第三章微分法建模

1、第三章 微分法建模微分概念是高等數(shù)學(xué)中的基本概念，它表示兩個(gè)變量之間的變化率.盡管大多數(shù)學(xué)過(guò)高等數(shù)學(xué)的同學(xué)對(duì)微分概念很熟悉，但靈活地將微分概念運(yùn)用于數(shù)學(xué)建模并不是件容易的事情.3.1微分法純?cè)鲩L(zhǎng)率概念純?cè)鲩L(zhǎng)率(pure growth rate)也叫凈增長(zhǎng)率(net growth rate)，它是微分法建立數(shù)學(xué)模型最常用的概念之一.令記某個(gè)量在時(shí)刻的值.我們可以設(shè)想這個(gè)量是某生物種群中個(gè)體總數(shù).其實(shí)它也可以是地球上人類人口數(shù)，或是某集團(tuán)公司的資本總量等等.這個(gè)量可以用不同方式計(jì)量，例如人口數(shù)量以百萬(wàn)計(jì)算；廠商資本的總量以百萬(wàn)元計(jì)算；植物的凈重以公斤計(jì)算；某魚類種群的數(shù)量以公斤計(jì)算等等.我們假設(shè)它

2、的值可以取某個(gè)區(qū)間內(nèi)的任何實(shí)數(shù)，也就是認(rèn)為它是一個(gè)連續(xù)的量.令表示在單位時(shí)間現(xiàn)有每單位種群誕生或新加入種群的單位數(shù)，并稱它為瞬時(shí)出生率(instantaneous birth rate)，又令記現(xiàn)有種群?jiǎn)挝粩?shù).于是，在長(zhǎng)度為的無(wú)窮小時(shí)間區(qū)間中，實(shí)際增加的種群?jiǎn)挝粩?shù)近似的為.這里之所以說(shuō)是近似值，是因?yàn)橥ǔｋS時(shí)間而變化，即，因而我們?cè)诔錾是懊婕由狭诵稳菰~“瞬時(shí)的”.在無(wú)窮小區(qū)間內(nèi)，從變到.類似地，從變到.另一方面，區(qū)間又如此之短，以至于在此區(qū)間中的值與的值沒(méi)有多大區(qū)別，而與的值也同樣沒(méi)有多大的不同.通常認(rèn)為，和對(duì)至少連續(xù)，并且假設(shè)對(duì)還是可微的.因此當(dāng)時(shí)，,這里“大”定義為當(dāng)時(shí)的無(wú)窮小量，即.現(xiàn)

3、在我們可以更確切地寫出在無(wú)窮小區(qū)間內(nèi)種群實(shí)際增加的單位數(shù)，這就是令記在單位時(shí)間現(xiàn)有每單位種群中死亡或離開(kāi)種群的單位數(shù)，并稱它為瞬時(shí)死亡率(instantaneous death rate).于是類似于上面的討論，在無(wú)窮小區(qū)間內(nèi)，實(shí)際離開(kāi)種群的單位數(shù)為顯然，上面兩式之差就是在無(wú)窮小區(qū)間內(nèi)種群純?cè)黾拥膯挝粩?shù)，這也正好是增加的數(shù)量，所以有現(xiàn)在定義純?cè)鲩L(zhǎng)率為單位時(shí)間現(xiàn)有每單位種群中純?cè)黾拥姆N群?jiǎn)挝粩?shù).因?yàn)闉樗矔r(shí)出生率與瞬時(shí)死亡率之差，亦即.于是，得到取極限即得從而有如果用表示當(dāng)時(shí)的高階無(wú)窮小量，即.則()式的右端可改寫為(3.1.2)式本身并不是一個(gè)數(shù)學(xué)模型，而只是純?cè)鲩L(zhǎng)率的定義，它通常是函數(shù).但是一

4、旦對(duì)這個(gè)函數(shù)的具體形式作出假設(shè)，它就成為一個(gè)數(shù)學(xué)模型.微分方程及其初等解法用微分法建立的數(shù)學(xué)模型通常都可以用微分方程來(lái)表示，因此模型的求解會(huì)利用到微分方程的解法.大多數(shù)情形下，由于建立的模型比較復(fù)雜，很難用初等積分方法來(lái)求精確解，這時(shí)需要用數(shù)值方法來(lái)近似求解.但對(duì)于較為簡(jiǎn)單的情形，可以用分離變量法、常數(shù)變異法等方法來(lái)求得精確解.這些方法在常見(jiàn)的常微分方程書中都可以找到，所以這里不再重復(fù).3.2 Malthus模型及其修改3.2.1 連續(xù)Malthus人口模型設(shè)某地區(qū)的人口總數(shù)為.1798年，英國(guó)人T.J.Malthus在研究了百余年的人口統(tǒng)計(jì)資料之后，他發(fā)現(xiàn)了單位時(shí)間人口的凈增長(zhǎng)與人口總數(shù)成正

5、比的規(guī)律，即(3.2.1)當(dāng)時(shí)，上式變?yōu)槲⒎址匠?3.2.2)根據(jù)現(xiàn)實(shí)狀況，配以適當(dāng)?shù)某跏紬l件如：(3.2.3)系統(tǒng)(3.2.2)(3.2.3)可求解為：(3.2.4)這就是著名的Malthus人口模型.這個(gè)模型可以與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)很好的吻合，但是當(dāng)后來(lái)人們用它與19世紀(jì)的人口資料比較時(shí)卻發(fā)現(xiàn)了相當(dāng)大的差異.人們還發(fā)現(xiàn)，遷往加拿大的法國(guó)移民后代的人口數(shù)量比較符合該模型，而同一血統(tǒng)的法國(guó)本土居民人口的增長(zhǎng)卻與此模型相去很遠(yuǎn).在理論上，當(dāng)時(shí)，.這意味著該地區(qū)人口數(shù)量可以無(wú)限制地增大，這與現(xiàn)實(shí)是相矛盾的. 湖泊污染的減退考慮一個(gè)受某種物質(zhì)污染的湖水.假設(shè)這個(gè)湖的湖水體積（以立

6、方米計(jì)）不變，且污染物質(zhì)均勻地混合于湖水中.以記在任意時(shí)刻每立方米湖水中所含污染物質(zhì)的克數(shù)，這是污染程度的一種合理量度，習(xí)慣上稱之為污染濃度.令表示每天流出的湖水立方米數(shù)，由假設(shè)，這也等于每天流入湖里的水量.我們的問(wèn)題是：如果某時(shí)刻污染物質(zhì)突然停止進(jìn)入湖水，此時(shí)流入湖里的全部是干凈水，那么需要經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間才能使湖水的污染濃度下降到開(kāi)始時(shí)（即污染停止時(shí)）污染濃度的或環(huán)保要求？考慮在時(shí)間段上湖水污染濃度的變化.因?yàn)楹廴疚锏牧康臏p少是由污水流出造成的，故(3.2.5)當(dāng)時(shí)，上式變?yōu)槲⒎址匠?3.2.6)考慮如下的初始條件：(3.2.7)于是(3.2.6)(3.2.7)可求解為：(3.2.8)

7、這是Malthus模型的另一個(gè)版本.利用(3.2.8)我們可以解決前面提出的問(wèn)題.式(3.2.8)告訴我們：(3.2.9)將代入(3.2.9),就可以計(jì)算出污染濃度下降到開(kāi)始時(shí)（即污染停止時(shí)）污染濃度的所需的時(shí)間為：我們把此結(jié)果應(yīng)用于北美的兩大湖：安大略湖和伊利湖.這兩個(gè)湖的湖水體積分別為和立方米，而平均流量分別為每天和立方米.因此安大略湖的天或23.5年，伊利湖的天或7.8年.由于建立模型時(shí)有兩個(gè)假設(shè)；一、污染物質(zhì)均勻的混合在湖水中.二、流入（或流出）湖水的流量是一個(gè)常數(shù).故我們建立的模型與現(xiàn)實(shí)是有差距的.當(dāng)然，如果實(shí)際流量的季節(jié)性變化對(duì)污染沒(méi)有太大的影響，而污染物質(zhì)與湖水混合不均勻盡可能延

8、長(zhǎng)凈化時(shí)間的話，上面的結(jié)果就可能看成是所需凈化時(shí)間的一個(gè)下限.這是我們從這個(gè)簡(jiǎn)單的模型中所得到的一個(gè)很有用的信息.3.2.3Malthus模型的修改Verhulst模型對(duì)Malthus模型的修改中最著名的是Verhulst模型.考慮到單位時(shí)間單位人口的凈增長(zhǎng)率并不一定是一個(gè)常數(shù)，那么最簡(jiǎn)單的假設(shè)是線性關(guān)系.理論上，如果沒(méi)有自然災(zāi)害、疾病或戰(zhàn)爭(zhēng)，人類的總數(shù)會(huì)不斷增加，這樣必然導(dǎo)致人類生存競(jìng)爭(zhēng)的加劇和人類生存環(huán)境的惡化.事實(shí)上，單位時(shí)間單位人口的凈增長(zhǎng)率呈下降趨勢(shì).因此人口數(shù)量的變化可以考慮關(guān)系：(3.2.10)當(dāng)時(shí)，上式變?yōu)槲⒎址匠?3.2.11)其中，都是正常數(shù).邊界條件(3.2.2)在這里是

9、同樣適合.從方程發(fā)現(xiàn)，如果，則，從而單調(diào)增加趨于最大群體數(shù)；如果，則，從而單調(diào)減少趨于最大群體數(shù).事實(shí)上，令，方程(3.2.11)變?yōu)榫€性方程其解為：，其中從而(3.2.13)其中.顯然，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)分別取時(shí)圖形如圖3.1所示.并稱的圖像為L(zhǎng)ogistic（邏輯斯提克）曲線，而相應(yīng)的微分方程也稱為L(zhǎng)ogistic（邏輯斯提克）方程.3.2.4 植物的生長(zhǎng)模型令為某種植物在時(shí)刻的凈重（或干重，即不包含水分的重量）.設(shè)這種植物吸取一種養(yǎng)料而生長(zhǎng)，記這種養(yǎng)料在時(shí)刻的重量為.一般而言，養(yǎng)料越多，植物生長(zhǎng)得就越快；反之，養(yǎng)料越少，植物生長(zhǎng)得就越慢.因此最簡(jiǎn)單的假設(shè)是：時(shí)刻單位時(shí)間單位凈重量植物的凈重量的增

10、長(zhǎng)與養(yǎng)料在時(shí)刻的重量成正比，即(3.2.14)這里是正常數(shù).我們也可以假設(shè)別的，例如時(shí)刻單位時(shí)間單位凈重量植物的凈重量的增長(zhǎng)與養(yǎng)料在時(shí)刻的重量的平方成正比，或與養(yǎng)料在時(shí)刻的重量的二分之三次方成正比等等.但在缺少有關(guān)該植物本身進(jìn)一步信息的情況下，我們區(qū)分不出哪一個(gè)假設(shè)更正確，因此我們采用其中最簡(jiǎn)單的假設(shè).當(dāng)然，這也可能是一個(gè)很好的假設(shè)，如果不是，以后還可以修改.由式(3.2.14)即得(3.2.15)此時(shí)，由于養(yǎng)料在時(shí)刻的重量未知，所以(3.2.15)還不能單獨(dú)求解.我們必須尋求其它的量關(guān)系.為此，我們假設(shè)養(yǎng)分被植物吸收后全部轉(zhuǎn)化成了植物的凈重量，沒(méi)有丟棄任何東西.這意味著，任意時(shí)刻單位時(shí)間養(yǎng)分

11、減少的重量與植物凈重量的增加相等，此關(guān)系可表示為：(3.2.16)上式中“負(fù)號(hào)”表示植物的凈重量增加時(shí)養(yǎng)分的重量減少.從(3.2.16)中馬上可以得到(3.2.17)其中常數(shù)為對(duì)應(yīng)于時(shí)的值.方程(3.2.15)和(3.2.17)一起便可求解.將(3.2.17)代入(3.2.15)，得到(3.2.18)這就是植物生長(zhǎng)的數(shù)學(xué)模型.它的解為：(3.2.19)其解曲線如圖3.2所示.注意到曲線是S形的，先向上彎曲到拐點(diǎn)，然后向下彎曲，并且當(dāng)時(shí)逼近于水平漸近線.不難發(fā)現(xiàn)，我們又一次得到了Logistic方程和Logistic曲線，即方程(3.2.18)和曲線(3.2.19).這是生態(tài)學(xué)中最重要的數(shù)學(xué)模型

12、之一.實(shí)踐中，植物的生長(zhǎng)會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到它的最大凈重量，而在(3.2.19)中說(shuō)明只有當(dāng)時(shí)才逼近于.這說(shuō)明該模型只是抓住現(xiàn)象的本質(zhì)特點(diǎn)，而不是現(xiàn)實(shí)過(guò)程的模仿.實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)是判斷模型有效性的唯一根據(jù).當(dāng)適當(dāng)選擇和的值之后，上述模型對(duì)一年生的植物生長(zhǎng)給出了很好的描述.練習(xí)螞蟻群體的死亡率同當(dāng)時(shí)的數(shù)目成正比.如果不出生幼蟻，則在一周末總數(shù)減少一半.然而，由于要產(chǎn)幼蟻，出生率也同現(xiàn)有總數(shù)成正比變化，并且兩周內(nèi)蟻群總數(shù)翻一番.試確定每周該群體的出生率.一個(gè)大罐裝有50升的鹽水，其內(nèi)溶有50公斤的鹽，水以每分鐘2升的速度注入該罐，并且攪拌好的溶液以同樣的速度流進(jìn)原先裝有50升純水的二級(jí)罐，試確定25分鐘

13、后二級(jí)罐內(nèi)溶液的濃度.假設(shè)Verhulst方程(3.2.11)變?yōu)樵嚽蠼庵?并比較(3.2.11)的解.如果變?yōu)橛秩绾?？?jī)煽弥参锓N在一起，按比例吸取養(yǎng)分，試建立它們的生長(zhǎng)模型.3.3傳染病傳播的數(shù)學(xué)模型人們將傳染病的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理和分析發(fā)現(xiàn)，在某一地區(qū)某種傳染病傳播時(shí)每次所涉及的人數(shù)大體上是一個(gè)常數(shù).這一現(xiàn)象如何解釋呢？下面我們建立傳染病傳播的數(shù)學(xué)模型并用我們建立的數(shù)學(xué)模型來(lái)解釋這種現(xiàn)象.傳染病傳播涉及的因素很多，如傳染病人的多少，易受傳染者的多少，傳染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡等，如果還要考慮人員的遷入和遷出，潛伏期的長(zhǎng)短以及預(yù)防疾病的宣傳等因素的影響，那么傳染病的傳播變得非

14、常復(fù)雜.如果一開(kāi)始就把所有的因素統(tǒng)統(tǒng)考慮進(jìn)去，那么我們將陷入多如亂麻的頭緒中而不能自拔，倒不如舍棄眾多的次要因素，抓住主要因素，把問(wèn)題簡(jiǎn)化，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.將所得結(jié)果與實(shí)際比較，找出問(wèn)題，修改原假設(shè)，再建立一個(gè)與實(shí)際比較吻合的模型.下面由簡(jiǎn)單到復(fù)雜將建模的思考過(guò)程作一示范，讀者可從中得到很好的啟發(fā).模型一考慮最簡(jiǎn)單的情形.假設(shè)（1），每個(gè)病人在單位時(shí)間內(nèi)傳染的人數(shù)是常數(shù)；假設(shè)（2），一人得病后，經(jīng)久不愈，并在傳染期內(nèi)不會(huì)死亡，即他一旦得病后就一直是病人.記表示時(shí)刻病人數(shù)，表示每個(gè)病人單位時(shí)間內(nèi)傳染的人數(shù)，即最初有個(gè)傳染病人，則在時(shí)間內(nèi)增加到病人數(shù)為于是得微分方程(3.3.1)這也是一個(gè)Ma

15、lthus模型.其解為：(3.3.2)結(jié)果表明：傳染病的傳播是按指數(shù)函數(shù)增加的.這個(gè)結(jié)果與傳染病傳播初期比較吻合，傳染病傳播初期，傳播很快，被傳染人數(shù)按指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng).但由(3.3.2)式可知，當(dāng)時(shí)，這顯然與實(shí)際情況不能相符.問(wèn)題在于兩條假設(shè)均不合理.特別是假設(shè)（1），每個(gè)病人單位時(shí)間內(nèi)傳染的人數(shù)是常數(shù)與實(shí)際不符.因?yàn)樵趥鞑コ跗?，傳染病人少，未被傳染者?而在傳染病傳播中期和后期，傳染病人逐漸增多，未被傳染者逐漸減少，因而在不同時(shí)期的傳染情況是不同的.為了更好的吻合實(shí)際情況，我們?cè)谠谢A(chǔ)上修改假設(shè)建立新的模型.模型二用，表示時(shí)刻傳染病人數(shù)與未被傳染人數(shù).假設(shè)（1），每個(gè)病人在單位時(shí)間內(nèi)傳染的人

16、數(shù)與這時(shí)未被傳染人數(shù)成正比，比例系數(shù)是常數(shù)；假設(shè)（2），一人得病后，經(jīng)久不愈，并在傳染期內(nèi)不會(huì)死亡，即他一旦得病后就一直是病人；假設(shè)（3），該地區(qū)總?cè)藬?shù)不變，設(shè)為.即.由以上假設(shè)得微分方程：(3.3.3)注意到該模型與植物的生長(zhǎng)模型一致.因此，可以類似地求解此模型.其解為：(3.3.4)其圖形如圖3.3所示.模型(3.3.3)可以用來(lái)預(yù)報(bào)傳染較快的疾病前期傳染病高峰到來(lái)的時(shí)間.醫(yī)學(xué)上稱為傳染病曲線，它表示傳染病人增加率與時(shí)間的關(guān)系，如圖3.4所示.由(3.3.4)式可解出(3.3.5)令，得極大值點(diǎn)為：(3.3.6)由此可見(jiàn)，當(dāng)傳染病強(qiáng)度或總?cè)藬?shù)增加時(shí)，都將變小，即傳染病高峰來(lái)的快.這與實(shí)際情

17、況吻合.同時(shí)，如果知道了傳染病強(qiáng)度（由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得出），即可預(yù)報(bào)傳染病高峰到來(lái)的時(shí)間，這對(duì)于防治傳染病是有益的.模型二的缺點(diǎn)：當(dāng)時(shí)，由(3.3.4)式可知，.即最后人人都要生病.這顯然是不符合實(shí)際情況的.造成的原因是假設(shè)（2）中假設(shè)了人得病后經(jīng)久不愈.為了與實(shí)際問(wèn)題更加吻合，對(duì)上面的數(shù)學(xué)模型再進(jìn)一步修改，這就要考慮人得了病后有的會(huì)死亡，另外不是每個(gè)人被傳染后都會(huì)傳染給別人，因?yàn)槠渲幸徊糠謺?huì)被隔離.還要考慮人得了傳染病由于醫(yī)治和人的自身抵抗力會(huì)痊愈，并非象前面假設(shè)那樣人得病后經(jīng)久不愈.為此作出新的假設(shè)，建立新的模型.模型三在此模型中，雖然要考慮比前面兩個(gè)模型復(fù)雜得多的因素，但仍然要把問(wèn)題簡(jiǎn)單化.設(shè)

18、患過(guò)傳染病而完全病愈的任何人具有長(zhǎng)期免疫力，不考慮反復(fù)受傳染的情形.并設(shè)傳染病的潛伏期很短，可以忽略不計(jì)，即是一個(gè)人患了病之后立即成為傳染者.在這種情況下，把居民分成三類：第一類是由能夠把疾病傳染給別人的那些傳染者組成的.用表示時(shí)刻第一類人數(shù).第二類是由并非傳染者但能夠得病而成為傳染者的那些人組成的.用表示時(shí)刻第二類人數(shù).第三類包括患病死去的人，病愈后具有長(zhǎng)期免疫力的人，以及在病愈并出現(xiàn)長(zhǎng)期免疫力以前被隔離起來(lái)的人.用表示時(shí)刻第三類人數(shù).假設(shè)疾病傳染服從以下法則：（1）在所考慮的時(shí)期內(nèi)人口總數(shù)保持在固定水平，即不考慮出生及其它原因引起的死亡，以及遷入與遷出等情況.（2）易受傳染者人數(shù)的變化率正

19、比于第一類的人數(shù)與第二類人數(shù)的乘積.（3）由第一類向第三類轉(zhuǎn)變的速率與第一類的人數(shù)成正比.由假設(shè)（1）（2）（3）得微分方程組：(3.3.7)其中為兩個(gè)比例常數(shù)，為傳染率，為排除率.由個(gè)方程相加得則故.由此可知，只要知道了和，即可求出.而(3.3.7)式的第一和第二個(gè)方程與無(wú)關(guān)，因此由(3.3.8)得，(3.3.9)從而當(dāng)時(shí)，記，有下面討論積分曲線(3.3.10)的性質(zhì).由(3.3.9)知所以當(dāng)時(shí)，是的增函數(shù)，時(shí)，是的減函數(shù).由連續(xù)函數(shù)中間值定理及單調(diào)性知，存在唯一點(diǎn)，時(shí)，使得.而當(dāng)時(shí)，.由(3.3.8)式知時(shí)，所以為方程組(3.3.8)的平衡點(diǎn).當(dāng)時(shí)，方程(3.3.10)的圖像如圖3.5.圖

20、3.5當(dāng)由變化到時(shí)，點(diǎn)沿圖3.5中諸條曲線移動(dòng)，并沿減少的方向移動(dòng)，因?yàn)殡S時(shí)間的增加而單調(diào)減少.因此，如果，則單調(diào)減小直到零，單調(diào)減小直到.所以，如果為數(shù)不多的一群傳染者分散在居民中，且，則這種傳染病會(huì)很快被消滅.如果，則隨著減小到時(shí)，增加，且當(dāng)時(shí)，達(dá)到最大值.當(dāng)時(shí)，才開(kāi)始減小.由以上分析可以得出如下結(jié)論：只是當(dāng)居民中的易受傳染者的人數(shù)超過(guò)閾值時(shí)傳染病才會(huì)蔓延.用一般的常識(shí)來(lái)檢驗(yàn)上面的結(jié)論也是合理的.當(dāng)人口擁擠、密度高、缺乏應(yīng)有的科學(xué)文化知識(shí)、缺乏必要的醫(yī)療條件、隔離不好而排除率低時(shí)，傳染病會(huì)很快蔓延；反之，人口密度低、社會(huì)條件好、有良好的公共衛(wèi)生設(shè)施和較好的管理而排除率高時(shí)，則疾病在有限范圍

21、內(nèi)出現(xiàn)卻很快被消滅.如果起初易受傳染的人數(shù)大于但接近于閾值，即如果與相比是小量，則最終患病的人數(shù)近似于2.這就是著名的傳染病學(xué)中的閾值定理.生物數(shù)學(xué)家Kermack和Mekendrick在1927年首先證明了這個(gè)定理.定理（傳染病學(xué)中的閾值定理）設(shè)，且假設(shè)與1比相是小量.并設(shè)最初傳染者人數(shù)很小，則最終患病的人數(shù)為.即是易受傳染者的人數(shù)最初比閾值高多少，那么最終就會(huì)比閾值低多少.根據(jù)閾值定理就可以由起初易受傳染者的人數(shù)來(lái)估計(jì)最終患病的人數(shù).這個(gè)定理揭示了研究人員長(zhǎng)期以來(lái)難以解釋的為什么對(duì)于某一民族或地區(qū)，某種傳染病傳播時(shí)，每次所涉及的人數(shù)大體上是一個(gè)常數(shù)的現(xiàn)象.在傳染病發(fā)生的過(guò)程中，不可能準(zhǔn)確地

22、調(diào)查每一天或每一星期得病的人數(shù).因?yàn)橹挥心切﹣?lái)醫(yī)院就醫(yī)的人才能被人知道他們得了病，并把他們隔離起來(lái)防止傳染.因此，統(tǒng)計(jì)的記錄是每一天或每一星期新排除者的人數(shù)，而不是新得病的人數(shù).所以，為了把數(shù)學(xué)模型所預(yù)示的結(jié)果同疾病的實(shí)際情況進(jìn)行比較，必須解出(3.3.7)的第三個(gè)方程.(3.3.11)因?yàn)榧吹盟源?3.3.11)得(3.3.12)方程(3.3.12)雖是可分離變量的，但是不能用顯式求解.如果傳染病不嚴(yán)重，則是小量，取泰勒級(jí)數(shù)的前三項(xiàng)，近似得其解為其中，因此(3.3.13)方程（3.3.13）在平面上定義了一條對(duì)稱鐘形曲線，稱為疾病傳染曲線.如圖3.6.疾病傳染曲線很好的說(shuō)明了實(shí)際發(fā)生的傳

23、染病.每天報(bào)告的新病案的數(shù)目逐漸上升到峰值，然后又減少下來(lái).Kermack和Mekendrick把(3.3.13)得到的的值與取自1905年下半年至1906年上半年在孟買發(fā)生的瘟疫資料進(jìn)行比較，模型值與實(shí)際值非常接近.這說(shuō)明模型III是很好的.3.4Lanchester作戰(zhàn)模型問(wèn)題：兩軍對(duì)壘，現(xiàn)甲軍有個(gè)士兵，乙軍有個(gè)士兵，試計(jì)算戰(zhàn)斗過(guò)程中雙方的死亡情況以及最后的勝負(fù)狀況.這個(gè)問(wèn)題提得很模糊.因?yàn)閼?zhàn)爭(zhēng)是一個(gè)很復(fù)雜的問(wèn)題.涉及因素很多，如兵員的多少，武器的先進(jìn)與落后，兩軍所處地理位置的有利與不利，士氣的高低，指揮員的指揮藝術(shù)，后勤供應(yīng)狀況，氣候條件等諸多因素.因此，如果把戰(zhàn)爭(zhēng)所涉及到的所有因素都考

24、慮進(jìn)去，這樣的模型是難以建立的.但是對(duì)于一個(gè)通常情況下的局部戰(zhàn)爭(zhēng)，在合理的假設(shè)下建立一個(gè)作戰(zhàn)數(shù)學(xué)模型，讀者將會(huì)看到得出的結(jié)論是具有普遍意義的.在第一次世界大戰(zhàn)期間，Lanchester(蘭徹斯特)投身于作戰(zhàn)模型的研究，他建立了一些可以從中得出交戰(zhàn)結(jié)果的數(shù)學(xué)模型.并得到了一個(gè)很重要的“蘭徹斯特平方定理”：作戰(zhàn)部隊(duì)的實(shí)力同投入戰(zhàn)斗的戰(zhàn)士人數(shù)的平方成正比.對(duì)于一次局部戰(zhàn)爭(zhēng)，有些因素可以不考慮，如氣候，后勤供應(yīng)，士氣的高低，而有些因素我們把雙方看成是相同的，如武器配備、指揮藝術(shù).還可簡(jiǎn)單地認(rèn)為兩軍的戰(zhàn)斗力完全取決于兩軍的士兵人數(shù).兩軍士兵都處于對(duì)方火力范圍內(nèi).由于戰(zhàn)斗緊迫、短暫，也不考慮支援部隊(duì).根據(jù)

25、問(wèn)題的不同，Lanchester將戰(zhàn)爭(zhēng)分成三種：正規(guī)戰(zhàn)、游擊戰(zhàn)和混合戰(zhàn).正規(guī)戰(zhàn)是指戰(zhàn)斗雙方都處于對(duì)方的視野中，沒(méi)有掩護(hù).游擊戰(zhàn)是指戰(zhàn)斗雙方都處于各自的掩體內(nèi)不被對(duì)方看見(jiàn)，作戰(zhàn)射擊目標(biāo)是一個(gè)范圍而不是單個(gè)個(gè)人.混合戰(zhàn)是指戰(zhàn)斗雙方其中一方處于自己的掩體內(nèi)而另一方處于對(duì)方的視野中，即一方是游擊戰(zhàn)而另一方是正規(guī)戰(zhàn).正規(guī)戰(zhàn)模型令表時(shí)刻甲軍人數(shù)，表時(shí)刻乙軍人數(shù).在以上假設(shè)下，顯然甲軍人數(shù)的減員人數(shù)成正比，同樣乙軍人數(shù)的減員率與甲軍人數(shù)成正比，可得正規(guī)部隊(duì)的作戰(zhàn)模型為：(3.4.1)其中，均為常數(shù)，(3.4.1)式中兩式作比值，可積分得(3.4.2)這就是“蘭徹斯特平方定理”，(3.4.2)式在平面上是一族

26、雙曲線.如圖3.7所示，雙曲線上箭頭所指方向表示戰(zhàn)斗力隨著時(shí)間而變化的方向.圖3.7中，.是一條過(guò)原點(diǎn)的直線，它將平面分成兩部分：（直線上方的部分）和（直線下方的部分）.由圖3.7知，當(dāng)時(shí)，曲線與軸有一個(gè)交點(diǎn).此時(shí)，因?yàn)榧撞筷?duì)的士兵人數(shù)先減少為，因此，乙部隊(duì)獲勝.從(3.4.2)式我們知道，乙方要獲勝，就要使不等式成立.可采用兩種方式：（1）增大，即配備更先進(jìn)的武器.（2）增加最初投入戰(zhàn)斗的人數(shù).但是，值得注意的是：在上式中增大兩倍，結(jié)果也增大兩倍.但增大兩倍則會(huì)使增大四倍.這正是兩軍擺開(kāi)戰(zhàn)場(chǎng)作正規(guī)戰(zhàn)時(shí)蘭徹斯特平方定理的意義，說(shuō)明兵力增加，戰(zhàn)斗力將大大增加.下面考慮一個(gè)具體的數(shù)值例子.設(shè)甲軍有

27、人，乙軍有人，兩軍裝備性能相同，即令，于是(3.4.2)為或因?yàn)閼?zhàn)斗結(jié)束時(shí)一方人數(shù)為.顯然，甲軍獲勝.最后，乙軍被消滅即，從而由解得.這說(shuō)明甲方戰(zhàn)斗死亡13人，剩余87人，乙方50人全部戰(zhàn)斗死亡.另外，如果考慮兩軍作戰(zhàn)時(shí)有增援.令和分別表示甲軍和乙軍時(shí)刻的增援率.所謂增援率，就是增援戰(zhàn)士投入戰(zhàn)斗或戰(zhàn)士撤離戰(zhàn)斗的速率.即時(shí)刻單位時(shí)間增援的戰(zhàn)士人數(shù).此時(shí)正規(guī)戰(zhàn)對(duì)正規(guī)戰(zhàn)的作戰(zhàn)模型為：(3.4.3)混合戰(zhàn)模型如果甲軍是游擊戰(zhàn)，乙軍是正規(guī)戰(zhàn).由于游擊戰(zhàn)對(duì)當(dāng)?shù)氐牡匦伪容^熟悉，常常處于不易被對(duì)方發(fā)現(xiàn)的有利地形.設(shè)游擊部隊(duì)占據(jù)區(qū)域，由于乙軍看不清楚甲軍，只好向區(qū)域射擊，但并不知道殺傷情況.我們認(rèn)為如下的假設(shè)是

28、合理的：游擊部隊(duì)的戰(zhàn)斗減員率與自己部隊(duì)人數(shù)成正比.因?yàn)樵酱螅繕?biāo)越大，被敵方子彈命中的可能性就越大.另一方面，游擊部隊(duì)的戰(zhàn)斗減員率還應(yīng)當(dāng)與對(duì)方部隊(duì)人數(shù)成正比.因?yàn)樵酱?，火力越?qiáng)，的傷亡人數(shù)也就越大.因此游擊部隊(duì)的戰(zhàn)斗減員率等于，常數(shù)稱為敵方的戰(zhàn)斗有效系數(shù).如果和分別為游擊隊(duì)和正規(guī)部隊(duì)增援率，則游擊隊(duì)和正規(guī)部隊(duì)的作戰(zhàn)模型為(3.4.4)若無(wú)增援和，則(3.4.4)式為(3.4.5)(3.4.5)式中兩個(gè)方程相比，積分得(3.4.6)(3.4.6)式在平面上定義了一族拋物線，如圖3.8所示.如果，則正規(guī)部隊(duì)勝.因?yàn)楫?dāng)減小到，部隊(duì)已經(jīng)被消滅.同樣，如，則游擊隊(duì)勝.游擊戰(zhàn)模型甲乙雙方都是游擊部隊(duì)，因而

29、雙方都隱藏在對(duì)方不易發(fā)現(xiàn)的區(qū)域內(nèi)活動(dòng).由混合戰(zhàn)部分的分析，得游擊戰(zhàn)數(shù)學(xué)模型(3.4.7)其中和分別為甲軍和乙軍的增援率，分別為乙軍和甲軍的戰(zhàn)斗有效系數(shù).如果甲乙雙方的增援率均為零，則游擊戰(zhàn)模型(3.4.7)變?yōu)?3.4.8)(3.4.8)式中兩個(gè)方程相比，積分得(3.4.9)(3.4.9)式在平面上定義了一族直線，可通過(guò)修改圖3.7或圖3.8的程序來(lái)在計(jì)算機(jī)上輸出這一族直線的圖像.如圖3.9，當(dāng)時(shí)，它是這族直線中過(guò)原點(diǎn)的一條.此時(shí)甲乙雙方戰(zhàn)平（因?yàn)殡p方人數(shù)都減少為零），條件為；當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)乙方勝（因?yàn)榧追饺藬?shù)減少至零時(shí)，乙方還有士兵人數(shù)為）.最后，當(dāng)時(shí)，即，甲方勝（因?yàn)橐曳饺藬?shù)減少至零時(shí)，甲

30、方還有人數(shù)為）.圖3.9中，.幾點(diǎn)說(shuō)明：（1）在模型（3.4.3）中，如果已知，則可用顯式求解.但對(duì)于模型(3.4.4)和模型(3.4.7)，因?yàn)榉匠探M是非線性的，求解困難.一般用計(jì)算機(jī)求近似解.（2）事前確定戰(zhàn)斗有效系數(shù)的數(shù)值通常是不可能的.但是對(duì)已有的戰(zhàn)役資料來(lái)確定它們的適當(dāng)值，那么對(duì)于其它類似于同條件下的戰(zhàn)斗，這些系數(shù)就可認(rèn)為是已知的了.因此，在以上意義下，Lanchester作戰(zhàn)模型具有普遍意義.JHEngel將第二次世界大戰(zhàn)時(shí)美國(guó)和日本為爭(zhēng)奪硫黃島所進(jìn)行的戰(zhàn)斗資料進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)與Lanchester作戰(zhàn)模型非常吻合，這就說(shuō)明了Lanchester作戰(zhàn)模型是能夠用來(lái)描述實(shí)際戰(zhàn)爭(zhēng)的.3.

31、5新產(chǎn)品的推銷與廣告3.5.1新產(chǎn)品推銷模型一種新產(chǎn)品問(wèn)世，經(jīng)營(yíng)者自然要關(guān)心產(chǎn)品的賣出情況.下面我們根據(jù)兩種不同的假設(shè)建立兩種推銷速度的模型.模型A假設(shè)產(chǎn)品是以自然推銷的方式賣出，換句話說(shuō)，被賣出去的產(chǎn)品實(shí)際上起著宣傳的作用，吸引著未購(gòu)買的消費(fèi)者.設(shè)時(shí)刻賣出去的產(chǎn)品數(shù)目為，再假設(shè)每一產(chǎn)品在單位時(shí)間內(nèi)平均吸引個(gè)顧客，則滿足微分方程(3.5.1)設(shè)初始條件為(3.5.2)易得上述微分方程的解為(3.5.3)此即著名的Malthus模型，下面我們針對(duì)模型結(jié)果(3.5.3)進(jìn)行一下分析和驗(yàn)證.（1）經(jīng)過(guò)與實(shí)際情況的比較，發(fā)現(xiàn)(3.5.3)式的結(jié)果與真實(shí)銷售量在初始階段的增長(zhǎng)情況比較吻合.（2）在產(chǎn)品賣

32、出之初，時(shí)顯然，這時(shí)由(3.5.3)易得，這一結(jié)果自然與事實(shí)不符.產(chǎn)生這一錯(cuò)誤結(jié)果的原因在于我們假設(shè)產(chǎn)品是自然推銷的，然而在最初產(chǎn)品還未賣出之時(shí)，按照自然推銷的方式，便不可能進(jìn)行任何推銷.事實(shí)上，廠家在產(chǎn)品銷售之初，往往是通過(guò)廣告、宣傳等各種方式來(lái)推銷其產(chǎn)品的.（3）令，從(3.5.3)式易得到，若針對(duì)某種耐用品來(lái)講，這顯然與事實(shí)不符.事實(shí)上，往往是有上界的.針對(duì)模型的上述（2）和（3）的欠缺，我們用下面的模型來(lái)改進(jìn).模型設(shè)需求量的上界為，假設(shè)經(jīng)營(yíng)者可通過(guò)其它方式推銷產(chǎn)品，這樣，產(chǎn)品的增長(zhǎng)也與尚未購(gòu)買產(chǎn)品的顧客有關(guān)，故比例系數(shù)仍記為，則滿足(3.5.4)再加上初始條件(3.5.5)利用分離變量方法易求得上述微分方程的解(3.5.6)此即Logistic模型.當(dāng)時(shí)若，則易從(3.5.6)式得到.另外，在(3.5.6)式中，令，易得到（見(jiàn)圖3.10）.這樣，從根本上解決了模型的不足.由式(3.5.4)式易看出，即是關(guān)于時(shí)刻的單調(diào)增加函數(shù)，實(shí)際情況自然如此，產(chǎn)品的賣出量不可能越賣越少.另外，對(duì)(3.5.4)式兩端求導(dǎo)，得故令，得到.如