第十六章 不定積分

1、第十六章不定積分知識(shí)結(jié)構(gòu)圖：教學(xué)目的要求：1理解原函數(shù)與不定積分的概念，理解兩者的關(guān)系，理解不定積分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；掌握不定積分的幾何意義與基本性質(zhì)。2理解與掌握積分的基本公式，掌握不定積分的基本運(yùn)算，會(huì)熟練地用直接積分法、第一類換元積分法、第二換元積分法（代數(shù)換元）、分部積分法求不定積分。3了解不定積分在經(jīng)濟(jì)問題中的應(yīng)用。教學(xué)重點(diǎn)：1原函數(shù)與不定積分的概念2不定積分的性質(zhì)與基本積分公式3直接積分法4換元積分法5分部積分法教學(xué)難點(diǎn)：1不定積分的幾何意義2湊微分法、分部積分法求不定積分第一節(jié)不定積分的概念與基本公式【教學(xué)內(nèi)容】原函數(shù)與不定積分的概念、不定積分的幾何意義、不定積分的基本性質(zhì)、不定積分

2、的基本公式。直接積分法求函數(shù)的不定積分。【教學(xué)目的】理解原函數(shù)與不定積分的概念，理解不定積分的幾何意義；理解并掌握不定積分的基本性質(zhì)；熟練掌握用直接積分法計(jì)算一些簡單函數(shù)的不定積分?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】1原函的概念；2.不定積分的概念；3.不定積分的幾何意義；4.不定積分的基本性質(zhì)；5.不定積分的基本公式；6.直接積分法計(jì)算不定積分?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】1理解不定積分的幾何意義；2記憶不定積分公式?！窘虒W(xué)時(shí)數(shù)】2學(xué)時(shí)【教學(xué)進(jìn)程】一、原函數(shù)與不定積分的概念(一)原函數(shù)的概念前面我們所學(xué)的知識(shí)是：已知一個(gè)函數(shù)，求這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；在現(xiàn)實(shí)生活中往往有：已知一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求原來這個(gè)函數(shù)的問題，如：已知曲線上任意一點(diǎn)p

3、(x,y)處的切線斜率為,求此曲線的方程。已知某產(chǎn)品的邊際成本，要求該產(chǎn)品總成本的變化規(guī)律原函數(shù)定義定義41設(shè)是定義在區(qū)間內(nèi)的已知函數(shù)如果存在可導(dǎo)函數(shù)，使對于任意的，都有或則稱函數(shù)是函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)。例1 指出下列函數(shù)的原函數(shù):教師將舉例分析：如，則是在R上的一個(gè)原函數(shù)。，則 是的一個(gè)原函數(shù)。教師再問：（1）是否所有的函數(shù)都有原函數(shù)？什么樣的函數(shù)才有原函數(shù)存在呢？在此，我們不作討論我們只給出一個(gè)重要的結(jié)論結(jié)論：如果函數(shù)在某區(qū)間上連續(xù)，則其原函數(shù)一定存在（2）是不是在R上的一個(gè)原函數(shù)呢？學(xué)生回答：是（3）提出一個(gè)函數(shù)若存在原函數(shù)，則有幾個(gè)呢？引入2.原函數(shù)個(gè)數(shù)定理41如果函數(shù)是的一個(gè)原函數(shù)，則也

4、是的原函數(shù)，且的所有原函數(shù)都具有的形式（為任意常數(shù)）(二)不定積分的概念教師指出：在以上的分析中我們看到一個(gè)函數(shù)有原函數(shù)存在，則有無數(shù)多個(gè)，它們都可以表示為的形式，我們把它叫做的不定積分。不定積分定義定義42 如果函數(shù)是的一個(gè)原函數(shù)，則稱的全體原函數(shù)（為任意常數(shù)）為的不定積分，記作其中稱為積分號(hào)，稱為被積函數(shù)，稱為積分表達(dá)式，稱為積分變量，稱為積分常數(shù)例2 求下列函數(shù)的不定積分:2不定積分幾何意義提問：不定積分是否像導(dǎo)數(shù)那樣具有某種幾何意義呢？觀察圖4-1，根據(jù)不定積分的定義，具有這樣的性質(zhì)：結(jié)論：表示的是一族曲線，其中任意一條曲線都可以由曲線沿軸上、下平移得到這積分曲線上橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)處所作

5、曲線的切線都是互相平行的（如圖4-1所示）。例3已知某曲線上一點(diǎn)（1，2），且過曲線上任意一點(diǎn)的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線的方程課堂練習(xí)(一)：求下列函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)與不定積分:3不定積分的性質(zhì)提問：若對于任意的,，那么，性質(zhì)1（積分運(yùn)算與微分運(yùn)算互為逆運(yùn)算）或 或 性質(zhì)2 （不定積分的運(yùn)算法則）兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和的不定積分，等于這兩個(gè)函數(shù)不定積分的代數(shù)和，即推廣：有限個(gè)函數(shù)的代數(shù)和的積分等于各個(gè)函數(shù)積分的代數(shù)和，即性質(zhì)3 （不定積分的運(yùn)算法則）被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面來，即 ()4不定積分的基本公式設(shè)想：導(dǎo)數(shù)運(yùn)算與積分運(yùn)算是互為逆運(yùn)算，那么我們是否可以通過導(dǎo)數(shù)基本

6、公式得到相應(yīng)的不定積分公式？結(jié)論是肯定的，師生配合，根據(jù)導(dǎo)數(shù)基本公式，以及例1、2和課堂練習(xí)（一）得如下不定積分公式：1.2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.利用基本積分表和不定積分的性質(zhì)，可以直接計(jì)算一些簡單的不定積分,或?qū)⒈环e函數(shù)經(jīng)過適當(dāng)?shù)暮愕茸冃?，再利用積分的基本性質(zhì)和基本積分公式求出結(jié)果，這樣的積分方法，叫做直接積分法例4求解例5 求解例6 求解例7 求解例8 求解例9 求解例10 求解課堂練習(xí)（二）：求下列不定積分本堂課小結(jié)：主要內(nèi)容：原函數(shù)、不定積分的概念；不定積分的性質(zhì)與運(yùn)算法則；直接積分法。重點(diǎn)：不定積分性質(zhì)與基本公式，直接積分法。難點(diǎn)：經(jīng)恒等

7、變形后使用直接積分法計(jì)算不定積分。第二節(jié)換元積分法【教學(xué)內(nèi)容】第一類換元積分法、第二類換元積分法求函數(shù)的不定積分?！窘虒W(xué)目的】理解第一類換元、第二類換元積分法的思想方法，熟練掌握第一換元積分法（湊微分法），知道常用第二換元積分計(jì)算不定積分的被積函數(shù)類型，掌握第二換元積分法步驟?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】1.第一類換元積分法；2.第二類換元積分法?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】1.積分方法的合理選取；2.湊微分法【教學(xué)時(shí)數(shù)】3學(xué)時(shí)【教學(xué)進(jìn)程】導(dǎo)入新課：1. 不定積分與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算是互逆運(yùn)算；2. 不定積分基本公式及其性質(zhì)只能解決一些較簡單函數(shù)的不定積分；3. 復(fù)習(xí)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則，引入新課。一、第一類換元積分法教師舉例分析不定積

8、分：的計(jì)算過程，導(dǎo)入第一類換元積分法。（一）第一類換元積分公式如果都是連續(xù)函數(shù)，并且容易求得的一個(gè)原函數(shù)，則有如下公式：利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，可以驗(yàn)證上式的正確性用這種方法的計(jì)算程序是先“湊”微分式，再作變量置換，因此我們將這類求不定積分的方法稱為第一類換元積分法，也稱湊微分法例1 求下列不定積分（第一小題寫出中間變量，以后逐步脫離中間變量的設(shè)置）（1） （2）（3）（4）常見類型一：通常形如：令進(jìn)行換元積分。課堂練習(xí)（一）求；除了用上述方法以外還可以怎樣做呢？若, 求 。例2 求下列不定積分 （1） （2）（3）教師小結(jié)：1. 例2所出現(xiàn)的常見類型小結(jié)常見類型（二）通常形如：令進(jìn)行換元積分

9、；一般，則令進(jìn)行換元積分；2.積分方法的選取應(yīng)該根據(jù)什么？應(yīng)該根據(jù)經(jīng)過換元后便于利用積分公式；課堂練習(xí)（二）例3 求下列不定積分教學(xué)方法：指出這三個(gè)題分別是屬于常見類型，為常見湊微分類型小結(jié)作準(zhǔn)備 （1） （2）（3）（二）常用湊微分法公式的被積函數(shù)類型1. （） 特別2. 3. 4. 5.6.7. 或8. 或9.或10. 或例4 求下列不定積分通常形如：例5求下列不定積分指出被積函數(shù)為三角函數(shù)時(shí)方法的選?。?）解題后，指出其相關(guān)類型積分方法的選??；（2）解題后，指出相關(guān)類型積分方法的選??；（3）指出此題的多種解法課堂練習(xí)（三）小結(jié)第一換元積分法，提出新的一種被積函數(shù)的類型含有根號(hào)如：如何計(jì)算

10、呢？如何計(jì)算？給出其求解的一般方法（第二換元積分法）。二、第二類換元積分法（一）第二換元積分公式當(dāng)某些函數(shù)的積分不易被積出，則我們可以通過設(shè)（單調(diào)且可導(dǎo)，），其反函數(shù)為，且，則便可求出的原函數(shù)表達(dá)式這種換元的積分方法被稱為第二類換元積分法.例6計(jì)算注重解題方法分析、解題步驟書寫（答案：）例7計(jì)算分析此題與上題的共同點(diǎn)與不同點(diǎn)，然后導(dǎo)出方法（答案：）（二）三角代換類型小結(jié)1. 被積函數(shù)中含有一般令（或），則2. 被積函數(shù)中含有一般令（或），則3. 被積函數(shù)中含有一般令（或），則例8計(jì)算分析此題與上兩題的共同點(diǎn)與不同點(diǎn)，然后導(dǎo)出方法例9計(jì)算分析、解題三、不定積分基本公式補(bǔ)充本節(jié)例題中出現(xiàn)的幾種積分

11、的類型是經(jīng)常會(huì)遇到的，它們通常也被當(dāng)作公式使用我們將其也列于基本積分公式表中，具體總結(jié)添加如下：本堂課小結(jié)：主要內(nèi)容：第一類、第二類換元積分法重點(diǎn)：第一、第二換元積分法的思想方法與解題步驟難點(diǎn)：積分方法的正確選取、湊微分作業(yè)1.習(xí)題4教材P982單號(hào)題；3雙號(hào)題2. 補(bǔ)充題：（1）已知是的一個(gè)原函數(shù)，求（2）已知，求第三節(jié)分部積分法【教學(xué)內(nèi)容】分部積分法?！窘虒W(xué)目的】理解分部積分法的思想方法，能針對兩種不同類型函數(shù)之積的被積函數(shù)，正確選取，熟練掌握分部積分法步驟?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】分部積分法【教學(xué)難點(diǎn)】的正確選取【教學(xué)時(shí)數(shù)】1學(xué)時(shí)【教學(xué)進(jìn)程】導(dǎo)入新課：1. 復(fù)習(xí)第一換元積分、第二換元積分法，并指出其

12、適合于哪一類被積函數(shù)；2. 提出當(dāng)被積函數(shù)的形式為兩類不同類型函數(shù)（如：；等）之積的情形，如何求其不定積分問題，導(dǎo)入新課一、分部積分法教師舉例分析不定積分：的計(jì)算過程，導(dǎo)入分部積分公式與分部積分法。（一）分部積分公式設(shè)函數(shù)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則由乘積的微分運(yùn)算法則可得兩邊積分，得這個(gè)公式叫做分部積分公式，它的作用在于：把比較難求的（或）化為比較容易求的來計(jì)算，化難為易根據(jù)分部積分公式，分析引例計(jì)算中關(guān)于的選取原則，得出：(1)要容易求得(通常要用湊微分法求得)，且由求時(shí)，一般不加積分常數(shù)；(2)要比容易積出（二）分部積分公式應(yīng)用例1求 . (答案：)常見類型一：或；通常是將（或）湊成（或）（）（其

13、中）常見類型二：；通常是將湊成（）。課堂練習(xí)（一）例2 求下列不定積分 （1） （答案：）（2）（答案：）常見類型三：或或；通常是將冪函數(shù)湊入微分號(hào)內(nèi)。課堂練習(xí)（二）例3 求 （答案：）此題注意事項(xiàng)：（1）需分部積分兩次，通過解積分方程來完成；（2）的選取不影響積分的難易程度，但是兩次分部積分中關(guān)于的選取應(yīng)相同。常見類型四：或。二、不定積分法綜合我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了直接套用積分公式的直接積分法、換元積分法、分部積分法，這些基本的積分方法應(yīng)靈活運(yùn)用，切忌死套公式有些問題往往需要同時(shí)運(yùn)用換元法與分部積分法才能求得最終結(jié)果例4 求（答案：）此題解法比較靈活，可以先湊成后直接使用分部積分法；或者先令，然后求

14、出代入。再一次說明做題方法的靈活性，不能死套公式。本堂課小結(jié)：主要內(nèi)容：分部積分公式及其應(yīng)用重點(diǎn)：分部積分法難點(diǎn)：分部積分公式中的的合理選取作業(yè)第四節(jié)不定積分在經(jīng)濟(jì)問題中的應(yīng)用舉例【教學(xué)內(nèi)容】不定積分的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用?！窘虒W(xué)目的】理解不定積分在經(jīng)濟(jì)問題中的應(yīng)用，知道已知某經(jīng)濟(jì)函數(shù)的邊際函數(shù)，求原經(jīng)濟(jì)函數(shù)的方法求不定積分，并能在初始條件下，確定積分常數(shù)值。【教學(xué)重點(diǎn)】不定積分經(jīng)濟(jì)應(yīng)用【教學(xué)難點(diǎn)】變化率模型的經(jīng)濟(jì)涵義【教學(xué)時(shí)數(shù)】1學(xué)時(shí)【教學(xué)進(jìn)程】導(dǎo)入新課：1. 求導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的瞬時(shí)變化率2.邊際成本、邊際收入、邊際利潤函數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義及其求法；3.若已知某邊際函數(shù)，如何去求原來那個(gè)經(jīng)濟(jì)函數(shù)？這類問題的求解思

15、路：1.對邊際函數(shù)求不定積分；2.由給出的初始條件，確定積分常數(shù)C；3.寫出這個(gè)滿足初始條件的經(jīng)濟(jì)函數(shù)。例1 已知某廠生產(chǎn)某產(chǎn)品總產(chǎn)量的變化率是時(shí)間的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求該產(chǎn)品的總產(chǎn)量函數(shù)分析：（1）總產(chǎn)量的變化率即總產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù)；（2）時(shí)，即初始條件（答案：）例2 某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知每月生產(chǎn)的產(chǎn)品的邊際成本是，且固定成本是5000元，求總成本與月產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系分析：（1）邊際成本即總成本的導(dǎo)數(shù)；（2）固定成本是5000元即初始條件：產(chǎn)量0時(shí)的成本為5000元（答案：）例3已知某產(chǎn)品生產(chǎn)個(gè)單位時(shí)總收入的變化率（邊際收入）為（）求生產(chǎn)了50個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)的總收入分析：（1）總收入R的變化率即總收入的

16、導(dǎo)數(shù)；（2）時(shí)，即初始條件，此條件為默認(rèn)。（答案：）例4已知某種商品的最大需求量為（即價(jià)格為0時(shí)的需求量），有關(guān)部門給出這種商品的需求量的變化率模型為（也稱邊際需求），其中表示商品的價(jià)格，求這種商品的需求函數(shù),分析：（1）需求量的變化率即需求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（2）最大需求量為（即價(jià)格為0時(shí)的需求量）。（答案：）例5 已知某種商品的需求函數(shù)，其中為需求量(單位：件)，為單價(jià)（單位：元/件）.又已知此種商品的邊際成本為，且C(0)=10，試確定當(dāng)銷售單價(jià)為多少時(shí)，總利潤為最大，并求出最大總利潤分析：（1）邊際成本即成本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（2）C(0)=10初始條件；（3）需求量產(chǎn)量是一種模型簡化條件；（4）

17、需求函數(shù)需求與價(jià)格p的關(guān)系。（答案：銷售單價(jià)元時(shí)（此時(shí)銷售量件），總利潤為最大，最大利潤為240元）本堂課小結(jié)：主要內(nèi)容：不定積分在經(jīng)濟(jì)問題中的應(yīng)用重點(diǎn)：不定積分難點(diǎn)：函數(shù)的變化率、邊際函數(shù)的意義。第四章不定積分習(xí)題課【教學(xué)內(nèi)容】不定積分的計(jì)算及其應(yīng)用?！窘虒W(xué)目的】綜合理解并掌握不定積分的計(jì)算方法，掌握不定積分在經(jīng)濟(jì)問題中的應(yīng)用。【教學(xué)重點(diǎn)】計(jì)算不定積分【教學(xué)難點(diǎn)】原函數(shù)與不定積分的區(qū)別與聯(lián)系【教學(xué)時(shí)數(shù)】1學(xué)時(shí)【教學(xué)進(jìn)程】一、基本概念基本性質(zhì)1.基本概念原函數(shù)、不定積分2.不定積分基本性質(zhì)性質(zhì)4.1不定積分與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的互逆性質(zhì)；性質(zhì)4.2,4.3不定積分的線性運(yùn)算性質(zhì)二、基本公式與方法1. 基本積分公式P82（1）（12）補(bǔ)充：，類似方法推出：，（a>0），根據(jù)練習(xí)，我們還可推出：2基本積分方法直接積分法被積函數(shù)經(jīng)過恒等變形后利用基本積分公式、運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行積分第一換元積分法（湊微分法）被積函數(shù)為兩部分的積，其中一部分是復(fù)合函數(shù)，另一部分則是中間變量的導(dǎo)數(shù)要熟悉常見湊微分的形式！第二換無積分法被積函數(shù)往往是含有根式，不易被“積出”時(shí)要熟悉根式的幾種不同形式下的代換函數(shù)！分部積分被積函數(shù)通常是兩種不同類型函數(shù)的積要熟記幾種常見被積函