第6章習(xí)題答案

1、現(xiàn)代控制理論第6章習(xí)題解答6.1 分析開(kāi)環(huán)狀態(tài)估計(jì)方案的誤差動(dòng)態(tài)特性。（說(shuō)明開(kāi)環(huán)形式的觀測(cè)器其誤差的衰減是不變的，而閉環(huán)形式的觀測(cè)器其誤差的衰減是可以改變的）。答：針對(duì)線性時(shí)不變系統(tǒng)(1) 開(kāi)環(huán)形式的觀測(cè)器：誤差動(dòng)態(tài)方程為其初始誤差的時(shí)間響應(yīng)為誤差的衰減是由系統(tǒng)模型的狀態(tài)矩陣決定的，無(wú)法改變。(2) 閉環(huán)形式的觀測(cè)器：誤差動(dòng)態(tài)方程為其初始誤差的時(shí)間響應(yīng)為 誤差的衰減由決定，其中、由系統(tǒng)模型確定，而觀測(cè)器增益矩陣由設(shè)計(jì)者決定，所以誤差的衰減是可以改變的。6.2 為什么要構(gòu)建狀態(tài)觀測(cè)器？畫(huà)出全維狀態(tài)觀測(cè)器的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。寫(xiě)出狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)方程。答: 構(gòu)建狀態(tài)觀測(cè)器的原因：（1）在許多實(shí)際系統(tǒng)中，系

2、統(tǒng)的狀態(tài)變量并非都是物理量，從而這些狀態(tài)變量未必都可以直接測(cè)量得到。（2）即使?fàn)顟B(tài)變量是物理量，可以通過(guò)傳感器測(cè)量得到，但要直接測(cè)量所有的信號(hào)一方面會(huì)造成系統(tǒng)成本的提高，另一方面，大量傳感器的引入會(huì)使系統(tǒng)可靠性降低。狀態(tài)觀測(cè)器的模型為其中，是觀測(cè)器的維狀態(tài)，是一個(gè)維的待定矩陣。全維狀態(tài)觀測(cè)器的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖為： 6.3 存在龍伯格狀態(tài)觀測(cè)器的條件是什么？龍伯格狀態(tài)觀測(cè)器中的增益矩陣的行數(shù)和列數(shù)怎樣確定？答：存在龍伯格狀態(tài)觀測(cè)器的條件是：系統(tǒng)是狀態(tài)能觀的。龍伯格狀態(tài)觀測(cè)器中的增益矩陣的行數(shù)和列數(shù)分別等于狀態(tài)變量和輸出量的個(gè)數(shù)。6.4 在觀測(cè)器設(shè)計(jì)中，如何選取觀測(cè)器極點(diǎn)？答：在選取觀測(cè)器極點(diǎn)時(shí)，作為一

3、般規(guī)則，觀測(cè)器的極點(diǎn)應(yīng)該比系統(tǒng)極點(diǎn)快25倍，從而使得狀態(tài)估計(jì)誤差的衰減比系統(tǒng)響應(yīng)快25倍。當(dāng)傳感器噪聲相當(dāng)大時(shí)，可以把觀測(cè)器極點(diǎn)選擇的比系統(tǒng)極點(diǎn)慢兩倍，以便使系統(tǒng)的帶寬變得比較窄，并且對(duì)噪聲進(jìn)行平滑。6.5 龍伯格狀態(tài)觀測(cè)器的增益矩陣的計(jì)算方法有哪幾種？答：龍伯格狀態(tài)觀測(cè)器的增益矩陣的計(jì)算方法有1. 直接法2. 變換法3. 愛(ài)克曼公式6.6 給定線性定常系統(tǒng)式中試設(shè)計(jì)一個(gè)全維狀態(tài)觀測(cè)器，使得觀測(cè)器的極點(diǎn)為。答：首先驗(yàn)證系統(tǒng)的能觀性。由于顯然，系統(tǒng)的能觀性矩陣是非奇異的，故系統(tǒng)完全能觀。因此存在龍伯格型狀態(tài)觀測(cè)器，且狀態(tài)觀測(cè)器極點(diǎn)可以任意配置，結(jié)合本題，就是存在一個(gè)適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣，使得觀測(cè)器

4、的極點(diǎn)為。 以下用直接法來(lái)確定：設(shè)期望的特征多項(xiàng)式是通過(guò)比較系數(shù)得到線性方程組求解該線性方程組，得到故所求觀測(cè)器的增益矩陣是相應(yīng)的狀態(tài)觀測(cè)器為6.7 在設(shè)計(jì)基于觀測(cè)器的輸出反饋極點(diǎn)配置控制器中，系統(tǒng)設(shè)計(jì)的分離性原理指的是什么？答: 系統(tǒng)設(shè)計(jì)的分離性原理是指，在設(shè)計(jì)基于觀測(cè)器的輸出反饋極點(diǎn)配置控制器時(shí)，狀態(tài)反饋部分和觀測(cè)器部分的設(shè)計(jì)彼此獨(dú)立，互不影響。 6.8 何為全階觀測(cè)器？何為降階觀測(cè)器？降階觀測(cè)器的階數(shù)是怎樣確定的？答: 全階觀測(cè)器：該觀測(cè)器的狀態(tài)和系統(tǒng)狀態(tài)具有相同維數(shù)，即全階觀測(cè)器和系統(tǒng)具有相同階數(shù)。降階觀測(cè)器：觀測(cè)器的維數(shù)小于系統(tǒng)的維數(shù)，即只是對(duì)狀態(tài)中一部分分量的估計(jì)。降階觀測(cè)器的階數(shù)

5、是狀態(tài)的維數(shù)減去獨(dú)立測(cè)量的輸出變量個(gè)數(shù)。6.9 考慮習(xí)題6.6定義的系統(tǒng)。試設(shè)計(jì)一個(gè)降階觀測(cè)器，使得觀測(cè)器的極點(diǎn)是。答： 由于狀態(tài)中的第1個(gè)分量是可直接測(cè)量的，故只需估計(jì)狀態(tài)中的第2個(gè)分量，要設(shè)計(jì)的降階觀測(cè)器是1階的。將矩陣和狀態(tài)向量作如下分塊：因此，從而可以得到估計(jì)不可直接測(cè)量狀態(tài)的觀測(cè)器為然后，確定矩陣，使得矩陣的特征值是。由于而期望的特征式是，因此可求得所需要觀測(cè)器的增益矩陣是。由書(shū)中公式()可得所設(shè)計(jì)的降階觀測(cè)器為不可直接測(cè)量的狀態(tài)分量的估計(jì)量由下式給出：6.10 給定線性定常系統(tǒng)試應(yīng)用MATLAB軟件，設(shè)計(jì)一個(gè)全維觀測(cè)器，使得觀測(cè)器極點(diǎn)是 ，。答：配置全階觀測(cè)器極點(diǎn)的M-文件為：a=

6、0 1 0;0 0 1;1.244 0.3965 -3.145;b=0;0;1.244;c=1 0 0;v=-5+j*5*sqrt(3) -5-j*5*sqrt(3) -10;l=(acker(a',c',v)'執(zhí)行以上程序可得：相應(yīng)的全維觀測(cè)器是：6.11 考慮習(xí)題6.10給出的系統(tǒng)。假設(shè)輸出y可準(zhǔn)確量測(cè)。試應(yīng)用MATLAB軟件，設(shè)計(jì)一個(gè)降階觀測(cè)器，使得其極點(diǎn)是。答： 由于輸出可準(zhǔn)確量測(cè)，同時(shí)，因此可得：，執(zhí)行以下的M-文件：Aaa=0;Aab=1 0;Aba=0;1.244;Abb=0 1;0.3965 -3.145;Ba=0;Bb=0;1.244;v=-5+j*5

7、*sqrt(3) -5-j*5*sqrt(3);l=(acker(Abb',Aab',v)'Ahat=Abb-l*AabBhat=Ahat*l+Aba-l*AaaFhat=Bb-l*Ba可得：，即所設(shè)計(jì)的降階觀測(cè)器為：6.12 例，用一個(gè)具有觀測(cè)器極點(diǎn)的降階觀測(cè)器替代其中的全階觀測(cè)器，設(shè)計(jì)一個(gè)基于降階觀測(cè)器的輸出反饋控制器，并檢驗(yàn)其效果。答: 各參數(shù)，因?yàn)樵到y(tǒng)是兩階的，所以降階觀測(cè)器是是一階的。設(shè)，觀測(cè)器的特征多項(xiàng)式為因?yàn)?，所以，進(jìn)而，。所以降階觀測(cè)器模型為由例可知，故基于降階觀測(cè)器的輸出反饋控制系統(tǒng)狀態(tài)方程為取初始條件為執(zhí)行以下的M-文件：ac=-1 2 -1;-1

8、 0 0;0 0 -2;t=0:0.01:8;sys=ss(ac,eye(3),eye(3),eye(3);z=initial(sys,1 0 0.5,t);x1=1 0 0 *z'x2=0 1 0 *z'e1=0 0 1 *z'subplot(2,2,1);plot(t,x1),gridtitle('Response to initial condition')ylabel('state variable x1')subplot(2,2,2);plot(t,x2),gridtitle('Response to initial c

9、ondition')ylabel('state variable x2')subplot(2,2,3);plot(t,e1),gridtitle('t (sec)')ylabel('error state variable e1')可得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)估計(jì)誤差對(duì)初始條件的響應(yīng)曲線圖：閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)估計(jì)誤差對(duì)初始條件的響應(yīng)曲線由仿真曲線可以看出，系統(tǒng)的真實(shí)狀態(tài)和降階觀測(cè)器狀態(tài)的初值有誤差，但隨著時(shí)間的推移，它們之間的誤差漸近衰減到零。6.13 利用分離原理設(shè)計(jì)的基于觀測(cè)器的輸出反饋控制器本身是否一定是穩(wěn)定的？一個(gè)不穩(wěn)定的控制器有何

10、不利影響？如何改進(jìn)？答： 利用分離原理設(shè)計(jì)的基于觀測(cè)器的輸出反饋控制器本身不一定是穩(wěn)定的。在實(shí)際應(yīng)用中，不穩(wěn)定的控制器往往是不可取的。因?yàn)?，不穩(wěn)定的控制器在自身的測(cè)試時(shí)會(huì)遇到困難。另外，若使用的控制器是不穩(wěn)定的，則當(dāng)系統(tǒng)增益變小時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)就會(huì)變得不穩(wěn)定。因此為了得到一個(gè)滿意的控制系統(tǒng)，需要重新設(shè)計(jì)控制器，也即需要修改閉環(huán)極點(diǎn)，或觀測(cè)器極點(diǎn)，或兩者同時(shí)修改，然后重新進(jìn)行設(shè)計(jì)。6.14 考慮圖6.9所示的調(diào)節(jié)器系統(tǒng)，試針對(duì)被控對(duì)象設(shè)計(jì)基于全階觀測(cè)器和降階觀測(cè)器的輸出反饋控制器。設(shè)極點(diǎn)配置部分希望的閉環(huán)極點(diǎn)是，希望的觀測(cè)器極點(diǎn)是（a） 對(duì)于全階觀測(cè)器，和；（b） 對(duì)于降階觀測(cè)器，。比較系統(tǒng)對(duì)下列指

11、定初始條件的響應(yīng)：（a） 對(duì)于全階觀測(cè)器： （b） 對(duì)于降階觀測(cè)器： 進(jìn)一步比較兩個(gè)系統(tǒng)的帶寬。圖6.9 習(xí)題6.14的調(diào)節(jié)器系統(tǒng)答：被控對(duì)象傳遞函數(shù)的一個(gè)狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)是： 首先，根據(jù)希望配置的閉環(huán)極點(diǎn)，執(zhí)行以下的m-文件：a=0 1;0 -2;b=0;4;c=1 0;d=0j=-2+j*2*sqrt(3) -2-j*2*sqrt(3);K=acker(a,b,j)可得狀態(tài)反饋增益矩陣：(a) 配置全階觀測(cè)器極點(diǎn)的程序：a=0 1;0 -2;b=0;4;c=1 0;d=0;v=-8 -8;L=(acker(a',c',v)'求得：該全階觀測(cè)器對(duì)指定初始條件的響應(yīng)曲線可由

12、下面的m-文件來(lái)實(shí)現(xiàn)：a=0 1;0 -2;b=0;4;c=1 0;d=0;k=4 0.5;L=14;36;AA=a-b*k b*k;zeros(2,2) a-L*c;sys=ss(AA,eye(4),eye(4),eye(4);t=0:0.01:3;x=initial(sys,1;0;1;0,t);x1=1 0 0 0*x'x2=0 1 0 0*x'e1=0 0 1 0*x'e2=0 0 0 1*x'subplot(2,2,1);plot(t,x1),gridtitle('Response to initial condition')ylabe

13、l('state variable x1')subplot(2,2,2);plot(t,x2),gridtitle('Response to initial condition')ylabel('state variable x2')subplot(2,2,3);plot(t,e1),gridtitle('t (sec)')ylabel('error state variable e1')subplot(2,2,4);plot(t,e2),gridtitle('t (sec)')ylabel(

14、9;error state variable e2')所得到的響應(yīng)曲線圖為：基于全階觀測(cè)器的輸出反饋控制系統(tǒng)響應(yīng)曲線(b) 配置降階觀測(cè)器極點(diǎn) 由，可得：，因?yàn)樵到y(tǒng)兩階，所以降階觀測(cè)器的增益矩陣。而觀測(cè)器的特征方程為因?yàn)?，所以，即。進(jìn)而，故降階觀測(cè)器模型為基于該降階觀測(cè)器的輸出反饋控制系統(tǒng)對(duì)指定初始條件的響應(yīng)曲線可由下面的m文件來(lái)實(shí)現(xiàn)：a=0 1;0 -2;b=0;4;k=4 0.5;kb=0.5;L=6;Aab=1;Abb=-2;AA=a-b*k b*kb;zeros(1,2) Abb-L*Aab;sys=ss(AA,eye(3),eye(3),eye(3);t=0:0.01:3;x=initial(sys,1;0;1,t);x1=1 0 0*x'x2=0 1 0*x'e1=0 0 1*x'subplot(2,2,1);plot(t,x1),gridtitle('Response to initial condition')ylabel('state variable x1')subplot(2,2,2);plot(t,x2),gridtitle('Response to initial condition')yla