第6章 材料力學(xué)簡單的超靜定問題

1、1第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題6- -1 超靜定問題及其解法超靜定問題及其解法6- -2 拉壓超靜定問題拉壓超靜定問題6- -3 扭轉(zhuǎn)超靜定問題扭轉(zhuǎn)超靜定問題6- -4 簡單超靜定梁簡單超靜定梁6- -1 超靜定問題及其解法超靜定問題及其解法. 關(guān)于超靜定問題的概述(a)(b) 圖a所示靜定桿系為減小桿1 ,2中的內(nèi)力或節(jié)點A的位移(如圖b)而增加了桿3。此時有三個未知內(nèi)力FN1 ,FN2 ,FN3，但只有二個獨立的平衡方程 一次超靜定問題。(a)(b) 圖a所示簡支梁為減小內(nèi)力和位移而如圖b增加了中間支座C成為連續(xù)梁。此時有四個未知約束力FAx, FA, FB, FC，但只

2、有三個獨立的靜力平衡方程 一次超靜定問題。 超靜定問題：單憑靜力平衡方程不能求解約束力或構(gòu)件內(nèi)力的問題。FAFBl(a)FAxABq(b)l/2l/2CFCFAxAB qFBFA. 解超靜定問題的基本思路例例1超靜定結(jié)構(gòu)解除“多余”約束靜定基(例如桿3與接點A的連接)在靜定基上加上原有荷載及“多余”未知力并使“多余”約束處滿足變形(位移)相容條件相當(dāng)系統(tǒng)12BCAF AFN3AA FN3ADA 331N32111N3coscos2AElFAElFF于是可求出多余未知力FN3 。 由位移相容條件 ，利用物理關(guān)系(位移或變形計算公式)可得補充方程：AA 12BCAF AFN3AA FN3ADA 靜

3、定基ABl補充方程為048384534EIlFEIqlC于是可求出多余未知力FC。位移相容條件Cq+CFC=0 相相當(dāng)系統(tǒng)當(dāng)系統(tǒng)ABl/2qlFC例例2超靜定梁yxl/2l/2CABq. 注意事項 (1) 超靜定次數(shù)=“多余”約束數(shù)=“多余”未知力=位移相容條件數(shù)=補充方程數(shù)，因而任何超靜定問題都是可以求解的。 (2) 求出“多余”未知力后，超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和位移等均可利用相當(dāng)系統(tǒng)進行計算。 (3) 無論怎樣選擇“多余”約束，只要相當(dāng)系統(tǒng)的受力情況和約束條件確實與原超靜定系統(tǒng)相同，則所得最終結(jié)果是一樣的。 (4) “多余”約束的選擇雖然是任意的，但應(yīng)以計算方便為原則。 如上所示連續(xù)梁若取B處鉸

4、支座為“多余”約束，則求解比較復(fù)雜。xl/2l/2CABqFByxl/2l/2CABq xyFA 2 21 10 0NNFFFx 0 00 03 32 21 1 FFFFFyNNNcoscos 6-2 6-2 拉壓超靜定問題拉壓超靜定問題CABDF 1 12 23 3CABDF 1 12 23 3xyFA CABD 1 12 23 33 3l A1 12 23 3 CABDF 1 12 23 3CABD 1 12 23 31 1l cos3 31 1ll 1 11 11 11 1EAlFlN 3 33 33 33 3AElFl cosN 2 23 33 33 31 1cosNNAEEAFF C

5、ABDF 1 12 23 33 3l A1 12 23 3 1 1l 2 23 33 32 21 12 21 1coscosNNAEAEFFF 2 21 1NNFF 0 03 32 21 1 FFFFNNNcoscos 2 23 33 33 31 1cosNNAEEAFF 2 23 33 33 32 21 1cosNAEEAFF 15 例題例題2 求圖a所示等直桿AB上,下端的約束力，并求C截面的位移。桿的拉壓剛度為EA。 解解: 1. 列平衡方程 有兩個未知約束力FA , FB(見圖a)，但只有一個獨立的平衡方程 FA+FB-F=0 為一次超靜定問題。第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜

6、定問題16 2. 取固定端B為“多余”約束。相應(yīng)的相當(dāng)系統(tǒng)如圖b，它應(yīng)滿足相容條件BF+BB=0，參見圖c，d。第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題 3. 補充方程為 0EAlFEAFaBlFaFB由此求得所得FB為正值，表示FB的指向與假設(shè)的指向相符，即向上。17得 FA=F-Fa/l=Fb/l。5. 利用相當(dāng)系統(tǒng)(如圖)求得 lEAFabEAalFbEAaFAC 4. 聯(lián)立求解 FA+FB-F=0第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題 例例3 3 如圖所示剛性梁如圖所示剛性梁ABAB由由1 1，2 2，3 3桿懸掛，三桿的剛度桿懸掛，三桿的剛度均為均為EA。求。求P力作用

7、下三桿的軸力。力作用下三桿的軸力。解：解：0Y0AM（1）平衡方程：平衡方程：0321變形協(xié)調(diào)方程：變形協(xié)調(diào)方程：13232()LLLL11NF llEA 22NF llEA（2）物理方程：物理方程：33NF llEA（3）聯(lián)解聯(lián)解（1）（）（2）（）（3）式得：）式得：312613L3L2L1此時，變形協(xié)調(diào)條件為此時，變形協(xié)調(diào)條件為13232()LLLL注意：受力圖與變形圖必受力圖與變形圖必須一致！須一致！例例4 圖示結(jié)構(gòu)，圖示結(jié)構(gòu)，AB為剛性梁，為剛性梁，1、2兩桿剛度相同。求兩桿剛度相同。求1、2桿的桿的受力。受力。022cos30 021平衡方程平衡方程:變形關(guān)系變形關(guān)系:物理關(guān)系物理

8、關(guān)系:cos30 2211聯(lián)立解出聯(lián)立解出:3326 332421. 裝配應(yīng)力和溫度應(yīng)力(1) 裝配應(yīng)力 超靜定桿系(結(jié)構(gòu))由于存在“多余”約束，因此如果各桿件在制造時長度不相匹配，則組裝后各桿中將產(chǎn)生附加內(nèi)力裝配內(nèi)力，以及相應(yīng)的裝配應(yīng)力。 圖a中所示桿系(E1A1=E2A2)中桿3的長度較應(yīng)有長度短了e，裝配后各桿的位置將如圖中虛線所示。此時，桿3在結(jié)點 A 處受到裝配力FN3作用(圖b)，而桿1,2在匯交點A 處共同承受與桿3相同的裝配力FN3作用(圖b)。(a)(b)求算FN3需利用位移(變形)相容條件(圖a)列出補充方程由此可得裝配力FN3，亦即桿3中的裝配內(nèi)力為eAAAA eAElF

9、AElF21113N333N3cos221113333Ncos2AElAEleF(拉力）(a) 至于各桿橫截面上的裝配應(yīng)力只需將裝配內(nèi)力(軸力)除以桿的橫截面面積即得。 由此可見，計算超靜定桿系(結(jié)構(gòu))中的裝配力和裝配應(yīng)力的關(guān)鍵,仍在于根據(jù)位移(變形)相容條件并利用物理關(guān)系列出補充方程。而桿1和桿2中的裝配內(nèi)力利用圖b中右側(cè)的圖可知為壓力21113333N2N1Ncos2cos2cos2AElAEleFFF 例題例題5 兩端用剛性塊連接在一起的兩根相同的鋼桿1, 2(圖a)，其長度l =200 mm，直徑d =10 mm。試求將長度為200.11 mm，亦即e=0.11 mm的銅桿3(圖b)裝

10、配在與桿1和桿2對稱的位置后(圖c)各桿橫截面上的應(yīng)力。已知：銅桿3的橫截面為20 mm30 mm的矩形，鋼的彈性模量E=210 GPa，銅的彈性模量E3=100 GPa。 解解：1. 如圖d所示有三個未知的裝配內(nèi)力FN1, FN2 , FN3，但對于平行力系卻只有二個獨立的平衡方程，故為一次超靜定問題。也許有人認為，根據(jù)對稱關(guān)系可判明FN1=FN2，故未知內(nèi)力只有二個，但要注意此時就只能利用一個獨立的靜力平衡方程：所以這仍然是一次超靜定問題。02 01NN3FFFx，(d)2. 變形相容條件(圖c)為這里的l3是指桿3在裝配后的縮短值，不帶負號。ell313. 利用物理關(guān)系得補充方程：eAE

11、lFEAlF33N3N14. 將補充方程與平衡方程聯(lián)立求解得： 所得結(jié)果為正，說明原先假定桿1,2的裝配內(nèi)力為拉力和桿3的裝配內(nèi)力為壓力是正確的。5. 各桿橫截面上的裝配應(yīng)力如下：EAAElAeEFAEEAleEAFF211 21133333N332NN1，MPa51.19MPa53.743N331N21AFAF（拉應(yīng)力）（壓應(yīng)力）(2) 溫度應(yīng)力 也是由于超靜定桿系存在“多余”約束，桿件會因溫度變化產(chǎn)生的變形受到限制而產(chǎn)生溫度內(nèi)力及溫度應(yīng)力。鐵路上無縫線路的長鋼軌在溫度變化時由于不能自由伸縮，其橫截面上會產(chǎn)生相當(dāng)可觀的溫度應(yīng)力。 例題例題6 試求兩端與剛性支承連接的等截面桿(圖a)當(dāng)溫度升高

12、t 時橫截面上的溫度應(yīng)力。桿的橫截面面積為A，材料的彈性模量為E，線膨脹系數(shù)為l。(a) 解解: : 1. 由平衡方程只能知道桿兩端的軸向支約束力數(shù)值相等而指向相反，但不能給出約束力的值，可見這是一次超靜定問題。 2. 以剛性支撐B為“多余”約束后的基本靜定系由于溫度升高產(chǎn)生的伸長變形lt和“多余”未知力FN產(chǎn)生的縮短變形lF分別如圖所示。3. 變形相容條件為4. 補充方程為5. 由此得多余未知力0Ftll0NEAlFltltEAFlN6. 桿的橫截面上的溫度應(yīng)力為tEAFlN 若該桿為鋼桿而l =1.210-5/(C)，E=210GPa，則當(dāng)溫度升高t =40時有MPa100 Pa10100

13、C40GPa10210C/102 . 1695tEl（壓應(yīng)力）tEAFlN6- -3 扭轉(zhuǎn)超靜定問題扭轉(zhuǎn)超靜定問題 例題例題6- -5 兩端固定的圓截面等直桿AB，在截面C處受扭轉(zhuǎn)力偶矩Me作用，如圖a。已知桿的扭轉(zhuǎn)剛度為GIp。試求桿兩端的約束力偶矩以及C截面的扭轉(zhuǎn)角。(a) 解解: : 1. 有二個未知約束力偶矩MA, MB，但只有一個獨立的靜力平衡方程故為一次超靜定問題。0 0eBAxMMMM，(a)MAMB 2. 以固定端B為“多余”約束，約束力偶矩MB為“多余”未知力。在解除“多余”約束后基本靜定系上加上荷載Me和“多余”未知力偶矩MB，如圖b；它應(yīng)滿足的位移相容條件為注：這里指的是

14、兩個扭轉(zhuǎn)角的絕對值相等。BBMBMe另一約束力偶矩MA可由平衡方程求得為3. 根據(jù)位移相容條件利用物理關(guān)系得補充方程：由此求得“多余”未知力，亦即約束力偶矩MB為ppeGIlMGIaMB elaMMB eeeelbMlaMMMMMBA4. 桿的AC段橫截面上的扭矩為lbMMTAACe從而有 peplGIabMGIaTACC(a) 例題例題6- -6 由半徑為a的銅桿和外半徑為b的鋼管經(jīng)緊配合而成的組合桿，受扭轉(zhuǎn)力偶矩Me作用，如圖a。試求銅桿和鋼管橫截面上的扭矩Ta和Tb，并繪出它們橫截面上切應(yīng)力沿半徑的變化情況。(a) 解解: : 1. 銅桿和鋼管的橫截面上各有一個未知內(nèi)力矩 扭矩Ta和Tb

15、(圖b)，但只有一個獨立的靜力平衡方程Ta+Tb= Me，故為一次超靜定問題。TaTb(b)2. 位移相容條件為BbBa3. 利用物理關(guān)系得補充方程為4. 聯(lián)立求解補充方程和平衡方程得：bbbaaabbbaaaTIGIGTIGlTIGlTpppp ，即epppepppMIGIGIGTMIGIGIGTbbaabbbbbaaaaa，TaTb(b)5. 銅桿橫截面上任意點的切應(yīng)力為aIGIGMGITbbaaaaaa0ppep鋼管橫截面上任意點的切應(yīng)力為baIGIGMGITbbaabbbbppep 上圖示出了銅桿和鋼管橫截面上切應(yīng)力沿半徑的變化情況。需要注意的是，由于銅的切變模量Ga小于鋼的切變模量G

16、b，故銅桿和鋼管在 = a處切應(yīng)力并不相等，兩者之比就等于兩種材料的切變模量之比。這一結(jié)果與銅桿和鋼管由于緊配合而在交界處切向的切應(yīng)變應(yīng)該相同是一致的。aaab6- -4 簡單超靜定梁簡單超靜定梁.超靜定梁的解法 解超靜定梁的基本思路與解拉壓超靜定問題相同。求解圖a所示一次超靜定梁時可以鉸支座B為“多余”約束，以約束力FB為“多余”未知力。解除“多余”約束后的靜定基為A端固定的懸臂梁。靜定基0BBBqww靜定基在原有均布荷載q和“多余”未知力FB作用下(圖b)當(dāng)滿足位移相容條件(參見圖c,d) 時該系統(tǒng)即為原超靜定梁的相當(dāng)系統(tǒng)。若該梁為等截面梁，根據(jù)位移相容條件利用物理關(guān)系(參見教材中的附錄)

17、所得的補充方程為03834EIlFEIqlB從而解得“多余”未知力qlFB83所得FB為正值表示原來假設(shè)的指向(向上)正確。固定端的兩個約束力利用相當(dāng)系統(tǒng)由靜力平衡條件求得為 28185qlMqlFAA，該超靜定梁的剪力圖和彎矩圖亦可利用相當(dāng)系統(tǒng)求得，如圖所示。思考思考 1. 該梁的反彎點(彎矩變換正負號的點)距梁的左端的距離為多少？ 2. 該超靜定梁可否取簡支梁為基本靜定系求解？如何求解？ 例題例題6- -7 試求圖a所示系統(tǒng)中鋼桿AD內(nèi)的拉力FN。鋼梁和鋼桿的材料相同，彈性模量E已知；鋼桿的橫截面積A和鋼梁橫截面對中性軸的慣性矩I 亦為已知。 解解: : 1. 該系統(tǒng)共有三個未知力(圖b)

18、FN ,FB ,FC ，但平面平行力系僅有兩個獨立的平衡方程，故為一次超靜定問題。 2. 取桿和梁在點A處的連接鉸為“多余”約束，相應(yīng)的“多余”未知力為FN。位移(變形)相容條件(參見圖b)為wA=lDA。3. 物理關(guān)系(參見圖c,d)為EAlFlEIaFEIqawwwDAAFAqAN3N4 127，需要注意，因lDA亦即圖b中的 是向下的，故上式中wAF為負的。1AA4. 于是根據(jù)位移(變形)相容條件得補充方程：由此求得EAlFEIaFEIqaN3N412734N 127AalIAqaF 例題例題6- -8 試求圖a所示等截面連續(xù)梁的約束力FA , FB , FC，并繪出該梁的剪力圖和彎矩圖。已知梁的彎曲剛度EI=5106 Nm2。 解解: :