第4章 波動(dòng)方程的積分解

1、第第 4 章章 波動(dòng)方程的積分解波動(dòng)方程的積分解 第3章 基本波函數(shù)n*3.1 標(biāo)量波函數(shù)n *#3.2 平面波，柱面波和球面波用標(biāo)量基本波函數(shù)展開(kāi) n 3.3 理想導(dǎo)電圓柱對(duì)平面波的散射n 3.4 理想導(dǎo)電圓柱對(duì)柱面波的散射n 3.5 理想導(dǎo)電劈對(duì)柱面波的散射n 3.6 理想導(dǎo)電圓筒上的孔隙輻射n 3.7 理想導(dǎo)電圓球?qū)ζ矫娌ǖ纳⑸鋘 3.8 理想導(dǎo)電圓球?qū)η蛎娌ǖ纳⑸鋘*3.9 分層媒質(zhì)上的電偶極子n*3.10 矢量波函數(shù)第4章 波動(dòng)方程的積分解n*4.1 非齊次標(biāo)量亥姆霍茲方程的積分解n*4.2 非齊次矢量亥姆霍茲方程的積分解n4.3 輻射場(chǎng)與輻射矢量n4.4 口徑衍射場(chǎng)n*4.5 電場(chǎng)

2、和磁場(chǎng)的積分方程背景n電磁波問(wèn)題的求解，都可以歸結(jié)為求解齊次或非齊次標(biāo)量或矢量波動(dòng)方程。對(duì)這類(lèi)二階偏微分方程，一般可以采用微分法和積分法。解的表達(dá)式主要分為級(jí)數(shù)形式和積分形式。n上一章介紹的解法就是采用微分法，將解用波函數(shù)波函數(shù)表示為級(jí)數(shù)形式。本章介紹積分法，將解表示為積分形式。 4.1 非齊次標(biāo)量標(biāo)量亥姆霍茲方程的積分解n在電磁波問(wèn)題中，有源區(qū)的時(shí)諧電磁場(chǎng)或矢量位函數(shù)的直角坐標(biāo)分量或德拜位滿(mǎn)足非齊次標(biāo)量亥姆霍茲方程 惠更斯原理繞射場(chǎng)(衍射場(chǎng))4.2 非齊次矢量矢量亥姆霍茲方程的積分解 4.3 輻射場(chǎng)和輻射矢量輻射場(chǎng)和輻射矢量對(duì)于源分布在無(wú)限大均勻空間區(qū)域中的情況，電磁場(chǎng)僅由源確定，如果已知源

3、分布，電磁場(chǎng)可由式(4-24)中通過(guò)對(duì)源的體積分計(jì)算。本節(jié)討論式(4-24)在遠(yuǎn)區(qū)的近似表示式。將式(4-24)重寫(xiě)如下： ( )( )( )mVjggg dVE rJ rJr (4-24a) ( )( )( )( )mmVjggg dVrH rJ rJr (4-24b) 因Jj , 式(4-24a)可改寫(xiě)為 21( )( )( )( )mVkjgdVj E rJ rJrJ r (4-26) 對(duì)于上式積分中的第三項(xiàng)，因 ( )( )xyzggggxyz J rJ reee 其中 ( )( )( )gggxxx J rJ rJ r ( )( )( )gggyyy J rJ rJ r ( )( )

4、( )gggzzz J rJ rJ r 以及 ( )( )VSggdVdSxx J rJ r 如果電流在有限區(qū)域，總可取積分區(qū)域包含電流分布區(qū)域，并使上式右邊的積分曲面上電流為零，從而使上式積分也為零。因此 21( )( )( )( )mVkjgdVj E rJ rJrJ r (4-27) 如果場(chǎng)點(diǎn)在遠(yuǎn)區(qū)，即Rrr，上式被積函數(shù)中對(duì)自由空間格林函數(shù)的運(yùn)算可以簡(jiǎn)化。 因?yàn)?1()4jkRRegjkgRR e 2231133()xkkgjkjxxgxRRRRR Ree 2231133()ykkgjkjyygyRRRRR Ree 2231133()zkkgjkjzzgzRRRRR Ree 所以 2(

5、 )1131()()1xyzrgJgJgJgxyzjkkjkgRRRRgjkgR RRRRmmRJJJ eeJ eeJJe 對(duì)于輻射場(chǎng)，僅保留1/ R項(xiàng)，得： 221( )( )( )( )mRRVkkkgdVjRE rJ rJ reeJre (4-28) 我們常將波源周?chē)目臻g由近及遠(yuǎn)分為近區(qū)，中區(qū)和遠(yuǎn)區(qū)近區(qū)，中區(qū)和遠(yuǎn)區(qū)，它們也分別稱(chēng)為電抗區(qū)，菲涅爾區(qū)和夫瑯和費(fèi)區(qū)。對(duì)于遠(yuǎn)區(qū)，也就是夫瑯和費(fèi)區(qū)，取以下近似： Rrrr e 11Rr Re re 則輻射電場(chǎng)為 ( )( )( )( )4jkjkrmrrrVjeedVr rr eE rJ rJ reeJre (4-29) 同理可得輻射磁場(chǎng)為 ( )

6、( )( )( )4jkjkrmmrrrVjeedVr rr eH rJrJreeJ re (4-30) 定義輻射矢量 ( )jkVedVrr eLJ r (4-31) ( )jkmVedVrr eNJr (4-32) 在圓球坐標(biāo)系中，輻射矢量可用其分量表示為 rrLLLLeee (4-33) rrNNNNeee (4-34) 遠(yuǎn)區(qū)輻射電場(chǎng)式(4-29)可用輻射矢量的分量簡(jiǎn)潔的表示為 4jkrEjeLNr (4-34a) 4jkrEjeLNr (4-34b) 式中 ( )jkVLJr edVrr e (4-35a) ( )jkVLJr edVrr e (4-35b) ( )jkmVNJr edVrr e (4-35c) ( )jkmVNJr edVrr e (4-35d) 4.4 口徑衍射場(chǎng)口徑衍射場(chǎng)(自習(xí)自習(xí))n衍射現(xiàn)象是波動(dòng)過(guò)程中當(dāng)波遇到如孔、縫隙待障礙物的線(xiàn)度與波長(zhǎng)可以比擬時(shí)所發(fā)生的不籤幾何光學(xué)規(guī)律的現(xiàn)象。衍射現(xiàn)象用幾何光學(xué)不能解釋。關(guān)于光波衍射的最早的理論就是惠更斯原理，其數(shù)學(xué)開(kāi)工是標(biāo)量基爾霍夫公式。但是，對(duì)于電磁波的衍射問(wèn)題，波的矢量不能被 忽略。計(jì)算電磁波的衍射可利用Stratton-Chu公式得到的矢量基爾霍夫公式 S V J A Jm 圖4-4 口徑衍射4.5 電場(chǎng)和磁場(chǎng)積分方