球的內(nèi)接外切

1、長方體的體對(duì)角線與棱長的關(guān)系長方體與球CBADO1長方體的外接球。截面圖如右圖：實(shí)質(zhì)構(gòu)造直角三角形，聯(lián)系半徑與長方體的長寬高。半徑為體對(duì)角線的一半。2.球與正方體內(nèi)接，外切，棱切問題； 正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為（ ）A 1： B 1：3 C 1：3 D 1：93正三棱柱的內(nèi)切求，外接球圖6例題：已知底面邊長為正三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)在球上，又知球與此正三棱柱的5個(gè)面都相切，求球與球的體積之比與表面積之比。分析：先畫出過球心的截面圖，再來探求半徑之間的關(guān)系。解：如圖6，由題意得兩球心、是重合的，過正三棱柱的一條側(cè)棱和它們的球心作截面，設(shè)正三棱柱底面邊長為，則，正三棱柱的高為，由中，得，棱錐

2、的內(nèi)切、外接球問題圖1例.正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑是多少？ 內(nèi)切球半徑為： 外接球半徑為： 分析：運(yùn)用正四面體的二心合一性質(zhì)，作出截面圖，通過點(diǎn)、線、面關(guān)系解之。解：如圖1所示，設(shè)點(diǎn)是內(nèi)切球的球心，正四面體棱長為由圖形的對(duì)稱性知，點(diǎn)也是外接球的球心設(shè)內(nèi)切球半徑為，外接球半徑為正四面體的表面積正四面體的體積， 在中，即，得，得【點(diǎn)評(píng)】由于正四面體本身的對(duì)稱性可知，內(nèi)切球和外接球的兩個(gè)球心是重合的，為正四面體高的四等分點(diǎn)，即內(nèi)切球的半徑為 ( 為正四面體的高)，且外接球的半徑，從而可以通過截面圖中建立棱長與半徑之間的關(guān)系。割補(bǔ)法補(bǔ)型還原法（1）將正四面體補(bǔ)成正方體。（2）將相對(duì)棱長相等的三棱

3、錐補(bǔ)成長方體。 （3）將三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐補(bǔ)成長方體或正方體，如圖所示，。例 ：已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩垂直，且長度分別為3,4,5.求該三棱錐外接球的體積。解：將三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩垂直三棱錐P-ABC補(bǔ)成一個(gè)長方體，（如上圖所示），則兩兩垂直的三條側(cè)棱就是長方體的長、寬、高，所以該長方體的體對(duì)角線就是三棱錐的外接球的直徑。 設(shè)三棱錐外接球的直徑為2R，則 所以球的體積。分割法 對(duì)于給出的一個(gè)不規(guī)則的幾何體，不能直接套用公式,常常需要運(yùn)用分割法,按照結(jié)論的要求，將原幾何體分割成若干個(gè)可求體積的幾何體，然后再求和例2：如圖4，已知直三棱柱的體積為V，點(diǎn)、

4、分別是側(cè)棱上的點(diǎn)，且，求四棱錐的體積。 分析：由于所求四棱柱的高及底面APQC的面積都不易求得，因此考慮將四棱錐B-APQC分割后求解。解：如圖4，連接PC，將四棱錐B-APQC分割成兩個(gè)三棱錐B-APC和B-PCQ，因此連接AQ，因?yàn)樗匀忮FB-PCQ的體積。又所以。等積變換法 等積變換法也稱等積變形法或等積轉(zhuǎn)化法，它是通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法。求三棱錐的體積時(shí)可采用此方法。例：如圖1所示，在邊長為的正方體中，分別是棱上的點(diǎn)，且滿足，試求三棱錐的體積習(xí)題例題：1。正方體的全面積是24，它的頂點(diǎn)都在同一球面上，這個(gè)球的表面積是 解析：顯然，球是正方體的外接球，a=2，則R=

5、，S=12。2一個(gè)球與棱長為1 的正方體的12條棱都相切，則球的體積 解析：如果明確了上面的結(jié)論，問題很容易解決。R=1=V=3將棱長為1 的正方體削成體積最大的球，則球的體積為 解析：削成體積最大，即要求球是正方體的內(nèi)切球，與正方體的俄各面都相切。R=，V=。4P、A、B、C、是球O面上的四個(gè)點(diǎn)，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=1，則球的體積是 解析：同過條件分析，可采用把三棱錐補(bǔ)形成正方體，則球是正方體的外接球，所以R=，V=。.5是一個(gè)正方體，H、G、F分別是棱AB、AD、AA1的中點(diǎn).現(xiàn)在沿GFH所在平面鋸掉正方體的一個(gè)角，問鋸掉部分的體積是原正方體體積的幾分之幾?分析：

6、因?yàn)殇彽舻氖钦襟w的一個(gè)角，所以HA與AG、AF都垂直，即HA垂直于立方體的上底面，實(shí)際上鋸掉的這個(gè)角，是以三角形AGF為底面，H為頂點(diǎn)的一個(gè)三棱錐.解：設(shè)正方體的棱長為a，則正方體的體積為a3.三棱錐的底面是RtAGF，即FAG為90，G、F又分別為AD、AA1的中點(diǎn)，所以AF=AG=.所以AGF的面積為.又因AH是三棱錐的高，H又是AB的中點(diǎn)，所以AH=.所以鋸掉的部分的體積為.又因,所以鋸掉的那塊的體積是原正方體體積的.6.若與球心距離為4的平面截球所得的截面圓的面積是9，則球的表面積是_.分析：畫出球的軸截面，則球心與截面圓心的連線、截面的半徑、球的半徑構(gòu)成直角三角形，又由題意得截面圓的半徑是3