第三章微分中值定理及應(yīng)用MicrosoftWord文檔

1、微分學(xué)中值定理一 費(fèi)馬引理設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，并且在處可導(dǎo)，若是在內(nèi)的最大值或最小值，則。二 羅爾定理若函數(shù)滿足：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；（3）；則至少存在一點(diǎn)，使得【例1】證明方程在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根?！纠?】設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上可微，對(duì)于，函數(shù)，且，證明：在內(nèi)有且僅有一個(gè)，使。三拉格朗日中值定理若函數(shù)滿足：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；則至少存在一點(diǎn)，使得?！纠?設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且不恒為常數(shù)，求證：在內(nèi)存在一點(diǎn)，使【例】 設(shè)函數(shù)定義在上，在內(nèi)存在且單調(diào)下降，又。證明：對(duì)于，恒有拉格朗日中值定理推論 若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)導(dǎo)數(shù)恒為零，則在區(qū)間上恒

2、為常數(shù)?！纠孔C明：當(dāng)時(shí)，證明 設(shè)，則對(duì)，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，為常數(shù)。又，所以當(dāng)時(shí)，三柯西中值定理若函數(shù)和滿足：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；則至少存在一點(diǎn)，使得?！纠吭O(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，證明：，使【例】設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，證明：，使得。四 泰勒公式1（拉格朗日型余項(xiàng)）泰勒公式如果函數(shù)在含有的某個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)具有直到階的導(dǎo)數(shù)，則對(duì)任一，有（*）其中 ，介于與之間。注： 1）（*）稱為函數(shù)按的冪展開(kāi)的帶有拉格朗日型余項(xiàng)的階泰勒公式。2）稱為函數(shù)按的冪展開(kāi)的次近似多項(xiàng)式。3）稱為拉格朗日型余項(xiàng)。4）當(dāng)時(shí)，（*）稱為按的冪展開(kāi)的帶有拉格朗日型余項(xiàng)的階麥克勞林公式。5）麥克勞林公式

3、中的可表示為。泰勒公式中的可表示為。2（皮亞諾型余項(xiàng)）泰勒公式在具有階導(dǎo)數(shù)，則，對(duì)任一，有-（*）注： 1）（*）稱為函數(shù)按的冪展開(kāi)的帶有皮亞諾型余項(xiàng)的階泰勒公式。2）稱為皮亞諾型余項(xiàng)。3）當(dāng)時(shí)，（*）稱為按的冪展開(kāi)的帶有皮亞諾型余項(xiàng)的階麥克勞林公式。4）拉格朗日型余項(xiàng)泰勒公式與皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式區(qū)別：拉格朗日型余項(xiàng)泰勒公式可估計(jì)誤差，皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式不能估計(jì)誤差。常用函數(shù)麥克勞林展開(kāi)式（展開(kāi)成階泰勒公式）（展開(kāi)成階泰勒公式），【例1】設(shè)，且，證明【例2】設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明：，使【例3】求導(dǎo)數(shù)應(yīng)用一 未定式求極限未定式分類1）或（基本型） 2）， 3），未定式

4、求極限方法1基本型 洛必達(dá)法則 在自變量同一變化過(guò)程中，若函數(shù)滿足（1）是或型（2）當(dāng)時(shí)，在某內(nèi)可導(dǎo)，且；當(dāng)時(shí)，存在某，可導(dǎo)，且（3）存在或則存在，且。注 1） 必須是或未定式才可以使用洛比達(dá)法則；因而在每一次使用洛比達(dá)法則前一定要檢查是否是或未定式。 2） 存在或，才有成立。3） 是或型，但不滿足洛比達(dá)法則的條件（3），即不存在且，此種情況下不能得出不存在。例 2 ， 化為或型。3 ， 化指數(shù)函數(shù)求極限法或取對(duì)數(shù)求極限法注 冪指函數(shù)，若，則典型例題【例1】求下列極限（1） （2）（3） （4）【例2】設(shè)在上可導(dǎo)，且，求的值。二 函數(shù)的單調(diào)性1 函數(shù)單調(diào)性定義2 判定函數(shù)單調(diào)性定理 設(shè)在區(qū)間上

5、連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，（1）若內(nèi)，則在上單調(diào)增加；（2）若內(nèi)，則在上單調(diào)減少。注：若在上連續(xù)，在內(nèi)有有限個(gè)駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)，而在其他點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)保持同一符號(hào)，則在上保持同一單調(diào)性。3 可能的單調(diào)區(qū)間分界點(diǎn)：駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)。4 連續(xù)函數(shù)討論單調(diào)性方法1） 求出全體可能的單調(diào)區(qū)間分界點(diǎn)：駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)2） 1）求出的點(diǎn)將給定的定義域分成個(gè)小區(qū)間，在每一個(gè)分得的小區(qū)間內(nèi)討論導(dǎo)數(shù)符號(hào)。若，則在包含該小區(qū)間的連續(xù)端點(diǎn)的小區(qū)間上單調(diào)增加；若，則在包含該小區(qū)間的連續(xù)端點(diǎn)的小區(qū)間上單調(diào)減少?！纠恳阎瘮?shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。5 利用單調(diào)性證明不等式【例】 證明 證明 設(shè)，對(duì)于，又在上連續(xù)，所以在上單調(diào)減少。即對(duì)于，有成立

6、?！纠孔C明：當(dāng)時(shí)，【例】設(shè)，證明 6 利用單調(diào)性+零點(diǎn)定理判定方程根的個(gè)數(shù)【例】討論方程（其中）有幾個(gè)實(shí)根？解 設(shè)，則，令得駐點(diǎn)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間又；（因?yàn)椋┊?dāng)，即時(shí)，方程無(wú)實(shí)根當(dāng)，即時(shí)，方程有唯一實(shí)根當(dāng)，即時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)根。三 連續(xù)曲線的凹凸性1 連續(xù)曲線凹凸定義（1）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，若對(duì)區(qū)間上任意兩點(diǎn)，恒有稱函數(shù)在區(qū)間上是上凹函數(shù)（或下凸函數(shù)）。（2）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，若對(duì)區(qū)間上任意兩點(diǎn)，恒有稱函數(shù)在區(qū)間上是上凸函數(shù)（或下凹函數(shù)）。2 判定連續(xù)曲線凹凸性定理若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)二階可導(dǎo)，（1）若內(nèi)，則曲線在上是凹的。（2）若內(nèi)，則曲線在上是凸的。3拐點(diǎn)定義 連續(xù)曲線弧上的凹弧

7、與凸弧的分界點(diǎn)叫拐點(diǎn)。注 拐點(diǎn)是平面上的點(diǎn)，所以拐點(diǎn)的坐標(biāo)為。4二階可導(dǎo)函數(shù)拐點(diǎn)必要條件：設(shè)存在，且是拐點(diǎn)，則。5 連續(xù)曲線可能的拐點(diǎn)橫坐標(biāo)：使的或使不存在的6 求連續(xù)曲線弧拐點(diǎn)方法或不存在，且在及內(nèi)函數(shù)值異號(hào)，則是拐點(diǎn)。7連續(xù)曲線討論凹凸性方法1） 求出全體可能的凹凸區(qū)間的分界點(diǎn)：的和不存在的。2） 1）中所求出的點(diǎn)將給定的定義域分成個(gè)小區(qū)間，在每一個(gè)分得的小區(qū)間內(nèi)討論二階導(dǎo)符號(hào)。若，則在包含該小區(qū)間的連續(xù)端點(diǎn)的小區(qū)間上曲線是凹的若，則在包含該小區(qū)間的連續(xù)端點(diǎn)的小區(qū)間上曲線是凸的?！纠坑懻摵瘮?shù)的凹凸性。8利用函數(shù)凹凸性證明不等式【例】證明不等式 四 函數(shù)的極值1極值定義注 1）極值是鄰域性

8、概念；2）若是極大值，意味著，在內(nèi)是最大函數(shù)值，其它函數(shù)值都比小；若是極小值，意味著，在內(nèi)是最小函數(shù)值，其它函數(shù)值都比大。2可導(dǎo)函數(shù)取極值的必要條件 在可導(dǎo)，且取極值，則必有3可能的取極值點(diǎn)（駐點(diǎn)，有定義的不可導(dǎo)點(diǎn)）4判定極值點(diǎn)的方法1）極值定義2）取極值的第一充分條件：設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，且在內(nèi)可導(dǎo)。若，（或），（或），則函數(shù)在處取得極大值（或極小值）。若，的符號(hào)不變，則函數(shù)在處不存在極值。3）取極值的第二充分條件：設(shè)函數(shù)在處有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且,當(dāng)，是極小值；當(dāng)，是極大值；【例】設(shè)，則在處（A）的導(dǎo)數(shù)存在且 （B）的導(dǎo)數(shù)不存在 （C）取得極小值 （D）取得極大值 【 】 【例】設(shè)函數(shù)滿足方程，求

9、函數(shù)的極小值與極大值。解 首先求，令得駐點(diǎn)，無(wú)有定義的不可導(dǎo)點(diǎn)。又，所以函數(shù)的極小值為，極大值為。五 求函數(shù)的最值1閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)求最值方法1） 求出函數(shù)所有可能的取最值的點(diǎn)：閉區(qū)間的端點(diǎn)，區(qū)間內(nèi)部的駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)2） 求出3） 比較2）中函數(shù)值的大小，其中最大的值為所求函數(shù)的最大值，最小的值為所求函數(shù)的最小值。注意： 所求的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)一定是給定區(qū)間內(nèi)部的點(diǎn)。若不是，舍去?！纠壳蠛瘮?shù)在上的最大值與最小值。解 令，得駐點(diǎn)（舍），且不可導(dǎo)點(diǎn)為計(jì)算比出最大值與最小值。2開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)求最值設(shè)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，是在內(nèi)唯一駐點(diǎn)，若是極小值，則是在內(nèi)的最小值；若是極大值，則是在內(nèi)的最大值。 【例】要設(shè)計(jì)一個(gè)容積為常量的圓柱形水池，已知底的單位面積造價(jià)是側(cè)面的一半，問(wèn)如何設(shè)計(jì)，才能使水池的造價(jià)最低。3利用最值證明不等式【例】設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，且，又。證明：，其中六 漸近線1水平漸近線若，則是函數(shù)的左側(cè)水平漸近線，則是函數(shù)的右側(cè)水平漸近線，則是函數(shù)的水平漸近線2鉛直漸近線，或，或，則是函數(shù)的鉛直漸近線函數(shù)在間斷點(diǎn)及定義區(qū)間的有限端點(diǎn)處才有可能有鉛直漸近線。3斜漸近線設(shè)函數(shù)，直線，若，叫函數(shù)的右斜漸近線。若，叫函數(shù)的左斜漸近線。若，則叫函數(shù)的斜漸近線。求斜漸近線方法（1）左斜