第05章05節(jié)定積分的幾何應(yīng)用舉例

1、第5節(jié) 定積分的幾何應(yīng)用舉例（考點(diǎn)） 定積分的應(yīng)用就是要用定積分計(jì)算某個(gè)量：可見(jiàn)，量分布在區(qū)間上。在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，要求我們把和找出來(lái)。，考慮是在上的分布。讓有增量使。是在上的分布。因此，用積分計(jì)算量的步驟如下：（1） 找到的分布區(qū)間；（2） ，把在上的分布量計(jì)算成如下式子即（3）算出定積分 以上步驟稱(chēng)為定積分應(yīng)用的微元法。5.1 平面圖形的面積直角坐標(biāo)系中連續(xù)曲線(xiàn)所圍圖形的面積。分布在區(qū)間上；，在區(qū)間部分的面積；所以 當(dāng)時(shí)圖5.1【例5.1】求由曲線(xiàn)，以及直線(xiàn)圍成的圖形面積解、面積分布在區(qū)間上；，在區(qū)間部分的面積；所以【例5.2】求由曲線(xiàn)，所圍成圖形的面積圖5.2a圖5.2b解1、解得交點(diǎn)。如果

2、用作自變量，面積分布在區(qū)間上；，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間部分的面積；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間部分的面積。表達(dá)式不一致，要用把圖形割成兩塊計(jì)算。解2、如果用作自變量，面積分布在區(qū)間上。，在區(qū)間部分的面積。所以（從此例要學(xué)會(huì)：（1）當(dāng)邊界表達(dá)式不一致時(shí)，要作適當(dāng)分割；（2）自變量選得好可使計(jì)算簡(jiǎn)單。）【例5.3】求橢圓所圍成的圖形的面積解、由對(duì)稱(chēng)性，其中為第一象限內(nèi)的部分的面積。分布在區(qū)間上；，在區(qū)間部分的面積。所以（這個(gè)結(jié)果與中學(xué)所學(xué)一致。我們這里是用定積分做出來(lái)的，而中學(xué)是沒(méi)有證明的估計(jì)。）極坐標(biāo)系中.1極坐標(biāo)在平面中取定一條有長(zhǎng)度單位的射線(xiàn)，稱(chēng)為極坐標(biāo)軸。給了平面上一點(diǎn)，我們有數(shù)組，其中是與的夾角。是由點(diǎn)確定的。反

3、過(guò)來(lái)，如果給了數(shù)組，按上面規(guī)則，確定了一點(diǎn)。因此，可以用作點(diǎn)的坐標(biāo)，稱(chēng)為點(diǎn)的極坐標(biāo)。把直角坐標(biāo)平面的作極坐標(biāo)軸，則極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系如下極坐標(biāo)系中的面積計(jì)算求曲線(xiàn)所圍圖形的面積。用作自變量，面積分布在區(qū)間上；，在區(qū)間部分的面積。所以如何求曲線(xiàn)所圍圖形的面積？有時(shí)候用極坐標(biāo)計(jì)算面積比較簡(jiǎn)單?！纠?.4】計(jì)算阿基米德螺線(xiàn)：（）從的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積解、。由曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程寫(xiě)極坐標(biāo)系方程（1）把代入等式得等式；（2）由等式解出。5.1 體積圖5.3 旋轉(zhuǎn)體的體積曲邊梯形。（1）求繞軸旋轉(zhuǎn)一周得的旋轉(zhuǎn)體的體積；（1）求繞軸旋轉(zhuǎn)一周得的旋轉(zhuǎn)體的體積。 （1）分布在區(qū)間；，在區(qū)間的部分的

4、體積（半徑為高為的圓柱體）；所以（轉(zhuǎn)軸與積分變量一致。） （2）分布在區(qū)間；，在區(qū)間的部分的體積（一空心圓柱殼：底是周長(zhǎng)寬高）；所以（轉(zhuǎn)軸與積分變量不一致。）（這里所講與P245有什么不一樣？）圖5.5【例5.5】計(jì)算由擺線(xiàn)，的一拱及軸所圍成的圖形(圖5.4)分別繞軸，軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積 圖5.4解、或用y作自變量，圖5.6a圖5.6b【例5.6】設(shè)有一半徑為的圓，圓心與一定直線(xiàn)的距離為（）求此圓繞直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)而成的圓環(huán)體的體積解、以為軸正半軸過(guò)圓心建立直角坐標(biāo)系。大半圓方程，小半圓方程?！纠?.7】求由曲線(xiàn)，軸和曲線(xiàn)在它極大值點(diǎn)處切線(xiàn)所圍成的平面圖形，繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積解1、用作

5、自變量。分布在區(qū)間上。解2、用作自變量。分布在區(qū)間上。 平行截面面積可計(jì)算的幾何體的體積 設(shè)幾何體在軸上的投影區(qū)間。，用垂直于軸且過(guò)點(diǎn)的平面截所得截面的面積可計(jì)算。則在上分布的體積。所以【例5.8】一平面經(jīng)過(guò)半徑為的圓柱體的底圓中心，并與底面交成角（如圖5.7），計(jì)算該平面截圓柱體所得立體的體積解1、用作自變量。分布在區(qū)間上。，用垂直于軸且過(guò)點(diǎn)的平面截所得截面的面積，所以解2、用作自變量。分布在區(qū)間上。，用垂直于軸且過(guò)點(diǎn)的平面截所得截面的面積，所以101010圖5.7a圖5.7b5.3 平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng) 在直角坐標(biāo)系中設(shè)曲線(xiàn)段的方程為。弧長(zhǎng)分布在上。，由于弧長(zhǎng)微分，所以在區(qū)間上的分布。因此【例5

6、.9】求懸鏈線(xiàn)從到（）那一段的弧長(zhǎng)解、弧長(zhǎng)分布在上。所以 曲線(xiàn)用參數(shù)方程表示設(shè)曲線(xiàn)段的參數(shù)方程為?；￠L(zhǎng)分布在上。，由于弧長(zhǎng)微分，所以在區(qū)間上的分布。因此【例5.10】求擺線(xiàn)，的一拱的長(zhǎng)度（）解、弧長(zhǎng)分布在上。所以 曲線(xiàn)用極坐標(biāo)方程表示設(shè)曲線(xiàn)段的極坐標(biāo)方程為。則曲線(xiàn)的參數(shù)方程是容易算得。因此【例5.11】心臟線(xiàn)的全長(zhǎng)解、弧長(zhǎng)分布在上。所以習(xí)題講解P249 A類(lèi)2求由下列各曲線(xiàn)所圍成圖形的面積：(1)解、，。（注意到的周期性。）3求下列各曲線(xiàn)所圍成圖形的公共部分的面積：(1) 與(2) 與解、（1）先畫(huà)草圖（看黑板）。解得。根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，（2）先畫(huà)草圖（看黑板）。解得。根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，11求曲線(xiàn)自的一段

7、弧長(zhǎng)解、曲線(xiàn)。B類(lèi)5設(shè), 試求曲線(xiàn)與軸所圍成圖形的面積解、當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以解得。10將曲線(xiàn)繞軸旋轉(zhuǎn)得一旋轉(zhuǎn)體，它在點(diǎn)與之間的體積記作，問(wèn)等于何值時(shí)，能使？解、令即，解得。（上分布的體積與上分布的體積相等。）習(xí)題55A類(lèi)1求由下列各曲線(xiàn)所圍圖形的面積：(1) ,*(2), 3)與(兩部分都要計(jì)算)2求由下列各曲線(xiàn)所圍成圖形的面積：(1) (2) (3)3求下列各曲線(xiàn)所圍成圖形的公共部分的面積：*(1) 與(2) 與4求擺線(xiàn)的第一拱與軸所圍的面積()57題圖由，,所圍成的圖形，分別繞軸和軸旋轉(zhuǎn)，計(jì)算所得兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積*6計(jì)算底面是半徑為的圓，而垂直于底面上一條固定直徑的所有截面都是等邊三角形的立

8、體體積7立體的底是曲線(xiàn), 所圍的平面圖形, 垂直于軸的平面與該立體的截面是以(如圖)為直徑的半圓，求此立體的體積8計(jì)算底面是半徑為R的圓，而垂直于底面上一條固定直徑的所有截面都是等邊三角形的立體體積*9過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線(xiàn)的切線(xiàn)，該切線(xiàn)與曲線(xiàn)及軸平面圖形，(1) 求的面積；(2) 求繞直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積10求心形線(xiàn)及射線(xiàn)及所圍成的圖形繞極軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積11計(jì)算曲線(xiàn)上相應(yīng)于的一段弧的長(zhǎng)度12求曲線(xiàn)自的一段弧長(zhǎng)B類(lèi)1用積分法證明球缺的體積為2在擺線(xiàn)，上求分?jǐn)[線(xiàn)第一拱成的點(diǎn)的坐標(biāo)3在半徑為的球上鉆一個(gè)半徑為的圓孔，孔的軸為球體的一條直徑，求剩余部分的體積*4求曲線(xiàn)所圍成圖形的面積5設(shè), 試求曲線(xiàn)與軸所圍成圖形的面積6設(shè)曲線(xiàn)方程為()*(1) 把曲線(xiàn)，軸，軸和直線(xiàn) ()所圍平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，得一旋轉(zhuǎn)體，求此旋轉(zhuǎn)體體積以及滿(mǎn)足的值；(2) 在此曲線(xiàn)上找一點(diǎn)，使過(guò)該點(diǎn)的切線(xiàn)與兩個(gè)坐標(biāo)軸所夾平面圖形的積最大，并求出該面積7設(shè)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)所圍成圖形的面積為，它們與直線(xiàn)所圍成的圖形面積為，并且(1) 試確定的值，使達(dá)到最小值；(2) 求該最小值所對(duì)應(yīng)的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積*8設(shè)有一半徑為的圓，圓心與一定直線(xiàn)的距離為()求此圓繞直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)而成的圓