積分微積分等重要公式

1、有關高等數學計算過程中所涉及到的數學公式（集錦）一、 （系數不為0的情況）二、重要公式（1）（2）（3）（4） （5） （6）（7） （8） （9）（10） （11）三、下列常用等價無窮小關系（）四、導數的四則運算法則五、基本導數公式六、高階導數的運算法則（1） （2）（3） （4）七、基本初等函數的n階導數公式（1） （2） (3)(4)(5)(6) (7)八、微分公式與微分運算法則九、微分運算法則十、基本積分公式十一、下列常用湊微分公式積分型換元公式十二、補充下面幾個積分公式十三、分部積分法公式形如，令，形如令，形如令，形如，令，形如，令，形如，令均可。十四、第二換元積分法中的三角換元公式

2、(1) (2) (3)【特殊角的三角函數值】（1） （2） （3） （4） （5）（1） （2） （3） （4） （5）（1） （2） （3） （4）不存在 （5）（1）不存在 （2） （3）（4）（5）不存在十五、三角函數公式1.兩角和公式2.二倍角公式3.半角公式4.和差化積公式5.積化和差公式6.萬能公式7.平方關系8.倒數關系9.商數關系十六、幾種常見的微分方程1.可分離變量的微分方程： ， 2.齊次微分方程：3.一階線性非齊次微分方程： 解為：旋轉曲面的參數方程-利用正交變換作旋轉眾所周知，坐標面上的曲線繞軸旋轉而成的旋轉曲面的方程為 （1）（見同濟大學高等數學（5版上冊），313頁

3、）。如果以上曲線的方程能寫成顯函數（），則該旋轉曲面的方程為或 （2）這個方程的幾何意義是：對曲線上的每一點，這個方程給出圓心在，半徑為的一個垂直于軸的圓。當取遍中的每一個值時，這些圓就構成一個旋轉曲面。如果曲線的方程是顯函數（），我們也可以用參數方程來表示這個旋轉面： （，） （3）這個方程的幾何意義是：對每一個，參數方程給出一個半徑為的垂直于軸的圓。當取遍中的每一個值時，這些圓就構成一個旋轉曲面。如果曲線的方程能寫成參數方程（），則旋轉曲面的參數方程為： （，） （4）這個方程的幾何意義是：對每一個，參數方程給出一個半徑為的垂直于軸的圓。當取遍中的每一個值時，這些圓就構成一個旋轉曲面。推而

4、廣之，如果該曲線是空間曲線，其參數方程為 （），則此曲線繞軸旋轉而成的旋轉曲面的參數方程為： （，） （5）這個方程的幾何意義是：對每一個，參數方程給出一個半徑為的垂直于軸的圓。當取遍中的每一個值時，這些圓就構成一個旋轉曲面。（見同濟大學高等數學（5版上冊），322頁）。例1坐標面上的圓 （）繞軸旋轉而成的旋轉曲面為一圓環(huán)面。為了得到圓環(huán)面的參數方程，先將圓用參數方程表示為（），再用方程（4）得到圓環(huán)面的參數方程： （，）如圖1（取）。圖1 圓環(huán)面繪制圖1的Mathematica程序：a=1;b=3;xxt_:=0;yyt_:=b+a Cost;zzt_:=a Sint;rt_:=A

5、bsyyt;xt_,theta_:=rt Costheta;yt_,theta_:=rt Sintheta;zt_,theta_:=zzt;Quxian=ParametricPlot3Dxxt,yyt,zzt,t,0 ,2 Pi,PlotStyle->Red,Thickness0.02;Qumian=ParametricPlot3Dxt,theta,yt,theta,zt,theta,t,0,2 Pi,theta,0,2 Pi,PlotPoints->40;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-5,5,PlotStyle->AbsoluteThickness3

6、;Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-5,5,PlotStyle->AbsoluteThickness3;Z=ParametricPlot3D0,0,z,z,-2,2,PlotStyle->AbsoluteThickness3;XYZ=ShowX,Y,Z;ShowQumian,Quxian,XYZ,PlotRange->-5,5,-5,5,-3,3,Boxed->False,Axes->False,ViewPoint->5,4,3例2 空間直線 （）繞軸旋轉而成的旋轉曲面為一單葉雙曲面。用方程（5）得到單葉雙曲面的參數方程： （，

7、）（見同濟大學高等數學（5版上冊），322頁）。如圖2圖2 單葉雙曲面繪制圖2的Mathematica程序：xxt_:=1;yyt_:=t;zzt_:=2t;rt_:=Sqrtxxt2+yyt2;xt_,theta_:=rt Costheta;yt_,theta_:=rt Sintheta;zt_,theta_:=zzt;Quxian=ParametricPlot3Dxxt,yyt,zzt,t,-1.2 ,1.2,PlotStyle->Red,Thickness0.02;Qumian=ParametricPlot3Dxt,theta,yt,theta,zt,theta,t,-1,1,th

8、eta,0,2 Pi,PlotPoints->40;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-2,2,PlotStyle->AbsoluteThickness3;Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-2,2,PlotStyle->AbsoluteThickness3;Z=ParametricPlot3D0,0,z,z,-2,2,PlotStyle->AbsoluteThickness3;XYZ=ShowX,Y,Z;ShowQumian,Quxian,XYZ,PlotRange->-2,2,-2,2,-3,3,Boxed->Fals

9、e,Axes->False,ViewPoint->5,4,3從圖2看出，用參數方程（5）繪制的曲面上的母線并不是原來那條直線（圖中紅色的直線）繞軸旋轉時留下的直線族。為了繪出以圓曲線在旋轉時的曲線族為母線的曲面，我們必須利用旋轉曲面的另一種參數方程。這要用到直角坐標系中的旋轉變換。平面直角坐標系中一個點繞原點逆時針旋轉角度后的點的坐標為 或 （6）如圖3。（見同濟大學線性代數（5版），32頁）圖3 平面直角坐標面上點的旋轉同理，空間直角坐標系中一個點繞軸旋轉角度（從軸正向看去為逆時針方向）后的點的坐標為 或 （7）因此利用正交變換（7），空間曲線 （）繞軸旋轉而成的旋轉曲面的參數方

10、程又可以寫成：（，） （8）例1 中的圓環(huán)面的參數方程可以改寫成：（，）例2 中的單葉雙曲面的參數方程可以改寫成：（，）我們用這個參數方程來作圖（圖4）：圖4 單葉雙曲面圖4清楚地顯示了那條紅色的直線在繞軸旋轉時留下的直線族。繪制圖4的Mathematica程序：rt_:=1,t,2t;Atheta_:=Costheta,-Sintheta,0,Sintheta,Costheta,0,0,0,1;Quxian=ParametricPlot3Drt,t,-1.2,1.2,PlotStyle->Red,AbsoluteThickness3;Qumian=ParametricPlot3DAth

11、eta.rt,t,-1,1,theta,0,2 Pi,Mesh->10,20,PlotPoints->40,AspectRatio->Automatic;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-2,2,PlotStyle->AbsoluteThickness3;Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-2,2,PlotStyle->AbsoluteThickness3;Z=ParametricPlot3D0,0,z,z,-3,3,PlotStyle->AbsoluteThickness3;XYZ=ShowX,Y,Z;ShowQumi

12、an,Quxian,XYZ,PlotRange->-2,2,-2,2,-3,3,Boxed->False,Axes->False,ViewPoint->6,3,3同理，我們可以很方便地得到空間曲線繞軸或軸旋轉而成的旋轉曲面的參數方程。結論：設有空間曲線 （），則利用繞坐標軸旋轉的變換，該曲線分別繞三個坐標軸旋轉而成的旋轉曲面的參數方程分別是：（1）繞軸旋轉：（，） （8）（2）繞軸旋轉：（，） （9）（3）繞軸旋轉：（，） （10）例3 求空間曲線繞軸旋轉而成的旋轉曲面的參數方程，并作圖。解 根據方程（9），旋轉曲面的參數方程是：（，）如圖5。圖5 繞軸旋轉的曲面繪制圖

13、5的Mathematica程序：rt_:=t,t2,t3/3;Atheta_:=Costheta,0,-Sintheta,0,1,0,Sintheta,0,Costheta;Quxian=ParametricPlot3Drt,t,-1.1,1.1,PlotStyle->Red,AbsoluteThickness3;Qumian=ParametricPlot3DAtheta.rt,t,-1,1,theta,0,2 Pi,Mesh->10,20,PlotPoints->40,AspectRatio->Automatic;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-

14、1,1,PlotStyle->AbsoluteThickness3;Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-0.5,1.5,PlotStyle->AbsoluteThickness3;Z=ParametricPlot3D0,0,z,z,-2,2,PlotStyle->AbsoluteThickness3;XYZ=ShowX,Y,Z;ShowQumian,Quxian,XYZ,PlotRange->-2,2,-0.5,1.5,-1,1,Boxed->False,Axes->False,ViewPoint->6,3,3例4 求空間曲線繞軸旋轉

15、而成的旋轉曲面的參數方程，并作圖。解 根據方程（10），旋轉曲面的參數方程是：（，）如圖6：圖6 繞軸旋轉的曲面繪制圖6的Mathematica程序：rt_:=t,t2,(1+t3)/3;Atheta_:=1,0,0,0,Costheta,-Sintheta,0,Sintheta,Costheta;Quxian=ParametricPlot3Drt,t,-1.2,1.2,PlotStyle->Red,AbsoluteThickness3;Qumian=ParametricPlot3DAtheta.rt,t,-1,1,theta,0,2 Pi,Mesh->10,20,PlotPoints->40,AspectRatio->Automatic;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-2,2,PlotStyle->AbsoluteThickness3;Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-1