第七課無窮級數(shù)2010122(講稿2)

1、第五課 無窮級數(shù)第四節(jié) 冪級數(shù)一、函數(shù)項級數(shù)的概念1.【定義】設(shè) 是定義在區(qū)間上的函數(shù),則 稱為定義在區(qū)間上的(函數(shù)項)無窮級數(shù).2收斂域(1) 收斂點 常數(shù)項級數(shù) 收斂；(2) 收斂域 函數(shù)項級數(shù)的所有收斂點形成的集合；3和函數(shù),.4余項, .注: 只有在收斂域上,才有意義；, .二、冪級數(shù)及其收斂性1 一般冪級數(shù)標(biāo)準(zhǔn)冪級數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)冪級數(shù)）, 其中常數(shù)，.2.重要公式：.對于級數(shù)，作代換可以將一般冪級數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)冪級數(shù)，所以我們只研究標(biāo)準(zhǔn)冪級數(shù)斂散性的判別方法.3.【阿貝爾定理】（補充）設(shè)的收斂域為，則（1）若且, 則對, 收斂且絕對收斂. (2) 若, 則對,有即級數(shù)發(fā)散.4收斂半徑的計算【定

2、理3】對于， 記(或)（為常數(shù)或），則此冪級數(shù)的收斂半徑為.常用公式:，.5.收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域1) 收斂半徑滿足(或)（為常數(shù)或）的正數(shù)稱為的收斂半徑.2) 收斂區(qū)間若的收斂半徑為,則斂區(qū).3）收斂域：若的收斂半徑為，且考慮級數(shù)在區(qū)間端點處的斂散性后所得到的區(qū)間稱為級數(shù)的收斂域.注意:收斂域有四種可能的形式: 4) 規(guī)定 冪級數(shù)只在處收斂, 定義, 收斂域；獨點集 冪級數(shù)對一切實數(shù)都收斂, 定義, 收斂域.提問（1）求冪級數(shù)的收斂域.（缺項級數(shù)收斂域求法）解由時級數(shù)收斂，由由時級數(shù)發(fā)散.得 當(dāng)時，收斂，當(dāng)時，收斂，所以 收斂域為 .（2） (90.5) 求級數(shù)的收斂域.（一般冪級數(shù)收

3、斂域求法）解,由知,因此當(dāng)即時級數(shù)收斂.當(dāng)時,原級數(shù)為收斂,當(dāng)時,原級數(shù)為收斂.所以收斂域為.（3）(92.3) 級數(shù)的收斂域為.答原級數(shù)可看作,因為,于是,則原冪級數(shù)在,即內(nèi)收斂.當(dāng)和時,原級數(shù)都為發(fā)散,所以收斂域為.（4）(02.3) 設(shè)冪級數(shù)與的收斂半徑分別為與,則冪級數(shù)的收斂半徑為（A）(A) 5；(B) ；(C) ；(D) .答因為,所以.（5）（）的收斂半徑為 .提示：.三、冪級數(shù)以及和函數(shù)的運算性質(zhì)1.設(shè) 的收斂半徑分別為1）加減法: ,. 其中: .2）乘法: ,. 其中: , ,.3）除法: ,.其中: 待定, 而由系列表達(dá)式,確定.此處, , 但.2.【性質(zhì)1】冪級數(shù)的和函

4、數(shù)在其收斂域上是連續(xù).3.【性質(zhì)2】冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂域上的閉子區(qū)間可積，且有逐項積分公式 , .例: , .逐項積分時在處無意義.4. 【性質(zhì)3】 冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間上可微，且在收斂區(qū)間上 , .說明：求導(dǎo)與積分前后兩級數(shù)的收斂半徑不變.例13(99.3) .因為,收斂域為，令，則有,所以答案為4.例14(00.6) 設(shè)求的和.解由,得,令,則其收斂半徑,在內(nèi),于是,令,則,從而.例15(03.9) 求冪級數(shù)的和函數(shù)及其極值.解依題意上式兩邊從0到積分,得,由得.令,求得唯一駐點,由于可見在處取得極大值,且極大值為.例16(05.9) 求冪級數(shù)在區(qū)間內(nèi)的和函數(shù).解設(shè),則, 由于因

5、此又由于所以故例17(06.10) 求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù).解由于,當(dāng)時原級數(shù)絕對收斂,當(dāng)時原級數(shù)發(fā)散,所以原級數(shù)的收斂半徑為,且易知當(dāng)時級數(shù)都收斂,故收斂域為.記,則 ，.由于,所以,從而,且冪級數(shù)的收斂域為.例18(04.9)設(shè)級數(shù)的和函數(shù)為,求(I)所滿足的一階微分方程; (II)的表達(dá)式.解(I)由,易知,且冪級數(shù)的收斂區(qū)域為,在上逐項求導(dǎo)得,所以是初值問題的解.(II)方程的通解為,由初始條件,知.故是上述初值問題的解,所以.例19 (02.7) (1)驗證函數(shù)滿足微分方程；(2) 利用(1)的結(jié)果求冪級數(shù)的和函數(shù).解(1) 冪級數(shù)的收斂域是,在上逐項求導(dǎo),得所以.（2）對應(yīng)的齊次

6、微分方程為的其特征方程為,其特征根為,所以齊次微分方程的通解為.設(shè)非齊次方程的特解為,將代入方程可得,則,于是原方程通解為.由解之得,所以冪級數(shù)的和函數(shù).例20(08.10) 設(shè)銀行存款年利率為,并依年復(fù)利計算,某基金會希望通過存款萬元,實現(xiàn)第一年提取萬元,第二年提取萬元,第年提取萬元,并能按此規(guī)律一直提取下去,問至少應(yīng)為多少萬元？【此題為已知將來值求現(xiàn)值的問題】解 若第年提取萬元,則相應(yīng)現(xiàn)在應(yīng)存入萬元,于是 ,將代入,得(萬元).第五節(jié) 泰勒級數(shù)及其應(yīng)用一、泰勒級數(shù)【定理】（Taylor中值Th）:設(shè)在內(nèi)具有直到n+1階導(dǎo)數(shù), 則在內(nèi)，其中為拉格朗日型余項.【定理】（TaylorTh）:設(shè)在

7、內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù), 則在內(nèi).其中為的拉格朗日型余項.結(jié)論：函數(shù)在點有泰勒展式在有任意階導(dǎo)數(shù)且.注意：1）函數(shù)在一點處可以展開為Taylor級數(shù)時，其展式是唯一的. 因為 泰勒系數(shù)（）是唯一的. 2）為在點的Taylor級數(shù)，等式在時成立，稱為函數(shù)的Taylor展式.5泰勒級數(shù)與麥克勞林級數(shù)設(shè)在點具有任意階導(dǎo)數(shù)，則稱(1) 為在點的泰勒級數(shù),(2) 稱為的麥克勞林級數(shù),結(jié)論：當(dāng)級數(shù)收斂于時，即時有泰勒展式.二、函數(shù)展開成冪級數(shù)1直接法(麥克勞林級數(shù)法)步驟：(1) 求； (2) 求；(3) 寫出的麥克勞林級數(shù)并求出級數(shù)的收斂半徑；(4) 討論或，(5) 在收斂區(qū)間上有 , .重要公式：（1）, .（2） 收斂域為 .（3）.（4）.（5）.2間接法根據(jù)函數(shù)的泰勒展式的唯一性,利用常見展開式,通過變量代換,四則運算,恒等變形,逐項求導(dǎo), 逐項積分等方法,求函數(shù)的泰勒展開式.例26 按要求將下列函數(shù)展成冪級數(shù)（1） 將展開成的冪級數(shù).（注意收斂區(qū)間的間接求法）解：已知, . 那么, . (2)解因為,所以有,并由得的收斂域為.(3)解 因為,所以有.(4)解 由,有又由得其收斂區(qū)間為.收斂域為 .注意：對于不需要通過積分與求導(dǎo)就可以的得到的級數(shù)，其收斂域可以直接由原收斂域間接求出，但對于要積分或求導(dǎo)才能得到的級數(shù)，端點要單獨考察一下斂散性.（5） ()將函