第3章數(shù)列與級數(shù)最終版

1、第3章數(shù)列與級數(shù)這章的標(biāo)題說明，這里要初步地討論復(fù)數(shù)的序列和級數(shù)然而關(guān)于收斂性的基本事實(shí)，即使在更一般的情況下闡述，也同樣地容易所以前三節(jié)就在歐幾里得空間，甚至在度量空間里講了收斂序列3.1定義度量空間中的序列叫做收斂的，如果有一個有下述性質(zhì)的點(diǎn)：對于每個，有個正整數(shù)，使的時，（這里表示中的距離）這時候，我們也說收斂于，或者說是的極限參看定理32(b)，并且寫作，或如果不收斂，便說它發(fā)散這“收斂序列”的定義不僅依賴于，而且依賴于，指明這一點(diǎn)很有好處;例如，序列在里收斂（于0），而在一切正實(shí)數(shù)的集里（取）不收斂在可能發(fā)生懷疑的時候，我們寧愿明確而詳細(xì)地說“在X中收斂”而不說“收斂”我們記得，一切

2、點(diǎn)的集是的值域，序列的值域可以是有限的，也可以是無限的如果它的值域是有界的，就說序列是有界的作為例題，我們來審辨一下下邊的復(fù)數(shù)序列（即）(a)如果，那么;值域是無限的，但是序列是有界的(b)如果，那么序列無界，發(fā)散，而值域是無限的(c)如果，那么序列收斂于1，有界而且值域是無限的(d)如果，那么序列發(fā)散，有界，而值域是有限的(e)如果（n=1，2，3，）那么收斂于1，有界而且值域是有限的現(xiàn)在，把度量空間中收斂序列的一些重要性質(zhì)匯集起來3.2定理設(shè)是度量空間中的序列(a)收斂于，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)的每個鄰域，能包含的，除有限項(xiàng)以外的一切項(xiàng)(b)如果，收斂于又收斂于，那么(c)如果收斂，必有界(d)如果，

3、而是的極限點(diǎn)，那么在中有一個序列，使得(a) 證 假定，并設(shè)是點(diǎn)的鄰域，對于某個，條件，意味著對應(yīng)于這個，存在著時有所以就得出 反過來，假定點(diǎn)的每個鄰域，除有限個點(diǎn)外，包含一切點(diǎn)固定，并設(shè)是滿足的的集根據(jù)假定，(對應(yīng)于這個鄰域)存在一個，使得時，所以時，;這就是說(b)設(shè)已給定，那么存在正整數(shù)，使當(dāng)有，有因此，如果，就有由于數(shù)是任意的，可以斷定(c)假定那么存在著正整數(shù)，使得當(dāng)有令，那么，當(dāng)時，(d)對于每個正整數(shù)，有點(diǎn)，使給定了，選取，使得，就得因此證畢對于中的序列，我們可以研究收斂性與代數(shù)運(yùn)算之間的關(guān)系首先考慮復(fù)數(shù)序列3.3定理 假定是復(fù)數(shù)序列，而且，那么(a);(b)對于任何數(shù)，;(c)

4、;(d)只要且，就有證(a)給定了>0，存在著正整數(shù)使得時，時，如果，那么時，便有這就證明了(a)至于(b)的證明則很容易(c)我們用恒等式(1)給定了，存在著正整數(shù)，使得時，時，如果取，那么時就有由此現(xiàn)把(a)和(b)用于恒等式(1)，就可以判定(d)選一個，使當(dāng)時，就知道給定了，就存在正整數(shù)，使得時因此，當(dāng)時，3.4定理(a)假定而那么序列收斂于（，當(dāng)且僅當(dāng)(2)(b)假定，是中的序列，是實(shí)數(shù)序列，并且，那么，證(a)如果，那么，從中范數(shù)的定義馬上可以推得不等式，這說明等式(2)成立反之，如果(2)成立，對應(yīng)于每個，有一個正整數(shù)，使得時，（）因此，時，所以這就證明了(a)(a)可以由

5、(a)和定理3.3推出來子序列3.5定義設(shè)有序列，取正整數(shù)序列，使，那么序列收斂，就把它的極限叫做的部分極限顯然，序列收斂于，當(dāng)且僅當(dāng)它的任何子序列，收斂到中的某個點(diǎn)(b)中的每個有界序列含有收斂的子序列證(a)設(shè)是的值域如果有限，那么必有及序列（）使得：顯然，這樣得到的子序列收斂于如果是無限的，定理2.37說明的極限點(diǎn)選取使得選定以后，據(jù)定理2.20知道一定有正整數(shù)，使得于是子序列收斂于(a)這由(a)即可得到因?yàn)槎ɡ?.41說明的每個有界子集必含于的一個緊子集中3.7 定理度量空間里的序列的部分極限組成X的閉子集證 設(shè)是的所有部分極限組成的集，是的極限點(diǎn)現(xiàn)在需要證明q選，使（如果沒有這樣的

6、，那么只有一個點(diǎn)，那就沒有什么要證的了）令假設(shè)已經(jīng)選好了，因?yàn)槭堑臉O限點(diǎn)，必有，使因，必有，使得于是對于這就是說收斂于因此Cauchy序列3.8 定義 度量空間中的序列叫做cauchy序列，如果對于任何存在著正整數(shù)，只要和便有在Cauchy序列的討論中，以及在今后出現(xiàn)的其他情況下，下述幾何概念是有用的3.9 定義設(shè)是度量空間的子集，又設(shè)是一切形式為的實(shí)數(shù)的集，這里，數(shù)叫做的直徑，記作如果是中的序列，而由點(diǎn)，組成那么，從上邊的兩個定義來看，顯然可以說：是Cauchy序列，當(dāng)且僅當(dāng)3.10定理(a)如果是度量空間中的集，是的閉包，那么(b)如果是中的緊集的序列，并且，又若，那么由一個點(diǎn)組成證(a)

7、因?yàn)?，顯然固定了，再取，根據(jù)的定義，必然在E中有兩點(diǎn)，使得，因此f可見，又因?yàn)槭侨我獾?，所?a)被證明了(b)令根據(jù)定理2.36，不空如果不只包含一個點(diǎn)，那就得然而對于每個，有，從而這與假設(shè)條件矛盾3.11定理(a)在度量空間中，收斂序列Cauchy序列(b)如果是緊度量空間，并且如果是中的Cauchy序列，那么收斂于的某個點(diǎn)(c)在中，每個Cauchy序列收斂注：收斂的定義與Cauchy序列定義之間的差別是，前者明顯的含有極限，而后者不然于是定理3.11(b)可以使我們斷定已知序列是否收斂，而不需知道它要收斂的極限定理3.1中的第三條即是中的序列收斂，當(dāng)且僅當(dāng)它是Cauchy序列;時常叫做

8、判斷收斂的Cauchy準(zhǔn)則證(a)若且，便有正整數(shù)，保證只要，便有因此，只要而且于是是Cauchy序列(b)設(shè)是緊空間中的Cauchy序列，對于，令是由點(diǎn)，組成的集那么，按定義3.9及定理3.10(a)，(3)每個既是緊空間的閉子集，因而必是緊集（定理2.35）又因?yàn)?，所以根?jù)定理3.10(b)，在中有唯一的在每個中設(shè)給定了據(jù)(3)，有整數(shù)，凡當(dāng)?shù)臅r候，就有<由于，所以對每個q，當(dāng)然對每個也有換句話說，只要，就這正是說(c)設(shè)是中的Cauchy序列像在(b)中那樣定義，但要把換成有某個，的值域是與有限集的并所以有界因的每個有界子集在中有緊閉包（定理2.41），由(b)即得(c)3.12定

9、義 如果度量空間X中的每個Cauchy序列在X中收斂，就說它是完備的因此，定理3.11是說，所有緊度量空間及所有歐式空間是完備的定理311還說明，完備度量空間的閉子集是完備的（中每個Cauchy序列是中的Cauchy序列，因此它收斂于某，但因是閉集，所以實(shí)際）以為距離，一切有理數(shù)組成的空間是不完備度量空間的一個例子定理3.2(c)及定義3.1的例(d)說明，收斂序列是有界的但中的有界序列不一定收斂然而，還有收斂性就等價于有界性這樣一種重要情況;對于中的單調(diào)序列就是這樣3.13 定義實(shí)數(shù)序列叫做（a） 單調(diào)遞增的，如果;（b） 單調(diào)遞減的，如果單調(diào)遞增和單調(diào)遞減序列，組成單調(diào)序列類3.14定理單

10、調(diào)序列收斂，當(dāng)且僅當(dāng)它是有界的證 假定（另一種情形的證明和這類似）設(shè)是的值域，如果有界，設(shè)是的最小上界，那么對于每個，一定有一個正整數(shù)N，使，如果不然的話，將要是的上界了因?yàn)檫f增，所以時有這說明收斂（于）逆命題可以從定理3.2(c)推出來上極限和下極限3.15 定義設(shè)是有下列性質(zhì)的實(shí)數(shù)序列：對于任意的實(shí)數(shù)，有一個正整數(shù)，而時有，我們便把這寫作類似地，如果對于任意的實(shí)數(shù)，有一個正整數(shù)N，而時有，我們便把這寫作應(yīng)當(dāng)注意，我們現(xiàn)在對某些類型的發(fā)散序列也像對收斂序列一樣地使用了在定義3.1中引進(jìn)的符號，但是，在定義3.1中講的收斂和極限的定義毫不改變3.16 定義 設(shè)是實(shí)數(shù)序列E是所有可能的子序列的極

11、限（在擴(kuò)大了的實(shí)數(shù)系里，）組成的集E含有定義3.5所規(guī)定的部分極限，可能還有，兩數(shù)回想一下定義1.8和1.23，令，和兩數(shù)叫做序列的上極限和下極限采用的記號是，3.17 定理 設(shè)是實(shí)數(shù)序列，設(shè)和的意義和定義316中說的一樣，那么有以下兩種性質(zhì)：(a)(b)如果，那么就有正整數(shù)，能使時有此外，是唯一具有性質(zhì)(a)和(b)的數(shù)當(dāng)然，對于，與此類似的結(jié)論也正確證(a)如果，那么不是有上界;因此不是有上界，因而有子序列合于如果是實(shí)數(shù)，那么上有界，從而至少有一個部分極限因此，(a)可以從定理3.7和2.28推出來如果，那么只包含一個元素，就是，從而沒有部分極限就是說，對于任意實(shí)數(shù)，只有有限個的值，使得于

12、是這就在所有情形下證明了(a)(b)假定有一個數(shù)，而且有無限多個的值使得那時，則有一個數(shù)，使這與的定義矛盾所以滿足條件(a)和(b)為了證明惟一性，我們假定有兩個數(shù)和都滿足條件(a)和(b)，并且假定取要它適合因?yàn)闈M足(b)，那么當(dāng)時有但是，如果真這樣的話，就不能滿足(a)了3.18 例(a)設(shè)是包含一切有理數(shù)的序列那么，每個實(shí)數(shù)是部分極限，而且，(b)設(shè)，則(c)對于實(shí)數(shù)序列，當(dāng)且僅當(dāng)我們用一個有用的定理來結(jié)束這一節(jié)，它的證明十分容易3.19定理 如果是固定的正整數(shù)，當(dāng)時，那么，一些特殊序列現(xiàn)在，我們來計(jì)算一些常見序列的極限各個證明都是根據(jù)下述事實(shí)：如果N是某個固定的正整數(shù)，當(dāng)時，而且，那么

13、3.20 定理(a)時 (b)時 (c)(d)，而是實(shí)數(shù)時(e)時 證(a)?。ㄗ⒁?，這里用到實(shí)數(shù)的阿基米德性）(b)如果，令，那么，再根據(jù)二項(xiàng)式定理，于是所以如果，(b)是顯然的;如果，取倒數(shù)就可以得到結(jié)論(c)令那么，再根據(jù)二項(xiàng)式定理，從而(d)設(shè)是一個正整數(shù)，當(dāng)時，從而因?yàn)?，?a)知道(e)在(d)中取級數(shù)在這章的后部，如果沒有相反的說明，所考慮的一切序列和級數(shù)都是復(fù)數(shù)值的下面有幾條定理可以推廣到以里的元素為項(xiàng)的級數(shù)習(xí)題15提到了它們3.21 定義 設(shè)有序列，我們用表示和聯(lián)系著，作成序列，其中我們也用作為的符號表達(dá)式，或者簡單地記作(4)記號(4)叫做無窮級數(shù)，或只說級數(shù)，叫做這級數(shù)的

14、部分和如果收斂于，我們就說級數(shù)收斂，并且記作叫做這級數(shù)的和;但是必須清楚地理解，是（部分）和的序列的極限，而不是單用加法得到的如果發(fā)散，就說級數(shù)發(fā)散有時為了符號上的方便，我們也考慮形式像(5)的級數(shù)如果不致于引起誤解，或者(4)與(5)的區(qū)別無關(guān)緊要時，也常常只寫來代替它們顯然，關(guān)于序列的沒一個定定理都能按級數(shù)的語言來敘述（令，當(dāng)時，令）反過來也是如此雖然如此，一并考慮這兩個概念還是有益處的Cauchy準(zhǔn)則（定理3.11）可以按以下形式重新敘述：3.22 定理收斂，當(dāng)且僅當(dāng)，對于任意的，存在著整數(shù)，使得時(6)特別地，當(dāng)時，(6)變作換句話說：3.23 定理 如果收斂，那么但是條件不能保證收斂

15、例如，級數(shù)發(fā)散;至于證明，見定理3.28對于單調(diào)序列的定理3.14，在級數(shù)方面也有相應(yīng)的定理3.24 定理 各項(xiàng)不是負(fù)數(shù)的級數(shù)收斂，當(dāng)且僅當(dāng)它的部分和構(gòu)成有界數(shù)列現(xiàn)在來講另一種性質(zhì)的收斂檢驗(yàn)法，即是所謂“比較驗(yàn)斂法”3.25 定理(a)如果是某個固定的正整數(shù)，當(dāng)時而且收斂，那么級數(shù)也收斂(b)如果當(dāng)時而且發(fā)散，那么也發(fā)散注意，檢驗(yàn)法(b)只能用于各項(xiàng)都不是負(fù)數(shù)的級數(shù)證 根據(jù)Cauchy準(zhǔn)則，給定了，存在著，能使時成立所以隨之也就得到(a)其次，(b)可以由(a)推出來，因?yàn)椋绻諗?，那么也?yīng)當(dāng)收斂（注意，(b)也可以由定理3.24推出來）比較驗(yàn)斂法師非常有用的一個方法;為了有效地應(yīng)用它，我們

16、必需熟悉許多已知其收斂或發(fā)散的非負(fù)項(xiàng)級數(shù)非負(fù)項(xiàng)級數(shù)在一切級數(shù)之中，最簡單的大約是幾何級數(shù)了3.26 定理 如果，那么如果，這級數(shù)就發(fā)散證 如果，令，就得出定理的結(jié)論當(dāng)時，得到，它顯然是發(fā)散的應(yīng)用中出現(xiàn)的許多情況是，級數(shù)的各項(xiàng)單調(diào)遞減于此，下邊的Cauchy定理特別有價值定理的明顯的特點(diǎn)是由的一個相當(dāng)“稀”的子序列，可以判斷的收斂或發(fā)散3.27 定理 假定，那么，級數(shù)收斂，當(dāng)且僅當(dāng)級數(shù)(7)收斂證 根據(jù)定理3.24，現(xiàn)在只考慮兩者的部分和是否有界就行了設(shè)，當(dāng)時，因此，(8)另一方面，當(dāng)時，因此，(9)由(8)和(9)來看，序列和，或者同時有界，或者同時無界證畢3.28 定理 如果，就收斂，如果，

17、它就發(fā)散證 如果，發(fā)散性可由定理3.23得出如果，用定理3.27，這就要看級數(shù)然而，當(dāng)且僅當(dāng)時才能夠，再與幾何級數(shù)比較一下，（在定理3.26中?。┚桶讯ɡ硗瞥鰜砹宋覀冞M(jìn)一步用定理3.27來證明：3.29 定理 如果(10)就收斂;如果，這級數(shù)就發(fā)散評注 “”表示數(shù)以為底的對數(shù)（參看第1章習(xí)題9）;這個數(shù)馬上就要定義（參看定義3.30）讓級數(shù)從開始，是因?yàn)樽C 對數(shù)函數(shù)（第8章將要詳細(xì)的討論它）的單調(diào)性說明是遞增的，所以是遞減的從而可以把定理3.27用于(10);這就要看，(11)于是，定理3.29就從定理3.28推出來了這種（構(gòu)造級數(shù)的）方法，顯然可以繼續(xù)進(jìn)行例如(12)發(fā)散，然而級數(shù)(13)收

18、斂級數(shù)(12)的各項(xiàng)與(13)的各項(xiàng)差得很少但是一個發(fā)散而另一個卻收斂從定理3.28到定理3.29，然后到(12)和(13)這樣的過程，如果繼續(xù)下去，我們將得到一對一的收斂和發(fā)散的級數(shù)，它們的對應(yīng)項(xiàng)之差比(12)和(13)的更要小可能有人因此猜想，應(yīng)該有一種終極的境界，搞到一個“界限”，它把一切收斂級數(shù)和一切發(fā)散級數(shù)分在兩旁-最低限度哪怕是只考慮單調(diào)系數(shù)的級數(shù)也好“界限”這個觀念十分模糊我們所希望做出的論點(diǎn)是：不論把觀念搞得怎樣確切，這猜想還是不正確的習(xí)題11(b)和12(b)可以作為例證在收斂理論的這一方面，我們不想在深入下去于此指給讀者去看著的“Theory and Application of Infinite Series”第章，尤其是§41數(shù)3.30 定義這里時，;而因，所以級數(shù)收斂，而定義有意義實(shí)際上，這級數(shù)收斂的很快，從而使我們能夠把e計(jì)算的十分精密e還可以按另一極限過程來定義，它的證明對于極限的運(yùn)算提供了一個很好的說明注意到這一點(diǎn)是有益的3.31 定理證 設(shè)，根據(jù)二項(xiàng)式定理因