電磁學(xué) 習(xí)題與討論課

1、aVE0210d21aVE d21220rraQrad4421220300arrrQd442122200aQaQ0202840aQ02203 電場能是以體密度定域分布電場能是以體密度定域分布在空間內(nèi)的靜電能。在空間內(nèi)的靜電能。 半徑為半徑為R、帶電量為、帶電量為Q的的均勻帶電球面，其靜電能與球均勻帶電球面，其靜電能與球體的靜電能相體的靜電能相比，哪個大？比，哪個大？求真空中一半徑為求真空中一半徑為a、帶電量為、帶電量為Q的均勻球體的靜電場能。的均勻球體的靜電場能。aQ解：解：作高斯面如圖，作高斯面如圖， 由高斯定理得由高斯定理得24 rE0333434raQ3014aQrE球內(nèi)球內(nèi)2024rQ

2、E球外球外VwWeed有一外半徑有一外半徑R1、內(nèi)半徑、內(nèi)半徑R2的金屬球殼的金屬球殼, 其其中放一半徑為中放一半徑為R3的金屬球，球殼和球均的金屬球，球殼和球均帶有電量帶有電量10-8C的正電荷。問：的正電荷。問：(1) 兩球電兩球電荷分布。荷分布。(2) 球心的電勢。球心的電勢。(3) 球殼電勢。球殼電勢。電荷分布如圖所示球面電荷分布如圖所示球面q, 殼內(nèi)表殼內(nèi)表 面面-q,殼外表面殼外表面2qR3由高斯定律可得：由高斯定律可得：)(033RrE)(423202RrRrqE)(0121RrRE)(421200RrrqE(2)0dlEUo3023121RRRRRR10232d0d0RRRrE

3、rE12023204d24dRRRrrqrrq12302114RRRq(3)rrqURd4212011042Rq求半徑為求半徑為R 、帶電量為、帶電量為q的的均勻帶電細(xì)均勻帶電細(xì)圓環(huán)軸線上的電場。圓環(huán)軸線上的電場。ORx P解：解：在圓環(huán)上取電荷元在圓環(huán)上取電荷元dqqdEdrlRqlqd2dderqE204dd 各電荷元在各電荷元在P點(diǎn)點(diǎn) 方向不同，分布于方向不同，分布于一個圓錐面上。一個圓錐面上。EdqdEdrEd/dE/dddEEE由對稱性可知由對稱性可知0dEE cos4d20/rqEErxRlqr2d4120 d2142030RlRrqx23220)(4Rxqx23220)(4Rxi

4、qxE：1、環(huán)心處環(huán)心處0E2、0 Ex3、令、令 0ddxE處處E有極大值有極大值 2 Rx均勻帶電圓平面的電場均勻帶電圓平面的電場(電荷面密度電荷面密度 )。OxrdrP疊加原理思想：疊加原理思想：圓盤圓盤 由許多均勻帶電圓環(huán)組成。由許多均勻帶電圓環(huán)組成。解：任取半徑為解：任取半徑為r的圓環(huán)的圓環(huán)rrqd 2d由上題結(jié)果由上題結(jié)果23220)(4RxiqxE得：得：23220)(4ddrxqxE )(4d2R023220rxrrxE1 2220Rxx：1、x0，或，或 R時，時，02E無限大帶電平面的電場無限大帶電平面的電場2、 x R時，想一想時，想一想?E2204xRE204xq 簡化

5、為點(diǎn)電荷簡化為點(diǎn)電荷21222122)1 ()(xRxRx2)(211xR(Gauss law) 真空中靜電場內(nèi)，通過任意封閉曲真空中靜電場內(nèi)，通過任意封閉曲面面(高斯面高斯面)的電通量等于該封閉曲面的電通量等于該封閉曲面所包圍的電量代數(shù)和的所包圍的電量代數(shù)和的 倍：倍：01討論：討論：1. 式中各項的含義式中各項的含義S：封閉曲面封閉曲面；E：總場：總場, S內(nèi)外所有電荷均有貢獻(xiàn)；內(nèi)外所有電荷均有貢獻(xiàn)；)CmN(1085. 8221120真空電容率（介電常數(shù)）真空電容率（介電常數(shù)）內(nèi)qS內(nèi)的凈電荷；內(nèi)的凈電荷； :e只有只有S內(nèi)電荷有貢獻(xiàn)。內(nèi)電荷有貢獻(xiàn)。2. 揭示了靜電場中揭示了靜電場中“”

6、和和“” 的關(guān)系的關(guān)系靜電場的重要性質(zhì)之一：靜電場的重要性質(zhì)之一： 靜電場是靜電場是3.利用高斯定理可方便求解具有某些利用高斯定理可方便求解具有某些 對稱分布的靜電場對稱分布的靜電場成立條件成立條件：靜電場靜電場求解條件：求解條件：電場分布具有某些對稱性電場分布具有某些對稱性選擇恰當(dāng)?shù)母咚姑?，使選擇恰當(dāng)?shù)母咚姑?，使sSEd中的中的以標(biāo)量形式提到積分號外，以標(biāo)量形式提到積分號外， 從而從而簡便地求出簡便地求出 分布。分布。ESeSdE分立iq01連續(xù)dq01SSdE中的中的 能以標(biāo)量能以標(biāo)量E當(dāng)場源電荷分布具有某種對稱性時，當(dāng)場源電荷分布具有某種對稱性時，應(yīng)用高斯定律，選取適當(dāng)?shù)母咚姑妫瑧?yīng)用高斯

7、定律，選取適當(dāng)?shù)母咚姑?，使面積分使面積分形式提出來，形式提出來，均勻帶電球殼均勻帶電球殼均勻帶電無限大平板均勻帶電無限大平板均勻帶電細(xì)棒均勻帶電細(xì)棒ElS eOrpEQopeESSeSdE 即可求出場強(qiáng)。即可求出場強(qiáng)。常見類型：常見類型：場源電荷分布場源電荷分布球?qū)ΨQ球?qū)ΨQ性性軸對稱軸對稱性性面對稱面對稱性性例題例題 求電量為求電量為Q 、半徑為、半徑為R的均勻的均勻帶電球面的場強(qiáng)分布。帶電球面的場強(qiáng)分布。源球?qū)ΨQ源球?qū)ΨQ場球?qū)ΨQ場球?qū)ΨQRrSeSdE Rr 0 0RrQ0 0 SdSE2 24 4 rE ERr 0RrrQ2 20 04 4 r0ER選高斯面選高斯面EEEESd 求均勻帶電球

8、體求均勻帶電球體(Q、R)的電場分的電場分 布。布。oqP解：對稱性分析解：對稱性分析作以作以O(shè)為中心為中心, r為半徑的球形面為半徑的球形面S，SrES面上各點(diǎn)彼此等價，面上各點(diǎn)彼此等價，E大小相等，大小相等，方向沿徑向。方向沿徑向。以以S為高斯面：為高斯面：sSEdsSEdcos0sSE d24rE由高斯定理：由高斯定理：sSEd24rEniiq101內(nèi)24rqE0內(nèi) :qqRr內(nèi)333434 :rRqqRr內(nèi)304RqrE內(nèi)令令334Rq體電荷密度體電荷密度rE03內(nèi)204rqE外1. 求均勻帶電球面求均勻帶電球面( )的電場分布，的電場分布，并畫出并畫出 曲線。曲線。qR ,rE E0

9、 )( Rr 4 30rrq )( Rr rROE21 r2. 如何理解帶電球面如何理解帶電球面 處處 值突變？值突變？ERr 帶電面上場強(qiáng)帶電面上場強(qiáng) E 突變是采用面模型突變是采用面模型的結(jié)果，實際問題中計算帶電層內(nèi)及其的結(jié)果，實際問題中計算帶電層內(nèi)及其附近的準(zhǔn)確場強(qiáng)時，應(yīng)放棄面模型而還附近的準(zhǔn)確場強(qiáng)時，應(yīng)放棄面模型而還其體密度分布的本來面目。其體密度分布的本來面目。3、計算帶電球?qū)?、計算帶電球?qū)?R1, R2, )的電場分布。的電場分布。1R2Ro解：解：選一半徑為選一半徑為r 的球形高斯面的球形高斯面SSr由高斯定理由高斯定理SSEd24 rE內(nèi)q01內(nèi)qrE0241)(01Rr )(

10、 )(3212310RrRrRr)( 43)( 220203132RrrqrRR求求無限長均勻帶電直線無限長均勻帶電直線( )的電場。的電場。rP對稱性分析：對稱性分析：EEddqOqddddEEP點(diǎn)處合場強(qiáng)垂直于帶電直線點(diǎn)處合場強(qiáng)垂直于帶電直線,與與P 地位等價的點(diǎn)的集合為以帶電地位等價的點(diǎn)的集合為以帶電直線為軸的圓柱面直線為軸的圓柱面。高斯面：高斯面：取長取長 L 的圓柱面，加上的圓柱面，加上底、下底構(gòu)成高斯面底、下底構(gòu)成高斯面S。SLSESd上SEd下SEd側(cè)SEdrLESE2d0cos側(cè)=0=0由高斯定理由高斯定理0012LqrLE內(nèi)rE02 rOE1. 無限長均勻帶電柱面的電場分布？

11、無限長均勻帶電柱面的電場分布？P:視為無限長均勻帶電直線的集合。視為無限長均勻帶電直線的集合。EdEdrEEddO選同軸圓柱型選同軸圓柱型高高斯斯面面rl高高斯斯面面lrrERrERr02:0:ErRO 當(dāng)帶電直線，柱面，柱體當(dāng)帶電直線，柱面，柱體不能視為無限長時，不能視為無限長時， 能否用能否用高斯定理求電場分布？高斯定理求電場分布？無限大均勻帶電平面的電場無限大均勻帶電平面的電場 (電荷面密度電荷面密度 )。對稱性分析：對稱性分析：PPOEdEdEdEd 方向垂直于帶電平面，離帶電平面方向垂直于帶電平面，離帶電平面距離相等的場點(diǎn)彼此等價。距離相等的場點(diǎn)彼此等價。E選擇圓柱體表面為高斯面，如

12、圖：選擇圓柱體表面為高斯面，如圖： SSESd左SEd右SEd側(cè)SEd=0SE 2根據(jù)高斯定理根據(jù)高斯定理SE 2內(nèi)q010S02E得得均勻電場均勻電場其方向由其方向由的符號決定的符號決定1. 電勢電勢(electric potential)零勢點(diǎn)ppplEqWdUo單位：伏特（單位：伏特（V） 靜電場中某點(diǎn)電勢等于單位正電荷靜電場中某點(diǎn)電勢等于單位正電荷在該點(diǎn)具有的電勢能，或?qū)挝徽娫谠擖c(diǎn)具有的電勢能，或?qū)挝徽姾捎稍擖c(diǎn)移至零勢點(diǎn)過程中靜電力所荷由該點(diǎn)移至零勢點(diǎn)過程中靜電力所做的功。做的功。2. 電勢差電勢差(electric potential difference)BABAABlEU

13、UUd 點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷q在靜電場中在靜電場中a沿任意路徑沿任意路徑移至移至b過程中靜電力做的功：過程中靜電力做的功：)(dABABAABUUqlEq電勢和電勢差電勢和電勢差討論：討論：（1） U 為空間標(biāo)量函數(shù)；為空間標(biāo)量函數(shù)；（2）U 具有相對意義，其值與零勢具有相對意義，其值與零勢 點(diǎn)選取有關(guān)，點(diǎn)選取有關(guān)， 但但Uab與零勢點(diǎn)與零勢點(diǎn) 選取無關(guān)。選取無關(guān)。（3）電勢遵從疊加原理：電勢遵從疊加原理：即：點(diǎn)電荷系場中任一點(diǎn)的電勢等于即：點(diǎn)電荷系場中任一點(diǎn)的電勢等于 各點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時在該點(diǎn)產(chǎn)生各點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時在該點(diǎn)產(chǎn)生 的電勢的的電勢的代數(shù)和代數(shù)和。iUU(零勢點(diǎn)相同零勢點(diǎn)相同)（4）由保守力

14、與其相關(guān)勢能的關(guān)系：由保守力與其相關(guān)勢能的關(guān)系：3. 靜電力做的功靜電力做的功常選無窮遠(yuǎn)或地球電勢常選無窮遠(yuǎn)或地球電勢為零。電勢差與電勢的為零。電勢差與電勢的零點(diǎn)選取無關(guān)。零點(diǎn)選取無關(guān)。(3) 由電勢定義計算由電勢定義計算零勢點(diǎn)零勢點(diǎn)ppplElEU dcosd1.場強(qiáng)積分法場強(qiáng)積分法(由定義求由定義求)(1) 首先確定首先確定 分布分布;E(2) 選零勢點(diǎn)和便于計算的積分路徑選零勢點(diǎn)和便于計算的積分路徑;2.2.利用電勢疊加原理利用電勢疊加原理QrdQ04iiirQ04pU點(diǎn)電荷系點(diǎn)電荷系連續(xù)分布的帶電體連續(xù)分布的帶電體半徑為半徑為R的均勻帶電球體，的均勻帶電球體，帶電量為帶電量為q。求其電

15、勢分布。求其電勢分布。RqorPEro21rER選擇同心球面為高斯面，選擇同心球面為高斯面，S根據(jù)根據(jù)高斯定律得高斯定律得SSEd24rE 內(nèi)q0134341433021rRqrERrRqrE3014RrrqE2024:Rr rlEUd1RrrE d1RrE d23200dd44RrRqrqrrRr30228)3(RrRq:Rr rqrrqrEUrr020224d4dr1rRoRq04U求無限大均勻帶電平面求無限大均勻帶電平面( )場場 中電勢分布。中電勢分布。xaOa 解：解： 電場分布電場分布) , ( 0 )( 0axaxaxaE 因為電荷無限分布，故在有限遠(yuǎn)因為電荷無限分布，故在有限遠(yuǎn)

16、處選零勢點(diǎn)處選零勢點(diǎn).令令O點(diǎn)電勢為零。點(diǎn)電勢為零。0OU沿沿X 軸方向積分：軸方向積分： ax區(qū)域：區(qū)域：axaxExEU0dd a)(000a ：區(qū)區(qū)域域axa000 )(dxxxEUx ax 區(qū)域：區(qū)域： dd 0axaxExEU00)(0aa Ux曲線如圖曲線如圖Uxaoa例例1. 求無限長載流圓柱形導(dǎo)體的磁求無限長載流圓柱形導(dǎo)體的磁場分布。場分布。orPIR解：解：磁場分布分析磁場分布分析橫截面圖橫截面圖.Ir作半徑為作半徑為r 的圓環(huán)為積分回路的圓環(huán)為積分回路LLLdlBrB 2根據(jù)安培環(huán)路定理根據(jù)安培環(huán)路定理rB 2內(nèi)I0內(nèi)內(nèi)IrB2 0rrIB120外外:Rr II 內(nèi):Rr

17、2222 RIrrRII內(nèi)內(nèi)rRIrB202內(nèi)內(nèi)求長直螺線管內(nèi)的磁感強(qiáng)度求長直螺線管內(nèi)的磁感強(qiáng)度(I, n已知已知)。lRon解：解： 分析磁場分布分析磁場分布B軸向軸向B均勻，均勻，外外B近近似為零。似為零。作安培回路作安培回路abcd如圖：如圖：PablBdLbalBdcblBddclBdadlBdabBlBba000d根據(jù)安培環(huán)路定理根據(jù)安培環(huán)路定理abnIabB0nIB0abnII 內(nèi)內(nèi)1RIN2Rro求載流螺繞環(huán)的磁場分布求載流螺繞環(huán)的磁場分布(R1、R2、N、I已知已知)。R1R2解：解： 分析磁場分布分析磁場分布對稱性對稱性L相等相等 點(diǎn)的集合點(diǎn)的集合B同心圓環(huán)同心圓環(huán)以中心以中

18、心O,半徑半徑 r 的圓環(huán)為安培環(huán)路的圓環(huán)為安培環(huán)路LLdlBrB 2根據(jù)安培環(huán)路定理根據(jù)安培環(huán)路定理rB 2內(nèi)I0內(nèi)內(nèi)IrB2 00外外B: , 21RrRr0內(nèi)內(nèi)I:21RrRrNIB20內(nèi)內(nèi)NII內(nèi)內(nèi)為了測試某種材料的相對磁導(dǎo)率為了測試某種材料的相對磁導(dǎo)率, ,常將材料做成橫截面為圓形的螺繞環(huán)芯常將材料做成橫截面為圓形的螺繞環(huán)芯子子, , 設(shè)環(huán)上繞有線圈設(shè)環(huán)上繞有線圈200200匝匝, , 平均圍長平均圍長0.1m, 0.1m, 橫截面積為橫截面積為5 5 1010-5-5m m2 2, , 當(dāng)線圈內(nèi)當(dāng)線圈內(nèi)通有電流通有電流0.1A0.1A時用磁通計測得穿過橫截時用磁通計測得穿過橫截面積

19、的磁通量為面積的磁通量為6 6 1010-5-5 Wb, Wb, 試計算該材試計算該材料的相對磁導(dǎo)率。料的相對磁導(dǎo)率。IlHLdNILHLNIHBr0r0截面磁場近似均勻截面磁場近似均勻BSm30mr104.78NISL解：解：選如圖所示的安培環(huán)路選如圖所示的安培環(huán)路rNOL導(dǎo)線導(dǎo)線ab彎成如圖形狀，半徑彎成如圖形狀，半徑r=0.10m，B=0.50T,轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)速n=3600轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/分。分。電路總電阻為電路總電阻為1000 。求感應(yīng)電動勢。求感應(yīng)電動勢和感應(yīng)電流以及最大感應(yīng)電動勢和最和感應(yīng)電流以及最大感應(yīng)電動勢和最大感應(yīng)電流。大感應(yīng)電流。 rB依題依題意意-1s 120602ncosBSSBtrB

20、cos22根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律得根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律得tiddtrBsin22RIiitRrBsin22最大最大感應(yīng)電動勢和最大感應(yīng)電流為：感應(yīng)電動勢和最大感應(yīng)電流為：V96. 2mimA96. 2miI例例5. 一長直導(dǎo)線通以電流一長直導(dǎo)線通以電流 (I0為常數(shù)為常數(shù))。旁邊有一個邊長分別為。旁邊有一個邊長分別為l1和和l2的矩形線圈的矩形線圈abcd與長直電流共面，與長直電流共面，ab邊邊距長直電流距長直電流r。求線圈中的感應(yīng)電動勢。求線圈中的感應(yīng)電動勢。tIisin01l2lrx處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：xiB20如圖取如圖取dS=l2dxSSBd120d2lrrxlxir

21、lrtlI1200lnsin220t方向方向時時根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律得根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律得tiddrlrtlI1200lncos2根據(jù)楞次定律可知根據(jù)楞次定律可知為為逆逆時時針針轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)向向時時，當(dāng)當(dāng)00cos20itt為為順順時時針針轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)向向時時，當(dāng)當(dāng)00cos2ittIvacd 解：在解：在cd上任取上任取dlvB方向xIB20 x根據(jù)動生電動勢公式得：根據(jù)動生電動勢公式得：dlxIdi)90cos(90sin2000cossin20dxxIdxtgxILaaicos02aLatgIcosln20方向：方向：c至至d。：一直導(dǎo)線一直導(dǎo)線cd在一無限長直電在一無限長直電流磁場中作切割磁力線

22、運(yùn)動，流磁場中作切割磁力線運(yùn)動，cd長長為為L。求。求 ：動生電動勢。：動生電動勢。StBlESLdd感電磁場的基本方程之一電磁場的基本方程之一可見：可見：(1) 變化的磁場能夠激發(fā)電場。變化的磁場能夠激發(fā)電場。(2) “-”的含義：的含義： tB感E負(fù)右手螺旋負(fù)右手螺旋(3)感生電場的性質(zhì)：感生電場的性質(zhì)：0d SSE感StBlESLdd感(4) 對場中電荷的作用力：對場中電荷的作用力：感感EqF1. 定義求解：定義求解：LilEd感LilEd感2. 法拉第電磁感應(yīng)定律求解：法拉第電磁感應(yīng)定律求解：SiSBttdddddtBdd選擇一回路選擇一回路L, 逆時針繞行逆時針繞行L感生電場的方向如

23、圖：感生電場的方向如圖：感感E感感E感感EStBlESLdddd感StBrESddd2感，Rr 2dd2rtBrE感tBrEdd2感，Rr 2dd2RtBrE感tBrREdd22感BobaRch：定義法：定義法感生電場分布：感生電場分布：tBrEdd2內(nèi)tBrREdd22外bcab感l(wèi)dldr外Er內(nèi)EcbbalElEdd外內(nèi)cosddd2ltBrbacosddd22ltBrRcbrhRhRlhrcos 23 )2(222ltBhRddd20感l(wèi)RlhtBhRRRd)2(1dd22222tBRtBRdd12dd4322tBRdd12332)( ), ( ca：法拉第電磁感應(yīng)定律求解：法拉第電磁

24、感應(yīng)定律求解BobaRch連接連接 , 形成閉合回路形成閉合回路OcOa,Oac感E半徑半徑內(nèi)E內(nèi)E外E0OcOaacOcacOaOac通過通過 的磁通量的磁通量:Oac)1233(2RB)(d扇SSBSBOabSmtmddtBRdd12332) ( , )( ca設(shè)某時刻導(dǎo)體棒位于設(shè)某時刻導(dǎo)體棒位于l處處任取任取xySddxxdtandSSSBdlxxtkx0dtancostklcostan313根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律：根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律：tiddtklsintan313ttlklcostandd2l = vt)cos3sin(tan3123ttttkivlS，N， 。lIlNBISlNNBSi2SlNILi2lSlN22lSV lNn VnL2l 一電纜由兩個一