第十一講無窮級數(shù)

1、第十一章 無窮級數(shù)一、學(xué)習(xí)目的與要求1、 加深理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，知道無窮級數(shù)的基本性質(zhì)。2、 熟悉幾何級數(shù)和p級數(shù)的收斂性。3、 掌握正項(xiàng)級數(shù)的比較審斂法，熟練掌握正項(xiàng)級數(shù)的比值審斂法。4、 掌握交錯(cuò)級數(shù)的萊布尼茲定理；了解無窮級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念，及絕 對收斂與收斂的關(guān)系。5、 知道函數(shù)正項(xiàng)級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。6、 熟練掌握較簡單冪級數(shù)的收斂域的求法。7、 知道冪級數(shù)在其收斂區(qū)間的一些基本性質(zhì)。8、 知道冪級數(shù)和函數(shù)的概念，并會(huì)求一些常見級數(shù)的和函數(shù)。9、 知道函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充要條件。10、掌握和的麥克勞林展開式，并能利用這些展開式將一些簡單函數(shù)展為冪

2、級數(shù)。11、 知道函數(shù)展開為傅立葉級數(shù)的充要條件，并能將定義在和上的函數(shù)展開為傅立葉級數(shù)。能將定義在上的函數(shù)展開為正弦或余弦級數(shù)。二、學(xué)習(xí)重點(diǎn)1、正項(xiàng)級數(shù)的比較審斂法和比值審斂法。2、交錯(cuò)級數(shù)的萊布尼茲定理。3、函數(shù)展開成冪級數(shù)和傅立葉級數(shù)。三、內(nèi)容提要1、級數(shù)的概念:設(shè)有無窮數(shù)列，則稱為無窮級數(shù)，簡稱級數(shù)。稱 為部分和。若存在且有限，則稱級數(shù)收斂，并稱S為級數(shù)的和，若不存在或?yàn)?，則稱級數(shù)發(fā)散。2、收斂級數(shù)的性質(zhì)（1）若級數(shù)，收斂，則對任意常數(shù)，。（2）改變級數(shù)有限多項(xiàng)的值，不影響它的收斂性。（3）收斂級數(shù)可任意添加括號(hào)，且和不變。（4）收斂級數(shù)的通項(xiàng)。數(shù)項(xiàng)級數(shù)區(qū)分為正項(xiàng)級數(shù)，交錯(cuò)級數(shù)及任意項(xiàng)

3、級數(shù)，這三類級數(shù)的收斂性判別亦不同。3、正項(xiàng)級數(shù)的判別法除開因而判斷級數(shù)發(fā)散外，常用以下方法判斷級數(shù)的收斂性。比較判別法：若n充分大時(shí)有，則當(dāng)收斂時(shí)，也收斂；當(dāng)發(fā)散時(shí)，也發(fā)散。比較判別法的極限形式：若則當(dāng)時(shí)，與有相同的斂散性；當(dāng)0時(shí)，由收斂，也收斂；當(dāng)=+時(shí)，由發(fā)散，也發(fā)散。比值判別法：若，則當(dāng)時(shí)級數(shù)收斂，時(shí)級數(shù)發(fā)散,時(shí)級數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散。根值判別法：若，則當(dāng)時(shí)級數(shù)收斂，時(shí)級數(shù)發(fā)散，時(shí)級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。積分判別法：設(shè)在上是非負(fù)且單調(diào)減，n=1,2,則級數(shù)收斂的充要條件是收斂。常用于比較判別法及其極限形式的正項(xiàng)級數(shù)是：幾何級數(shù)（等比級數(shù)）：，當(dāng)時(shí)收斂；時(shí)發(fā)散。P-級數(shù)：，當(dāng)級數(shù)收斂；

4、當(dāng)時(shí)級數(shù)發(fā)散。例如：，當(dāng)時(shí)收斂；當(dāng)時(shí)發(fā)散。4、交錯(cuò)級數(shù)的萊布尼茲判別法:若，n=1,2,，則交錯(cuò)級數(shù)收斂，且和，余項(xiàng)。5、任意項(xiàng)級數(shù)的收斂:任意項(xiàng)級數(shù)（含交錯(cuò)級數(shù)）的收斂性分為絕對收斂和條件收斂，若級數(shù)收斂，稱級數(shù)絕對收斂；若發(fā)散，而收斂，稱條件收斂。（注意：絕對收斂的級數(shù)必收斂。）6、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂:（n=1,2,）都是定義在X上的函數(shù)，則稱為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)。若給定，數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂，稱為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂點(diǎn)。所有收斂點(diǎn)的集合E稱為收斂域。對，級數(shù)的和記為，稱函數(shù)，為級數(shù)的和函數(shù)。7、冪級數(shù)的概念:形如的級數(shù)稱為的冪級數(shù)，其中為常數(shù)，稱為冪級數(shù)的系數(shù)。冪級數(shù)的收斂域是以為中心，以R為半徑的區(qū)間，收斂半

5、徑R由公式或給出，當(dāng)R0時(shí)冪級數(shù)僅在點(diǎn)收斂；當(dāng)時(shí)，冪級數(shù)的收斂區(qū)間為，端點(diǎn)也可能是收斂點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，冪級數(shù)在上都收斂。8、冪級數(shù)的性質(zhì)（1）冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)絕對收斂，在內(nèi)發(fā)散，在端點(diǎn)處可能收斂，也可能發(fā)散。（2）冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂域上連續(xù)。（3）冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)微分或逐項(xiàng)積分，而且所得的新的冪級數(shù)收斂半徑不變。因而，在該區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)微分及逐項(xiàng)積分無窮多次。（4）若與的收斂半徑分別為，令，則當(dāng)時(shí)，其中，（5）若在點(diǎn)可以展成冪級數(shù)，則必為在點(diǎn)處的泰勒級數(shù)，即若，則，在點(diǎn)處的泰勒級數(shù)又稱麥克勞林級數(shù)。它表示為。9、五個(gè)重要的冪級數(shù)展開式:（1） （2） （3） （4）（5）特別地10、函數(shù)

6、展成冪級數(shù)直接法先求出，得到冪級數(shù)，并求此級數(shù)的收斂域，再證此收斂域內(nèi)泰勒公式中余項(xiàng)收斂于零，從而得到冪級數(shù)展開式。間接法利用五個(gè)重要函數(shù)冪級數(shù)展開式，通過適當(dāng)變量代換、四則運(yùn)算、復(fù)合運(yùn)算以及微分、積分等方法將一個(gè)函數(shù)展成冪級數(shù)，并指出其收斂域。11、和函數(shù)的求法（1） 根據(jù)和函數(shù)定義，先求級數(shù)部分和，再取極限得到。（2） 通過和差運(yùn)算將級數(shù)化為易求和的若干級數(shù)的和與差。（3） 通過逐項(xiàng)積分或逐項(xiàng)微分將冪級數(shù)化為常見函數(shù)的冪級數(shù)并求和，然后再對它作相反的分析運(yùn)算（反演）得到原冪級數(shù)的和函數(shù)。12、傅立葉級數(shù)：設(shè)是以為周期的周期函數(shù)，在上可積，則的傅立葉系數(shù)為：， n=0,1,2,， n=1,2

7、,由以上，為系數(shù)的三角級數(shù)稱為的傅立葉級數(shù)，記做當(dāng)x是以為周期的奇函數(shù)時(shí)，n=0,1,2,， ， n=1,2,此時(shí)，稱之為正弦級數(shù)。當(dāng)x是以為周期的偶函數(shù)時(shí)，n=1,2,， ， n=0,1,2,此時(shí)，稱之為余弦級數(shù)。13、傅立葉級數(shù)定理：若在上滿足狄利克雷條件：只有有限個(gè)極值點(diǎn)，除去有限多個(gè)第一類間斷點(diǎn)外都是連續(xù)的，則的傅立葉級數(shù)在上收斂，且有四、思考題1、已知數(shù)列，級數(shù)，及其部分和，請思考下列問題：（1）與是否同收斂，同發(fā)散？（2）與是否同收斂，同發(fā)散？（3）級數(shù)的部分和，與級數(shù)的部分和是否相同？2、判斷下列結(jié)論是否正確，并說明原因或舉出反例：（1）若發(fā)散，則；（2）若與都發(fā)散，則必發(fā)散；若

8、收斂，發(fā)散，則發(fā)散。（3）添括號(hào)后的級數(shù)發(fā)散，則原級數(shù)發(fā)散。（4）指出下列做法是否正確，為什么？因?yàn)?，上式中，?2，得.（5）冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)逐項(xiàng)微分（積分）后所得級數(shù)與原級數(shù)得收斂區(qū)間有何異同？（6）若，問與的傅立葉級數(shù)間有何關(guān)系？（7）若，問與的傅立葉級數(shù)間有何關(guān)系？（8）若在上有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且，試問與的傅立葉系數(shù)有何關(guān)系？五、典型例題分析例1 判別級數(shù)的收斂性：（1）；（2）；（3） .分析要判斷級數(shù)的收斂性，首先看是否為零，若不為零，則級數(shù)發(fā)解 （1）由于所以，級數(shù)是發(fā)散的。（2）由重要極限，知，所以，級數(shù)發(fā)散。（3）顯然，此時(shí)不能做出收斂的結(jié)論。由定義，級數(shù)的部分和當(dāng)時(shí)，不

9、存在，所以級數(shù)是發(fā)散的。例2 判別級數(shù)的收斂性： （1）；（2） .分析熟悉無窮級數(shù)的基本性質(zhì)以及p級數(shù)、等比級數(shù)的收斂性，對判別本題級數(shù)的收斂性是至關(guān)重要的。解：（1）因?yàn)槭諗浚ǖ缺燃墧?shù)，公比q<1），收斂（p級數(shù)，p=2>1），所以級數(shù)收斂。（2）因?yàn)榘l(fā)散（p級數(shù)，p=1，為調(diào)和級數(shù)），收斂（收斂級數(shù)各項(xiàng)乘以-1），所以級數(shù)發(fā)散。例3 判別級數(shù)的收斂性： （1）；（2）；（3）；（4）.分析對于正項(xiàng)級數(shù)收斂性的判別，一般先用比值法或根值法去判斷，若判斷不出來，可再考慮用比較判別法。若級數(shù)明顯地用比較判別法即可得出結(jié)論時(shí)，自然不必用比值法或根值法。解 （1）級數(shù)為正項(xiàng)級數(shù)，且一般

10、項(xiàng)的分母含有因子，宜用比值法。所以級數(shù)收斂。（2）級數(shù)為正項(xiàng)級數(shù)，且含有以n為指數(shù)的因子，易用根值法。所以級數(shù)收斂。（3）解法1 用比值法所以級數(shù)收斂。解法2 用比較法的極限形式原級數(shù)與級數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散，對級數(shù)用比值法故級數(shù)收斂，從而原級數(shù)收斂。（4） 用比值法，比值法失效，注意到對正整數(shù)n，有，即，將上述各不等式兩邊分別相乘，得，得，,即 .所以，故原級數(shù)是發(fā)散的。例4 判別級數(shù)的收斂性 （1）；（2）；（3）.分析 對于任意項(xiàng)級數(shù)，可研究它的絕對值級數(shù)。如果絕對值級數(shù)收斂，則原級數(shù)也收斂；如果絕對值級數(shù)發(fā)散，原級數(shù)的收斂性不能確定。而對于絕對值級數(shù)，因?yàn)槭钦?xiàng)級數(shù)，因此可以用正項(xiàng)級數(shù)得收

11、斂性判別法進(jìn)行判別。值得注意的是，用比值法或根值法判得絕對值級數(shù)為發(fā)散時(shí)，則原級數(shù)必發(fā)散，這是因?yàn)榇藭r(shí)的通項(xiàng)不趨于零的緣故。解（1）級數(shù)為任意項(xiàng)級數(shù)。，為公比是的等比級數(shù)，故收斂，從而原級數(shù)收斂，且絕對收斂（2）考察加括號(hào)的級數(shù)（*）它可寫為由于，而級數(shù)發(fā)散，故級數(shù)（*）發(fā)散，于是原級數(shù)發(fā)散。 （3）由知絕對值級數(shù)發(fā)散，所以原級數(shù)發(fā)散（不趨于零）。例5 判別級數(shù)絕對收斂還是條件收斂（1）；（2）.分析對于交錯(cuò)級數(shù)，可用萊布尼茲定理去判別其收斂性。如果滿足定理?xiàng)l件，則級數(shù)收斂。解（1），對于，因 ()故單調(diào)減少有，由萊布尼茲判別法知級數(shù)收斂。但因發(fā)散，故級數(shù)條件收斂（2）因收斂，故級數(shù)絕對收斂。

12、例6 設(shè)，證明：如果級數(shù)收斂，則級數(shù)與級數(shù)都收斂。證先證收斂；因已知級數(shù)收斂，故n充分大時(shí)，因而，由比較判別法知級數(shù)收斂。再證收斂；因 , 故.由于和均收斂，所以級數(shù)收斂。例7 應(yīng)用級數(shù)理論證明極限：（1）；（2） .分析如果級數(shù)收斂，則，這個(gè)結(jié)果稱為級數(shù)收斂的必要條件。把數(shù)列的通項(xiàng)看成某級數(shù)的通項(xiàng)，而對此級數(shù)的收斂性的判別又較容易，則由級數(shù)收斂的必要條件，立即得出數(shù)列的極限。解（1）考慮級數(shù)，由于,所以級數(shù)收斂，由級數(shù)收斂的必要條件知.（2）考慮級數(shù)由于 ,而級數(shù)收斂，所以級數(shù)收斂，由級數(shù)收斂的必要條件即知例8 求函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域： （1），（2） .分析求函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域的基本方法是比

13、值法，下面我們用比值法來解本題。解 （1），令，得.當(dāng)=1時(shí)，時(shí)，級數(shù)均發(fā)散。所以，的收斂域是。（2），令，即，得（）當(dāng)時(shí)，級數(shù)和均收斂。所以，級數(shù)的收斂域是（）例9 求冪級數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間：（1）； （2）（）；（3） .解（1），收斂半徑。當(dāng)時(shí)，級數(shù)為，因?yàn)榘l(fā)散，收斂，所以級數(shù)發(fā)散。當(dāng)時(shí)，級數(shù)為，因?yàn)榧岸际諗?，所以級?shù)收斂。綜上所述，知所給級數(shù)的收斂區(qū)間為。（2）；收斂半徑為。當(dāng)x=R時(shí)，若，級數(shù)為，由于，所以發(fā)散；若a<b，級數(shù)為，由于，所以級數(shù)發(fā)散。同樣地討論知x=R時(shí)，所給級數(shù)發(fā)散，故所給級數(shù)的收斂區(qū)間為（R，R），。（3）此級數(shù)為（x1）的冪級數(shù)，因缺少奇次冪項(xiàng)，不能直

14、接應(yīng)用關(guān)于冪級數(shù)求收斂半徑的方法，而要用比值法來求收斂區(qū)間，。當(dāng)，即-2<x-1<2，也即-1<x<3時(shí)，級數(shù)收斂。當(dāng)x1時(shí)，級數(shù)為，是發(fā)散級數(shù)。當(dāng)x3時(shí)，級數(shù)為，是發(fā)散級數(shù)。綜上所述，知級數(shù)的收斂區(qū)間為（1，3）。例10 下列冪級數(shù)的和函數(shù)（1） ;（2） ; （3） . 解（1） , 同理，（2） , （3） , 例11 求在其收斂域中的和函數(shù)。分析對此級數(shù)直接采用變量代換與逐項(xiàng)微分或積分均不可行，這時(shí)就應(yīng)考慮將級數(shù)的通項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)變形，或拆項(xiàng)化簡或升高（降低）通項(xiàng)中x的冪次，然后再進(jìn)行分析運(yùn)算。解變形,這里須注意級數(shù)的首項(xiàng)為x（n1，而不是n0）。 ()令 ,則從而

15、 .所以 , .當(dāng)x0時(shí)，s(0)=0 . 例12 求級數(shù)的和函數(shù)，并求數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和。分析首先應(yīng)討論此級數(shù)的收斂域，在收斂域內(nèi)仍須變形后再利用逐項(xiàng)積分及逐項(xiàng)微分法，此題還可用代數(shù)運(yùn)算法。解法1 級數(shù)的收斂域?yàn)椋?，1）。 ,令逐項(xiàng)積分兩邊求導(dǎo)，得 ,所以 , （1，1）。從而 .通過如下代數(shù)運(yùn)算，使其求和過程非常簡便。解法2 令 , , ,所以 , （1，1）。例13 求級數(shù)的和。分析題為求數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和，通?？勺饕粋€(gè)以此數(shù)項(xiàng)級數(shù)的各項(xiàng)為系數(shù)的冪級數(shù)。至于，所作冪級數(shù)的形式如何選，取決于系數(shù)的具體形式，其原則是冪級數(shù)的和函數(shù)易求。如本題，為了通過分析運(yùn)算消去2n1，可作冪級數(shù)。解 作冪級數(shù)，并設(shè)

16、和函數(shù)為S(x)。則兩邊求導(dǎo)，得因?yàn)閤1在收斂區(qū)間內(nèi)，故用1帶入上式得例14 將下列函數(shù)展開成冪級數(shù)。（1）將函數(shù)展開成的冪級數(shù)；（2）將函數(shù)展開成的冪級數(shù)；（3）將函數(shù)展開成（1）的冪級數(shù)。解（1）如同不定積分中的換元法，將視為u，由的展開式可知 ,對于很多其他函數(shù)，同樣可以如下處理，這種方法就是變量代換法。如 , ,（2）對于無法直接利用變量代換法展開，但而的展開式容易利用的展式得到，再利用逐項(xiàng)積分法變可得到的展開式。 ()；()所以， , ()小結(jié)利用逐項(xiàng)微分（積分）的方法可以解決很多函數(shù)的展開問題，例如記住的冪級數(shù)展開式，便可通過逐項(xiàng)微分得到的冪級數(shù)展式，或逐項(xiàng)積分得到的冪級數(shù)展式，等等。至于積分時(shí)下限為何取？是否可取其他數(shù)？其實(shí)可 取冪級數(shù)收斂域內(nèi)任何一點(diǎn)，只是由于時(shí)，使得計(jì)算簡便。（3）要將在處展開，須對進(jìn)行代數(shù)變形，從而利用在處所展成的冪級數(shù)，此為代數(shù)運(yùn)算。.又如例15 將函數(shù)展成的冪級數(shù)。分析函數(shù)形式較為復(fù)雜，不妨從幾個(gè)方面分析：（1）將化為部分分式，那么應(yīng)該有四項(xiàng)，顯然比較繁瑣；（2）將求導(dǎo)，其形式更為復(fù)雜，不可??；（3）對進(jìn)行積分，此法可行。解,所以 , 例16 將函數(shù)展成的冪級數(shù)。分析因，而被積函數(shù)可以由的麥克勞林展開式得到，然后逐項(xiàng)