ×3 a22a ×2a =S1112223´ 1 + 3´ 14=62 =面密度s1113a23a22同理，(110)面：頂點(diǎn)4個(gè)邊上2個(gè)，每個(gè)1/4;，每個(gè)1/2;=2a × a =2a2 S1104 ´ 1 + 2 ´ 12=42 =2a2s110a215設(shè)二維矩形格子的基矢為rr=ai , a2 = 2aj , 試畫出a1頭三個(gè)區(qū)。r解：倒格子基矢： b1r2 r r=jai ,

4、b2a1- 6六方密堆結(jié)構(gòu)的原胞基矢為a rraj;r3=i +2a12a rraj;r3= -i +2a22r= ck ;ra3試求倒格子基矢并畫出第一區(qū)。解：u = rr ´ r3 a2c;× (a2=a1a3 )22rb1rb2rb32 rrj;2rr= u (a2 ´ a3 ) =i +a3a2 rrj;2rr2= u (a3 ´ a1 ) = -i +a3a2 rrr2= u (a1 ´ a2 ) =k ;c第一區(qū)為六棱柱17試求石的結(jié)構(gòu)因子，并討論X射線衍射消失的條件。共有8個(gè)：頂點(diǎn)一個(gè)、的坐標(biāo)為：解：考慮一個(gè)晶胞，獨(dú)立的心四個(gè)；8

5、個(gè)面心三r = (0r= a (10);1);1);3);3);r10r514æ aöra2= ç2r0÷= a (3r2r63èæ aø4a4a4a örr= ç÷r30(3(1=r1è 22 ø7ræa öa2r= ç 02 ÷r4=r83èørr則S(G)r；其中，Grrr82råiG×r=(n i + n j + n k )f ejj123aj =1； f1 =f2 =f8簡單立方的倒f

6、1+ ei(n1 +n2 ) + ei(n1 +n3 ) + ei(n2 +n3 ) S(G) =i(n +n +n )i(3n +3n +n )i(3n +n +3n )+ e 2123+ e 2123+ e 2123i(n +3n +3n )+ e 2123f 1+ ei(n1 +n2 ) + ei(n1 +n3 ) + ei(n2 +n3 ) =i(n +n +n )×1+ e 2123ì n1 + n2+ n3 = 2(2N +1), N為整數(shù)；消光條件為：íîn1 , n2 , n3中有二奇一偶或二偶一奇2 -1證明一維NaCl晶格的常數(shù)a=

7、2 ln 2.證明：任選一參考離子i，則左右兩側(cè)對稱分布，令rij= a ja；這里a為晶格常數(shù)（正負(fù)離子最近距離）那么，有：aå ± 1 = 2é1 - 1 + 1 - 1 + .úùêë1a234ûjj其中，異號為；同號為-.4利用展開式：ln(1+ x) = x -+ .234令x = 1，得：ln 2 = 1- 1 + 1 - 1 + .234a = 2 ln 222若離子間的排斥勢用le-r/r來表示，只考慮最近鄰離子間的排斥作用，試導(dǎo)出離子晶體結(jié)，并討論參數(shù)l和r應(yīng)如何決定。合能的表解：設(shè)最近鄰離子間距

8、離為r，則rij = a jr（以i離子為原點(diǎn)）ìe2-r/ rle-，（最近鄰，r = r）ijïij4eru(r ) = ï0 ijíije2ïïî±，（最近鄰以外）4e0rij總相互作用能為：N é-r / rùe2N1å±- åle最近鄰U = -êú2 êë 4e0ra júûj (¹i )N é-r / rùae2U =ê-+ Zle24erú；

9、.(1)ëû0其中Z為最近鄰離子數(shù)æ ¶U ö= 0；得：由平衡條件：ç ¶r÷èør =r0rae2l -r / r= Z e.(2)04er 20 0érùae2N得：U =-1ú.(3)ê r4er2ëû0 00結(jié)合能Ec = -U (r0 )對于NaCl等離子晶體：æ ¶2U ö1ç÷K =.(4)ç÷¶29Nrr0 èør =r

10、0é- 2ae2-r / rù1 + Zl1 K =eú.(5)ê04er2r318rëû000將(2)代入(5)得：é1 ù2ae2ae21K =18r-+× rú.(6)êerer3244ëû00 00 0ae2rr= 0.(7)2ae2 + 72er 4 K0 0rae2r / r由(2)得：l=e.(8)04er 2Z0 02 - 3如果NaCl晶體中離子的電荷增加一倍，假定排斥勢不變，試估計(jì)晶體的結(jié)合能以及離子間的平衡距離將產(chǎn)生多大變化？N æB

11、 öae2ç÷.(1)解：總相互作用能U = -2 ç 4er÷rnèø0N ænB öæ ¶U öae2ç÷ = 0.(2)ø=-ç ¶r÷n+er 21èør =r02 è 4r0 001eæö4nBn-1得：r ='ç÷0.(2 )ae20èøae2n-1 0得：B =(2)r.(3)由en40Nae2æ

12、1 ö) = -ç1-÷.(4)n(3)代入(1)得：U (r0er8èø0 0當(dāng)電荷由e變?yōu)?e時(shí)，由(2' )和(4)可知 1 r (2e)= 41-n 0r0 (e)U (2e) n = 4 n-1U (e)3 -1在一維單格中， 若考慮每與其余的色散關(guān)系所有都有作用，在近似下求解：在近似下：12+ 1 å båf(xU =- u) = U0u 2ijij0ijij4i¹ ji¹ j第n個(gè)的運(yùn)動(dòng)方程：¶U¶d2u1åi¹ j= -= -b2mn(u )

13、ijij¶u4 ¶udt 2nn右邊 = - 1 ¶ ( å b+ å bu 2u 2)ininnjnj4 ¶ui (¹n)j (¹n)n= - 1 ¶ ( åb (u- u )2 + åb (u- u)2 )inninjjn4 ¶ui (¹n)j (¹n)n= - 1 ( åb (u- u ) - åb (u- u)inninjjn2i (¹n)j (¹n)= åbin (ui - un )i (

14、5;n)= åbp (un+ p + un- p p- 2un )= Ae-i(wt -naq)代入上式得：設(shè)unå p- mw2 Ae-i(wt -naq)-i(wt -(n+ p)aq) + Ae-i(wt -(n- p)aq)=b ( Ae- 2u)np整理，得：= 2 åb (1- cos paq)w2pmp3 - 2設(shè)有一維雙格， 兩種的質(zhì)量相等， 最近鄰間的力常數(shù)交錯(cuò)地等于b1和b2，試求解：的色散關(guān)系d2u= b1 (un-1 - un ) + b2 (un - un )mndt 2= b1un-1 + b2un - (b1 + b2 )und2u=

15、 b2 (un -un ) + b1 (un+1 -un )mndt 2= b2un + b1un+1 - (b1 + b2 )un= Ae-i(naq-wt ) ;un= Be-i(naq-wt )試探解：un代入方程，得：- mw2 A = bBeiaq + bB - (b + b ) A1212- mw2 B = bAe-iaq + b A - (b + b )B1212(b + b ) - mw2- (beiaq + b )= 01212b + be-iaqmw2 - (b + b )2112經(jīng)計(jì)算，得：b + b ±b2+ b2 + 2bb cos aqw2=121212m

16、3 - 3已知一維單格的色散關(guān)系為b2w (q)=- cos qa)2(1M的模密度 g (w)；試求：(1)(2)低溫下晶格熱容與溫度的比例關(guān)系。解：一維時(shí)，模密度g(w) = lò d)2由色散關(guān)系，得：cos aq = 1- M w2 ;2b2wdw= 2ba sin aqdqMwdwdq =ö1/ 2ba æ MM 2çw2-w4 ÷M ç b÷4b2èøwml)g(w) =× 2 òw(q)dw(2ö1/ 2ba æ MM 20çw2 (q) -

17、w4 (q) ÷M ç b÷4b2èøwl=ö1/ 2 ba æ MM 2çw4 ÷w2-M ç b÷4b2èøwmò g(w)dwæ ¶E ö¶hw晶格熱容：C= ¶Tç÷u¶Texp(hw/ k T ) -1èøuB0略去w4項(xiàng)，（因?yàn)榈蜏兀瑆<< 1）¶whwhwlwm0òC=dwu¶T baM×w-

18、1e kBTbM¥hwhw¶lMb¶T òdw=a0-1e kBT(因?yàn)榈蜏?，頻率低的占主要，所以上限可以近似為無窮大)¥k 2Tx2exlMb Bò=dx-1)x2ah(e0lk 2MbCu=×T B3ah2經(jīng)計(jì)算，上面33 - 4將德拜模型用于一維晶格，求低溫下晶格熱容 與溫度的關(guān)系，并和上題的結(jié)果進(jìn)行比較，討論德拜 模型的合理性。解：對于德拜模型，有色散關(guān)系：w= cqdw= cdq+¥l g(w) =ò d 2)-¥l1 ¥l=ò dw ×(w - w(q)

19、 c=c0¥¥¶hwk 2Tx2exl Bò¶T ò=C=dw× g(w)dxu(e -1)x2hwch00e kBT-12lkBCu=×T3ch2上面3與上題結(jié)果比較，都與 T成正比，說明德拜模型有其合理性，尤其是低 溫的情況下。35設(shè)想在一維單格中，只激發(fā)出一個(gè)動(dòng)量為¹ 0)的聲子，試證明晶體并不因此而獲得物理動(dòng)量證明：先證下面的式子：hì1,l = l 'l ¹ l '1åeina()= d= íl''llNî0,nl

20、 =l '時(shí)，顯然成立。l -l '2N1N1N'ina×(l -l )ånånin2l ¹ l 時(shí)，左邊='eeNaNl -l 'l -l 'i2i2N(1- e1 × e) = 0NN=l -l 'Ni21- eN晶體物理動(dòng)量p = å Mu&n= 0= -iwMe-iwt åeinqann結(jié)論成立。3 - 6設(shè)有晶格常數(shù)為a的一維單格，考慮波矢落在區(qū)邊界上的振動(dòng)模式：1）畫出這種振動(dòng)模式在某一時(shí)刻的位移方向；2）若在某一溫度下這種振動(dòng)模式的頻率趨于零，這時(shí)

21、的位移被“凍結(jié)” ，晶體結(jié)構(gòu)發(fā)生變化， 試說明所形成的新結(jié)構(gòu)。= Ae-i(wt -naq)解：(1)一維晶格位移un區(qū)邊界，有q = ± ,對于a= Ae-i(wt m n)Ae-iwtun= (-1)n任何時(shí)刻相鄰un+1(2)當(dāng)w® 0時(shí)，振動(dòng)至不能恢復(fù)， 此時(shí)的位移為(-1)nA，形成的新晶格是兩原子互相靠近。41銅的空位形成能約為1.26eV，間隙試估計(jì)接近熔點(diǎn)（1300K）時(shí)空位和間隙兩者的數(shù)量級。的形成能約為4eV，的濃度，并比較解：對于空位，主要由肖脫基缺陷引起u-= NekBTn空1.26´1.6´10-191.38´10-2

22、3´1300- u kBTn-= 1.32 ´10-5空位濃度 空N= e= e對于間隙，由夫倫克爾缺陷引起：uu1= ( NN ' ) 2 e-» Ne2kBT2kBTn間4´1.6´10-192´1.38´10-23´1300-u2kBTn-= 1.79 ´10-8間隙= e= e濃度 間N二者差約3個(gè)量級。4 - 2試求產(chǎn)生n個(gè)肖脫基缺陷后晶體體積的變化以及對晶體熱容的貢獻(xiàn)。解：產(chǎn)生n個(gè)肖脫基缺陷就意味著有n個(gè)從晶體內(nèi)移動(dòng)到表面上，這樣，晶格的格點(diǎn)就由原來的N個(gè)增加到N + n個(gè)，所占的體積

23、為V0 ，令原來的晶體體積為V ，那么每個(gè)0Næn ö+ V0后來的體積V = Vn = V0 ç1+N ÷0Nèø= V0體積變化為V - Vn0N產(chǎn)生n個(gè)肖脫基缺陷，晶體的能量變化為nu，= æ ¶E öç ¶T ÷而CVèøV= æ ¶DE ö= æ ¶nu ö= u ¶n DCç÷ç ¶T÷V¶T¶Tè

24、;uøVèøV-而n = NekBT- u kBT- u kBTæö¶n(-1)uNu×ç-÷ ×= Ne=eç÷¶TT 2T 2kkèøBB- u kBTNu2nu 2DC=eVT 2T 2kkBB5 -1導(dǎo)出一維、二維和三維自由電子氣的能態(tài)密度g(E)，畫出g(E)隨E的變化曲線，并討論體系維度對物理性質(zhì)的影響。æ 2möh2k 2Þ k =解：E =çE ÷22mèhø1

25、2æöL2L2m一維：E以下的狀態(tài)數(shù)Z = 2 ×× 2k =ç÷E221èhø2L2m=E 2h- 1- 1L2mN2mg(E) =EE22hnhL ö2L2L2æ2m二維：Z = 2ç× k 2=×k 2÷Eh2è 2 ø22L2mNm g(E) =h2nh2333æL ö4 æ 2mE ö 2Væ 2mE ö 2三維：Z =×=322ç 2 ÷

26、;ç÷ç÷h2h2èø3èøèø31× E 2æ 2m ö 2V g(E) =×ç÷222è hø5 - 2證明二維自由電子氣的化學(xué)勢為：T lneh2n / mkBT-1m(T ) = kn為B面積上的電子數(shù)。¥證明：由N = ò f (E)g(E)dE可以求m(T )。0Nm二維自由電子氣的0 ® E間的狀態(tài)數(shù)Z =Enh2g(E) = dZ =Nmnh2dE¥¥

27、Nm / nh2 N = ò f (E)g(E)dE = ò e( E -m) / kBT +1 dE00æ E - mödç÷¥ò¥k TNmk TNmk Tdx èBøò=Bnh2 Bnh2 e( E -m) / kBT+1+1exm0-kBT¥¥e-xdx- d(e-x +1)Nmk TNmk Tòò=BBe- xe- x+1+1nh2nh2mm-kBTkBTéùm¥- Nmk TNmk Tln e-

28、x +1=lnêe kBT +1úBnh2Bn h2êëúû- mkBTéù+1úúûnh2 mnh2Þ= lnêe kBTêëmkBTæöç-1÷Þ m = kmkTT ln eBç÷Bèø5 - 3試根據(jù)自由電子氣量子理論的結(jié)果導(dǎo)出Lorentz數(shù)L的表，并與經(jīng)典理論的結(jié)果比較。æ k T ö2nkB çB÷=解：

29、根據(jù)量子理論： Ces= ne t22EFèøm132EF t1313熱導(dǎo)率K =C u=C ut=2lCeeemæ kT ö 2Enk 2t1 22nkB çB÷F t= B×T m32EFm3èønk 2t2 B×TK22æ kBö= 3m= ×Tç÷ne2ts3èeømö22æ k茲數(shù)L =çB÷3èeø與書上經(jīng)典結(jié)果對比。傳導(dǎo)電子的碰撞阻力用- p 來表示，p

30、是電子5 - 4若t動(dòng)量，試求金屬在交變電場中的電導(dǎo)率。解：在電場E作用下電子的運(yùn)動(dòng)方程（假定E沿x方向）m du= -eE - p = -eE - muttdtæ duuö mç+÷ = -eEtøè dt設(shè)：E = E e-iwt ,u=ue-iwt , x = x e-iwt，則：000（電子能夠跟上電場的 頻率）æ- iw+ 1 öu= - e Eç÷tøèmu= - (iwt+1) etEw2t2+1m- neu1+ iwtne2tjs(w) =×1+w2

31、t2EEm6 -1設(shè)有單價(jià)組成的一維晶格，晶格常數(shù)為a，晶體中的單電子勢V (x)由V (x) = -å A(x - na)n勢疊加而成，即式中A為，是函數(shù)勢的強(qiáng)度， n為整數(shù)，自由的歸一化電子波函數(shù)為j(x) = b1/ 2e-bx能量為E0，試用緊近似證明價(jià)電子的能量為E(k ) = E - 2 Abe-ba cos ka0rrrrå(n,n)ik ×R近似， E(k ) = E'- b' -g(R'e)解：由緊(1)求b' :m0mDV (x) = -å A(x - na) + A(x)n= -òj* (x

32、)DV (b'= -bò dx × e-2bx -å A(x - na) + A(x)n= - Ab+ bò dx × e-2bx å A(x - na)n= - Ab+ Abåe-2bn an= Abåe-2ba n n¹0(2)求g' := -òj*(x)DV (x)j(x - na)dx；（n ¹ 0, n = ±1）g'òb1/ 2e-bx×b1/ 2e-bx-a當(dāng)n = 1時(shí)，g' = -×DV (x)d

33、x1×-å A(x - n'a)dxn' ¹0= -bò e-bx× e-bx-a= bAåen' ¹0-ba n'+ n' -1 = bAe-ba（忽略高階項(xiàng)）波函數(shù)在其它原子上幾率小，e-ba為小量）（同理：g'= bAe-ba-1= E - 2bAe-bacos ka E(k ) = E' - 2bAe-2ba+ e-ikag'-eikag'0-1016 - 2利用緊r近似導(dǎo)出的s帶能量的一般公式rrråik ×RE(k ) =

34、 E' - b'-g(R'e)m0m(n,n)對m的求和只限于最近鄰， 試求bcc和fcc晶格s帶的能量E(k ).解：（1）對于bcc :數(shù)8個(gè)；坐標(biāo)（± a ,± a ,± a ）最近鄰代入上式，得：222ré) ùúûi(k a +ka +ka ) 2i(- a k + a k + a k )i(- a k - a k - a kE (k ) = E- b-gêe+ e+ . + ex 2yzxyzxyz2222222ssë= E - b- 8gcos 1 k a cos 1

35、 k a cos 1 k asxyz222(2)對于fcc :數(shù)12個(gè)。最近鄰坐標(biāo)(0,± a ,± a ), (± a ,0,± a ), (± a ,± a ,0)2代入，得：22222réùi(ka +ka ) 2-i(ka +ka ) 2E (k ) = E- b-gêeëyz+ eyz+ .úû22ss= E - b- 4gæ cos 1 k a cos 1 k a + cos 1 k a cos 1 k a + cos 1 k a cos 1 k a &

36、#246;ç÷sxyxzyzè222222ø6 - 3已知簡單立方晶格s帶的能量為rE(k ) = Es - b- 2g(cos kxa + cos kya + cos kza),試求：能帶極值附近電子的有效質(zhì)量及能態(tài)密度。解：帶頂：(± ,± ,± ),帶底：(0,0,0)aaa¶2 E =2ga2cos kxa¶k 2x¶2 E =2ga2cos kya¶k 2y¶2 E =2ga2cos kza¶k 2z對于帶頂：- h2h2=*zz*xxmyymm=

37、82;2 E=2ga2*mxx¶k 2xæ ö附近，有：ç aa ÷aèør111E(k ) = Es - b- 2g(-1+ 2 a (kx - a )-1+a (ky -)2a-1+a (kx 2-) )a222222éæ ö2 ù ö2 ö2ææ= E- b+ 6g- a2gêç k-+ ç k-+ ç k-÷÷÷úúûsxyzê&

38、#235;èa øèa øèa øa- a令：E = E- b+ 6g；k ' = k-= k'y；k0sxxy- a= kk 'zz則：E(k ) = E(k ' ) = E- a2gk '20r'= E - E(k ' )= -11 rÞ k'2'0；dkdE(k )ga22ga2E - E(k ' ) 0ga2r'g(E) = V ò (E - E(k ) d k3')43Vr¥ò (E - E

39、(k ' )4k '2dk '=34 r0rr-¥E - E(k ' ) æ-1öVò (E - E(k ' )4=ç÷dE(k ' )ø0gaè 2ga3224E0r'rrE0æöE - E(k )V1ò=(E - E(k ' )4ç÷ø'0dE(k )è 2ga2ga243-¥E0 - EV1=× 4 ×2ga2ga243V1g(E) =-

40、E)1/ 2(E0(ga)3/ 222V1(ga)3/ 2(E - b + 6g - E)1/ 2=s22對于帶底：h2h2h2= ¶2 E=2ga2*yy*zzmxx；mmg22a¶k 2x(00)附近，有：0r111E(k ) = Es - b- 2g(1- 2 a kx +1- 2 a ky +1- 2 a kz )222222= Es - b - 6g + gk a22= E' + gk 2a20rE(k ) - E'1dk =rdE(k ) k=2 0ga22 ga2 ×E(k ) - E'0r g(E) = V ò (

41、E - E(k )d k343r¥Vò (E - E(k )4k 2dk=340r¥E(k ) - E'VdE(k )ò (E - E(k )4=×r0ga3242 ga2 ×E(k ) - E'E'00V1=× (E - E' )1/ 2022 (ga)3/ 2V1g(E) =(E - E+ b+ 6g)1/ 2s(ga)3/ 22264設(shè)有一維晶格，在t = 0時(shí)電子處在能帶底（設(shè)能量為零），此時(shí)沿晶格方向加靜電場，試說明：r1）電子在k空間中的運(yùn)動(dòng)是周期性的，并求出周期；r空間中的運(yùn)動(dòng)是

42、否也是周期的?2）電子在rr解：(1)電子在k空間的運(yùn)動(dòng)方程為： hrrdk= -eedtee k (t) = -t(k (t = 0) = 0)h只要證明k (t)與k (t + T )對應(yīng)相同的狀態(tài)，那么每經(jīng)歷時(shí)間T，r就達(dá)到相同的狀態(tài)，那可以說明在k空間的運(yùn)動(dòng)是以T為周期的。在晶體中，k與k + G對應(yīng)相同的狀態(tài)，那么k (t)隨時(shí)間增長一定會(huì)達(dá)到k (t + T ) = k (t) + Grrrreer2 r而 =(令er = -ei )即：G = -TGiahT = 2heea(2)在真實(shí)空間中，有：rr1 rru(k ) =Ñ r E(k )khtrrr (t) = òu(t)dt0t +Tt +Ttrr (t + T ) = òu(t)dt = òu(t)dt + òu(t)dt00tk (t +T )òu(k )dkk (t )rt +Tt +Tdth而 òu(t)dt = ò u(k (t) dk dk = - eertt由于u(k )是k的奇函數(shù)，所以k變化一個(gè)周期0 r (t + T ) = r (t)即：電子在真實(shí)空間的運(yùn)動(dòng)也是周期性的，其周期與在k空間相同。