直線和橢圓相交 求過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)弦中點(diǎn)的軌跡方程 Word版含解析數(shù)理化網(wǎng)

1、今天我們研究直線和橢圓相交過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)弦中點(diǎn)的軌跡方程。當(dāng)定點(diǎn)在橢圓上，可以用點(diǎn)差法或相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程。當(dāng)定點(diǎn)在橢圓外，可以用點(diǎn)差法或韋達(dá)定理消參求軌跡方程，此時(shí)一定要驗(yàn)證直線與橢圓相交的條件，并求出變量的取值范圍。先看例題：例：過(guò)橢圓上一點(diǎn)P(-8，0)作直線交橢圓于Q點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)的軌跡方程。解：設(shè)弦中點(diǎn)M（），Q（），由，可得，又因?yàn)镼在橢圓上，所以有，所以中點(diǎn)M軌跡方程為：，所以PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為 （）。注意：PQ兩點(diǎn)不會(huì)重合，所以M不會(huì)取到(-8,0)點(diǎn)。規(guī)律整理：（1）當(dāng)定點(diǎn)在橢圓上，可用相關(guān)點(diǎn)法，求橢圓上點(diǎn)P作直線交橢圓于Q點(diǎn)，PQ中點(diǎn)的軌跡方程。思路：設(shè)弦中點(diǎn)M（），Q（）

2、，又因?yàn)镼在橢圓上，代入橢圓方程整理得軌跡方程。（2）當(dāng)定點(diǎn)在橢圓外，求過(guò)點(diǎn)P作直線交橢圓于A、B，求直線被橢圓截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程。思路：驗(yàn)證直線與橢圓相交，聯(lián)立方程，整理為一元二次方程，在時(shí)，求出x或y的取值范圍。（3）先驗(yàn)證斜率不存在的情況是否符合題意。再看一個(gè)例題，加深印象 例：已知橢圓，過(guò)點(diǎn)引橢圓的割線，求割線被橢圓截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程。解：先判斷斜率不存在的情況，即直線x=2，與橢圓無(wú)交點(diǎn)。即當(dāng)不存在時(shí)，不滿足題設(shè)要求。則可設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為，聯(lián)立方程，消去，整理得，因?yàn)橹本€與橢圓相交，所以解得設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)為、，中點(diǎn)，則由韋達(dá)定理知：，反表示為：，由上述求得k2的范圍，則

3、有，解得。由直線方程，兩邊平方得代入有，即求得軌跡方程為：注意：（1）過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)弦中點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，當(dāng)定點(diǎn)在橢圓外的時(shí)候一定要驗(yàn)證直線與橢圓相交的條件，并求出（或）的取值范圍；（2）驗(yàn)證斜率不存在的情況是否符合題意?？偨Y(jié)：1.直線與橢圓相交求過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)弦中點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，當(dāng)定點(diǎn)在橢圓上，可以用點(diǎn)差法或相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程。2.直線與橢圓相交求過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)弦中點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，當(dāng)定點(diǎn)在橢圓外，可以用點(diǎn)差法或韋達(dá)定理消參求軌跡方程，此時(shí)一定要驗(yàn)證直線與橢圓相交的條件，并求出（或）的取值范圍。練習(xí)：1.過(guò)橢圓上一點(diǎn)P（-8，0）作直線交橢圓于Q點(diǎn)，用點(diǎn)差法求PQ中點(diǎn)的軌跡方程。2.已知橢圓，過(guò)點(diǎn)引橢圓的割線，用點(diǎn)差法求求割線被橢圓截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程。3.已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)橢圓,它的中心在原點(diǎn),左焦點(diǎn)為,且過(guò)點(diǎn)D(2,0).(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)點(diǎn),若P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),求線段PA的中點(diǎn)M的軌跡方程.答案：1. 解：設(shè)弦PQ中點(diǎn)M（），弦端點(diǎn)P（），Q（），則有，兩式相減得，又因?yàn)?，所以，所以，而，故?；?jiǎn)可得 （）。2. 解：設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)為、，中點(diǎn)，則兩式相減得，整理得，由題意知，所以，又，所以，整理得。過(guò)點(diǎn)的直線方