第六章期權定價理論

1、第六章期權定價理論第一節(jié)期權價格的特性一、期權價格的構成期權的內(nèi)在價值是期權多頭在行使期權時可以獲得的收益的現(xiàn)值。我們在第五章已經(jīng)介紹。下面我們介紹期權的時間價值。期權的價格等于期權的內(nèi)在價值加是時間價值。期權的時間價值是指在期權有效期內(nèi)標的資產(chǎn)價格波動為期權持有者帶來收益的可能性所隱含的價值。顯然，標的資產(chǎn)價格的波動性越高，期權的時間價值越大。此外，期權的時間價值還受期權內(nèi)在價值的影響，以無收益看漲期權為例，當時，期權的時間價值最大，當?shù)慕^對值增大時，期權的時間價值是遞減的。我們用例子來說明期權內(nèi)在價值與時間價值之間的關系。假設A股票（無紅利）的市價為9.05元，A股票有兩種看漲期權，其協(xié)議

2、價格分別為元，元，它們的有效期都是1年，1年期權無風險利率為10%（連續(xù)復利）。這兩種期權的內(nèi)在價值分別為0和1.81（）元，那么這兩種看漲期權的時間價值誰高？假設這兩種看漲期權的時間價值相同，都是2元，那么第一種期權的價格為2元，第二種期權的價格為3.81元，此時投資者愿意買哪一種呢？我們比較這兩種期權，假定一年后出現(xiàn)如下三種情況：情況一：，那么期權持有者可從期權1中獲利：元，從期權2中獲利：元，獲利金額相等；情況二：，那么期權持有者在期權1上虧損：元，期權2也虧：元；情況三：，期權1的虧損仍為2.21元，而期權2的虧損則為元，期權1的虧損小于期權2。由此可見，無論未來A股票的漲是跌還是平，

3、期權1均優(yōu)于期權2，因此期權1的時間價值不應該等于期權2，而應該大于期權2。我們還可以比較下列兩個期權：和，顯然這兩種期權都是內(nèi)在價值為零的看漲期權，通過分析可以得到，期權1的時間價值應高于期權2的時間價值。時間價值S圖1 無收益資產(chǎn)看漲期權的時間價值與內(nèi)在價值的關系二、期權價格的影響因素期權價格的影響因素有六個，他們通過影響期權的內(nèi)在價值和時間價值來影響期權的價格。（一）標的資產(chǎn)的市場價格與期權協(xié)議價格由于看漲期權在執(zhí)行時，其收益等于標的資產(chǎn)當時的價格與協(xié)議價格之差，因此，標的資產(chǎn)的價格越高，協(xié)議價格越低，看漲期權的價格就越高；對看跌期權面而言，其收益等于協(xié)議價格與標的資產(chǎn)當時的價格之差，標

4、的資產(chǎn)的價格越低，協(xié)議價格越高，看跌期權的價格就越高。（二）期權的有效期對于美式期權而言，期限越長獲利機會就越多，因此期權的價格會越高。對于歐式期權，由于其只能在期末執(zhí)行，有效期長的期權不一定包含有效期短的期權的所有執(zhí)行機會，如標的資產(chǎn)在期限長的有效期內(nèi)有紅利支付（在知短的期限內(nèi)沒有），那么期限長的期權的價格就會低于期限短的期權。這就使歐式期權的有效期與期權的價格之間的關系顯得較為復雜。如果剔除了標的資產(chǎn)支付大量收益這一特殊情況，由于有效期長，標的資產(chǎn)的風險就越大，空頭的虧損風險就大，因此有效期長，其期權的價格就越高。（三）標的資產(chǎn)價格的波動率（四）無風險利率（五）標的資產(chǎn)的收益標的資產(chǎn)分紅付

5、息等將減少標的資產(chǎn)的價格，而協(xié)議價格并未進行調(diào)整，因此在期權的有效期內(nèi)標的資產(chǎn)產(chǎn)生收益將使看漲期權的價格下降，并使看跌期權價格上漲。三、期權價格的上、下限1、無套利定價法套利就是在某項金融資產(chǎn)的交易過程中，交易者可以在不需要期初投資支出的條件下獲取無風險報酬。即套利就是一投資組合。例：假定市場條件如下：貨幣市場上美元利率是6%，馬克利率是10%；外匯市場上美元與馬克的即期匯率是1USD1.8DEM（1：1.8），問題是一年期的遠期匯率是否還可以是1：1.8呢？如果是，是否存在套利機會？答案是否定的，因為在此情況下會產(chǎn)生無風險的套利活動。套利者可以從貨幣市場借入1美元（一年后歸還1.06美元）；

6、在即期匯率市場上將1美元兌換成1.8馬克（存入銀行，一年到期可以得到1.98馬克），同時在遠期市場上以匯率1：1.8賣出1.98馬克，期限為一年。那么一年后，套利者就可以在遠期市場上換回1.1美元，在支付了原先借入1美元的本息1.06美元后，還有0.04美元的剩余，如果不計成本的話，這個剩余就是套利者獲得的無風險的收益，顯然，1：1.8不應該是遠期匯率的價格，上述組合就是一套利機會。定義1若在整個交易時間0，T內(nèi)，投資人在決定投資投資后，沒有加入新的資金，也沒有資金被抽走或消耗，則稱投資策略是自融資的。定義2一個自融資策略被稱為在0，T內(nèi)存在套利機會（arbitrage opportunity

7、），如果存在時刻，使得當而且定義3若對于任意的自融資策略在任意時段內(nèi)都不存在套利機會，那么稱市場在時段0，T內(nèi)是無套利的。定理1若市場在時段0，T內(nèi)是無套利機會的，則對于兩個投資組合和，如果且那么，對于任意的，必有證明：反證法。若不然，一定存在時刻，使得記。在時刻構造新的投資策略那么可以證明是在時段內(nèi)存在套利機會。從而與定理的假設矛盾。推論若市場在時段0，T內(nèi)是無套利的，如果兩個投資組合和滿足，那么對于任意的，必有證明：考慮組合，則有。由定理1知：對于任意的，有即令知：同理可證：。無套利定價的基本的思路是：構建兩種投資組合，讓其終值期待，則其現(xiàn)值也一定相等；否則就會產(chǎn)生套利機會，即賣出現(xiàn)值較高

8、的投資組合，買入現(xiàn)值較低的投資組合，并持有到期末，套利者就可獲取無風險收益。2、期權價格的上、下限基本假設：1、市場不存在套利機會； 2、證券交易不付交易費用（市場無摩擦）； 3、無風險利率是常數(shù)。定理3對于有效期內(nèi)無收益標的資產(chǎn)的歐式期權，以下的估計式成立（考慮復利率）：（2.1） (2.2)證明：在0時刻，構造兩個投資組合：對于一張0時刻面值為的無風險債券，若考慮復利率，有則有因此所以，且由定理1知：即且所以證得了期權的下界。再構造一投資組合，則有且由定理1知：(2.1)證畢。（2.2）的證明作為作業(yè)。定理4對于有效期內(nèi)有收益標的資產(chǎn)的歐式期權，以下的估計式成立（考慮復利率）：（2.3）

9、(2.4)其中D是期權有效期內(nèi)資產(chǎn)收益的現(xiàn)值。四、期權價格曲線的形狀我們以無收益資產(chǎn)的情況為例。1、看漲期權的價格曲線實值期權虛值期權期權價格上限期權價格下限時間價值看漲期權價格2、看跌期權的價格曲線（略）五、歐式看漲、看跌期權的平價公式定理5看漲看跌平價公式（無收益資產(chǎn)）：定理6看漲看跌平價公式（有確定現(xiàn)金收益資產(chǎn)，收益的現(xiàn)值為D）：第二節(jié)期權定價的二叉樹模型基本假設：1、市場不存在套利機會； 2、證券交易不付交易費用（市場無摩擦）； 3、無風險利率是常數(shù)。 4、股票是無限可分的。一、一個例子假定原生資產(chǎn)股票在時刻的價格為元，一個月后（），它有兩種可能性：上揚到45元或下跌到35元。那么在時

10、刻購買一張一個月到期，廟宇價格的平價期權，問應該支付多少期權金？（假定一年期的存款利率為12%）。根據(jù)期權到期時的收益在時刻，期權的價值亦有兩種可能性：若股票上揚，元；若股票價格下跌，則元，即期權一文不值。在時刻，構造一個投資組合：在到期日，該組合的價值也有兩種可能性：若股票價格上揚，若股票價格下跌即在到期日，該組合具有確定的值元。另外在時刻，構造一個投資組合：（元）那么在到期日（即一個月后），組合的收益（元）因此有由無套利假設及其推論，知：即由此得：這表明投資者為了購買這張期權，在時刻應該支付期權金元。這個例子的關鍵在于：（1） 由風險資產(chǎn)股票的看漲期權限c構造一個無風險投資組合，這就是對沖

11、的思想；（2） 求得的期權價格元與每個投資者對未來價的期望無關，因此所得的價格就是期權的風險中性價格。二、 期權定價的一期模型關于風險資產(chǎn)（股票、外匯等）的價格變化規(guī)律的研究，從最簡單的模型單時段雙狀態(tài)模型開始。以此為基礎，我們討論如何利用無套利原理，求出它的衍生物期權的價格。假設市場由兩個資產(chǎn)構成：無風險資產(chǎn)B和風險資產(chǎn)S（股票）。單時段（one period）：是指交易只在時刻的初始時刻以及終止時刻進行。雙狀態(tài)（two state）：是指風險資產(chǎn)的價格在未來時刻只有兩種可能性：。我們的問題是：假如在時刻，風險資產(chǎn)的價格為，預期在時，它的價格可能是：和這里。現(xiàn)投資者在購買一張到期日為T，敲定

12、價格為X的看漲期權，如果在0，T時段無風險利率為，那么該看漲期權的價格為多少？在時刻，期權的價格為即在到期日，期權的價格也有兩種可能性：和我們的思想是：構造無風險的投資組合。試想賣出一張看漲期權，出售方必然面臨風險，為了回避這個風險，出售方要采取適當?shù)牟呗詫︼L險進行控制，即買進適當份額的股票與它對沖，使得組合為無風險的。記這個份額為，這就是對沖的思想。構成投資組合：購買一份股票，賣掉份看漲期，使得該組合是無風險的，這稱為對沖（hedging）。利用對沖技巧，我們給出期權的定價公式。假定存在，使得是無風險的，即有時刻，的價值是確定的，即無風險的。既然是無風險的，那么的投資增長率為無風險利率(不計

13、復利)，即由此得：（3.1）由于在時刻股票價格有兩種可能性，所以在組合的價值也有兩種可能性，但由于構造的無風險組合，那么我們有（3.2）由（3.1）和（3.2），我們知：在這里，和是未知量。解之得：（3.3）那么（3.4）由無套利假設知：事實上，若，則用無風險利率借入的資產(chǎn)，然后購買一支股票，在到期日時，股票的最少價格為，用賣出股票的錢還債則有無風險收益（最少）：這個組合是一套利機會，與假設相矛盾。同理可得：。定義新的概率測度Q：易知：且從而（3.4）可以改寫為（3.5）這里的表示在概率測度Q下，隨機變量的數(shù)學期望。我們通常也將測度Q稱為風險中性測度，（3。5）式告訴我們，看漲期權的價格也可以

14、解釋為在風險中性概率條件下，期權價格是其收益期望值的折現(xiàn)。定理1在概率測度Q下，看漲期權在時刻的貼現(xiàn)價格是期權到期日價格貼現(xiàn)值的數(shù)學期望，即（3.6）注意：即這說明在概率測度Q下，風險資產(chǎn)S在時刻的期望回報與無風險資產(chǎn)的期望回報相同，我們把具有這個性質(zhì)的金融市場稱為風險中性世界。在這樣的世界中，所有的投資者對風險不要求補償，所有證券的預期收益率都是無風險利率。由此，我們把以上定義的測度Q稱為風險中性測度，在風險中性測度下給出的期權定價公式稱為風險中性價格。例1 設股票價格為，股票價格以的概率向上和向下波動，無風險利率為15%，那么股票的變化情況為S=21uS=29.4dS=23.1試求協(xié)議價格

15、為的看漲期權的價格（到期日就是T時刻）。解：由上面的分析，所以看漲期權的價格為說明：1、由此可知，構造投資組合所需的投資為：，而在期末投資的總價值為：；2、此投資組合的回報率為：一期模型的期權定價公式有三人個有趣的性質(zhì)：1、期權的價格不依賴于股票價格上升或下降的概率；2、投資者對風險的態(tài)度與期權定價公式無關，我們只假設投資者偏好更多的財富；3、股票價格是期權價值惟一依賴的隨機變量。3.3 期權定價的二期模型下面我們討論二期模型。無風險債券B：無風險利率為r為常數(shù)，且每期復利一次，即期初為的無風險債券，到二期結(jié)束時的價值為。在本例中，設。股票S：經(jīng)歷兩期，每期都有兩個狀態(tài)：向上，向下。不妨假定：

16、，。根據(jù)假定，可知：由一期模型的討論知：風險中性概率，我們考慮看漲期權：到期日為時刻，敲定價格為。那么在時刻，期權金從到，可以看作一期模型，因此可以得到：同理，從到仍可以看作一期模型，那么有得：如果期權的執(zhí)行價格為，則，則期權的價格為（元）第三節(jié) BS期權定價公式金融資產(chǎn)的定價問題是現(xiàn)代財務金融理論的一個基本問題。對于具有固定現(xiàn)金流的金融資產(chǎn)（如債券），其價格都是通過凈現(xiàn)值方法來確定的。運用凈現(xiàn)值方法需要事先確定一個適當?shù)恼郜F(xiàn)率，即資本成本和未來現(xiàn)金流。按照財務理論，該折現(xiàn)率的大小應該與投資風險大小成正比，也就是它應該由無風險利率和風險溢價組成。對于期權來講，其風險究竟有多大？如何計算出相應的

17、風險溢價以及未來的現(xiàn)金流？這些都是較難解決的問題。一、基礎知識和基本假定定義1隨機過程被稱為Brown運動或Wiener過程，如果滿足：1） 軌道連續(xù)：，且是的連續(xù)函數(shù)；2） 增量正態(tài)分布：對固定的，以及對有3） 增量獨立：若，有與都是相互獨立的。定義2 若是非預測的隨機過程，在作一個剖分：作積：求和：如果極限存在，其中，且此極限與剖分無關，則稱此極限值為的Ito積分，記作：注意：這個積分定義與通常的Riemann積分的定義是有差別的。定理（Ito公式）設，其中是二元可微的。若隨機過程適合隨機微分方程則 Ito公式是隨機分析中復合函數(shù)求微分的法則。一、基本假設：1） 股票價格滿足隨機微分方程：

18、（4.1）其中，是常數(shù)。我們稱股票價格服從幾何布朗運動。2） 股票市場允許賣空；3） 沒有交易費用或稅收；4） 所有證券都是無限可分的；5） 證券在有效期內(nèi)沒有紅利支付；6） 不存在無風險套利機會；7） 交易是連續(xù)進行的；8） 無風險利率是常數(shù)。二、BS期權定價公式設表示時刻的期權價格，它是時間和股票價格的函數(shù)，假定關于有一階連續(xù)偏導數(shù)，關于有二階連續(xù)偏導數(shù)。（一）BS微分方程構造組合：選取適當?shù)模沟迷跁r段內(nèi)，是無風險的。設在時刻形成投資組合，并在內(nèi)，不改變份額。那么由于是地風險的，因此在時刻，投資組合的回報即由于是滿足（4.1）的隨機過程，而是的函數(shù)，所以即要使得是無風險的，則應取，由此可知：那么我們有：這就是著名的BS微分方程。（二）BS期權定價公式1973年，BS成功求解了他們的微分方程，從而獲得了看漲期權的定價公式。定理（BS公式）其中, 根據(jù)歐式看漲看跌的平價公式，對于無收益資產(chǎn)的看跌期權，其定價公式為：（三）有收益資產(chǎn)的期權定價公式到現(xiàn)在為止，我們一直假定期權的標的資產(chǎn)沒有現(xiàn)金收益，那么對于有收益資產(chǎn)，其定價公式又是怎樣的呢？當標的資產(chǎn)已知收益的現(xiàn)值為I時，我們只要用（SI）