圓錐曲線(題型完美版)

1、高中數(shù)學(xué)選修2-1資料第一章圓錐曲線第一節(jié)橢圓i 橢圓的定義(1) 定義：平面內(nèi)與兩個定點Fi, F2的距離的和等于常數(shù)2a(2 a|FiF2|)的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的 ，兩焦點間的距離叫做橢圓的 . 另一種定義方式(見人教A版教材選修2- 1 P47例6、P50):平面內(nèi)動點 M到定點F的距離和它到定直線I的距離之比等于常數(shù)e(0 v ev 1)的軌跡叫做橢圓.定點F叫做橢圓的一個焦點，定直線I叫做橢圓的一條準(zhǔn)線，常數(shù)e叫做橢圓的 .2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)焦點在x軸上焦點在y軸上(1)圖形(2)標(biāo)準(zhǔn)方程2 2y x2+72= 1(a>b>0)a b(3)范

2、圍a< x< a, b< y < ba< yw a, b< x< b(4)中心原點O0 , 0)(5)頂點A( a, 0) , A(a, 0)B(0， b) , Ba(0 , b)(6)對稱軸x軸，y軸(7)焦點F1(0， c) , F2(0 , c)(8)焦距2c= 2ja2- b2(9)離心率探(10)準(zhǔn)線2 a x =± c2 a y=±w3.橢圓的焦點三角形橢圓上的點Rxo, yo)與兩焦點構(gòu)成的厶PF1F2叫做焦點三角形. 如圖所示，設(shè)/ FiPR= 0 .(1) 當(dāng)P為短軸端點時，0最大.1 sin 0Q(2) SAPF

3、F2=：| PF| PF| sin0 = b2 = b2tan = c| yo|，當(dāng)| yo|= b,即即P為短軸端點時,2 1 + cos 02SA PFF2取最大值，為be.(3) 焦點三角形的周長為 2( a+ e).(4) 通徑：過焦點的垂直于 x軸(或y軸)的直線與橢圓的兩交點A,B之間的距離。大小為-2。題型一橢圓的定義【例1】(1)平面內(nèi)與兩個定點 F1, F2的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓. 方程 mx+ ny2= 1( m>0, n>0, nr5 n)表示的曲線是橢圓.2 2y x(3)+口= 1(ar b)表示焦點在 y軸上的橢圓.()a b2 2 2 2x

4、 yy x g+ b= 1( a>b>0)與? + 了 = 1( a>b>0)的焦距相同.(【例2】已知方程2 2x y+ = 15 m m+ 3表示橢圓，則m的取值范圍為(A.C.(-3,5)(1,5).(-3,1).(3,1) U (1,5)【變式1 】“3金5”“方程1表示橢圓”的(A.C.充分不必要條件充要條件.必要不充分條件既不充分也不必要條件【變式2方程 一25 m2y一 1表示焦點在y軸上的橢圓，貝U m的取值范圍是16 m【變式2(2017?南開區(qū)模擬)已知橢圓10 m mD . 82y 1長軸在x軸上，若焦距為4，則m等于()2【變式(2013秋？西山

5、區(qū)校級期末)已知橢圓方程為x2+4y2=16,求出其頂點、焦點坐標(biāo)及離心率.題型二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程第一類定義法求軌跡方程2【例1】已知圓A: (x 2)2y 36，圓A內(nèi)一定點B (2, 0)，圓P過B點且與圓A內(nèi)切，求圓心 P的軌跡方程.【例2】設(shè)動圓P與圓M :(x 3)2 y224外切，與N :(x 3)22y 100內(nèi)切,求動圓圓心P的軌跡方. 2 2 .【變式1】已知圓C: (x 3) + y = 100及點 A 3,0) , P是圓C上任意一點，線段PA的垂直平分線I與PC相交于點Q求點Q的軌跡方程.動圓P與圓M外切并且【變式 2 (2013 全國課標(biāo) I )已知圓 M (x+ 1)

6、2+ y2 = 1,圓 N: (x 1)2+ y2 = 9, 與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線 C,則C的方程為.第二類橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例1 已知橢圓經(jīng)過點3J3P (2, 0)和點Q(1,-)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1有相同的焦點，并且經(jīng)過點（3, 2），求此【例2】已知一橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸且與橢圓橢圓的方程3 5【變式1】兩個焦點的坐標(biāo)是（0， 2）、（ 0, 2）,并且橢圓經(jīng)過點（3,-）2 2【變式2】已知橢圓的中心在原點，經(jīng)過點 P （3, 0）且a=3b,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例3】（2016?河?xùn)|區(qū)一模）已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓C的離心率為-,且經(jīng)過點M（1,衛(wèi)）,2 2過點P

7、（2, 1）的直線I與橢圓C相交于不同的兩點 A, B.求橢圓C的方程；【變式3】（2016秋？灌南縣校級期中）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:（1）焦點在x軸上，a=6, e=;3 3（2）焦點在y軸上，c=3, e=【例3】（2016春？伊寧市校級期中）已知橢圓的兩焦點為Fi （0,-1 ）、F2 （0, 1）,直線y=4是橢圓的一條準(zhǔn)線求橢圓方程.【例4】（2016秋？延安期末）在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點 Fi，F(xiàn)2在x軸上, 離心率為上2，過R的直線I交C于A、B兩點，且 ABF2的周長是16,求橢圓C的方程.2【變式4】（2015秋？霍邱縣校級期末）已知橢圓

8、的中心在原點，它在x軸上的一個焦點與短軸兩端點連線互相垂直，且此焦點和 x軸上的較近端點的距離為 4（I 2 -1 ），求橢圓方程.【例5】（2015秋？永年縣期末）已知 F, F2是橢圓的兩個焦點，現(xiàn)有橢圓上一點M到兩焦點的距離之和為20,且|MF1|、IF1F2I、|MF2|成等差數(shù)列，試求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.2 2【變式5】（2016?天津）設(shè)橢圓字v 1（a3）的右焦點為F,右頂點為A,已知1OF1OA3eFA中O為原點，e為橢圓的離心率.求橢圓的方程;（垂直于焦點的弦）最短，通徑為題型三橢圓的焦點三角形性質(zhì)一：過橢圓焦點的所有弦中通徑性質(zhì)二:2 X:已知橢圓方程為pa2 y b21(a

9、b0）,兩焦點分別為F1, F2,設(shè)焦點三角形PF1F2中F1PF22,則 S 12 b tanq.性質(zhì)三:2 x:已知橢圓方程為一2a2 y b21(ab0）,兩焦點分別為F1, F2,設(shè)焦點三角形PF1F2中F1PF22,則 cos1 2e .【例1】2 2若P是橢圓xy1上的一點，10064F1、F2是其焦點，且F1PF260，求F1PF2的面積.【例2】2X已知F1、F2是橢圓飛a2 y b21(ab0）的兩個焦點，橢圓上一點P使FfF?90，求橢a圓離心率e的取值范圍?！咀兪?】已知Fi, F2是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，/ FiPF2= 60° .求橢圓離心率的范圍

10、2 2【變式2】橢圓 厶 1上一點P與橢圓兩個焦點Fi、F2的連線互相垂直，則厶F1PF2的面積為（）4924A.20B. 22C. 28D. 242X2 r【變式3】橢圓y1的左右焦點為F2, P是橢圓上一點，當(dāng)厶FfF2的面積為1時，PF1 PF2的值為（A. 0)B. 1C. 3D. 61. （ 2017?崇明縣一模）如圖，已知橢圓C的中心為原點 O, F （-2、5 , 0）為C的左焦點，P為C上一點,3.已知一橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸且與橢圓 的方程。1有相同的焦點，并且經(jīng)過點（3，-2），求此橢圓滿足|OP|=|OF|且|PF|=4，則橢圓C的方程為（）2A2y- 1B2 x2厶125

11、530102222C .L 1Dx厶1361645252.已知橢圓的焦點是F1(0 ,-1)、F2（0,1） , P是橢圓上一點，并且PF+ PF2 2F1F2，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是2 24.已知P為橢圓話弋1上的一點，&也是兩個焦點，日吧120，求 VF1PF2的面積.2 2Xy我們根據(jù)橢圓 21 (a b 0)來研究橢圓的簡單幾何性質(zhì)abb2代耐0%丿A2片1. 橢圓的范圍橢圓上所有的點都位于直線x=± a和y=± b所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點的坐標(biāo)滿足| x| < a, | y| < b.2. 橢圓的對稱性2X對于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程ab21，把X換成-X

12、，或把y換成-y，或把X、y同時換成-X、-y，方程都不2變，所以橢圓篤a2匸1是以X軸、y軸為對稱軸的軸對稱圖形，且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形,這個對稱中心稱為橢圓的中心3. 橢圓的頂點橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點22x y橢圓r 21 ( a> b>0)與坐標(biāo)軸的四個交點即為橢圓的四個頂點，坐標(biāo)分別為a bAi (-a, 0),A (a, 0), Bi (0, -b), B2 (0, b).線段A1A2, B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸，|AA|=2a , |BiB2|=2b.a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長.4. 橢圓的離心率橢圓的焦距與長軸長度的比叫

13、做橢圓的離心率，用e表示，記作e2c2a因為a>c>0,所以e的取值范圍是0v ev i.e越接近1,則c就越接近a,從而b a2 c2越小,因此橢圓越扁；反之，e越接近于0, c就越接近0，從而b越接近于a,這時橢圓就越接近于圓.當(dāng)且僅當(dāng) a=b時，c=0,這時兩個焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x2+y2=a2.要點詮釋:橢圓2 x 2 a21的圖象中線段的幾何特征(如下圖)：b2MlXKlAikFi0(1)(3)PFiBFiAiFipf2BF2A2F22a,|PFi|PF2| PMi | |PM 2 |e, |PMi|PM2| 至；cOFiof2c, AF2ARA，Babb2 ;

14、PFi5. 橢圓的第二定義、準(zhǔn)線當(dāng)點M與一個定點的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù)橢圓定點是橢圓的焦點，定直線叫做橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)-(0 e 1)時，這個點的軌跡是 ae是橢圓的離心率.的準(zhǔn)線方程是x2告1,相應(yīng)于焦點b2F(c,0)的準(zhǔn)線方程是x2.根據(jù)對稱性，相應(yīng)于焦點F ( c,0)c22.對于橢圓與ca2務(wù) 1的準(zhǔn)線方程是yb2可見橢圓的離心率就是橢圓上一點到焦點的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線距離的比，這就是離心率的幾何意義.由橢圓的第二定義|MF-1 e可得：右焦半徑公式為|MF右| ed e| x | a ex ；左焦半徑公dc2a式為 | MF左 | ed e| x () | a ex

15、.c題型一 橢圓簡單的幾何性質(zhì)2 2【例1】求橢圓£1的長軸長、短軸長、離心率、焦點和頂點坐標(biāo)，并用描點法畫出這個橢圓259【變式1】求橢圓16x2+25y2=400的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標(biāo)【例2】已知橢圓mx2 5y25m m0的離心率為e求m的值.【例3】求橢圓 Z 1的右焦點和右準(zhǔn)線；左焦點和左準(zhǔn)線.2516【變式2】求橢圓9x2 y281方程的準(zhǔn)線方程.題型二橢圓的離心率2 2【例1】（2017?河?xùn)|區(qū)模擬）橢圓厶 1的離心率為 .432 2【變式1】（2017?河北區(qū)模擬）橢圓 1的離心率等于 .2516【例2】（1）已知橢圓的一個焦點將長軸分成長為.,3

16、：2的兩段，求其離心率;（2）已知橢圓的一個焦點到長軸兩端點的距離分別為10和4，求其離心率.【例3】從橢圓短軸的一個端點看長軸兩端點的視角為1200，則此橢圓的離心率【變式1】A.15B.G4D.12橢圓的一個頂點與兩焦點構(gòu)成等邊三角形，則此橢圓的離心率是（2【例4】橢圓篤a【變式2】已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則橢圓的離心率 e2每 1上一點到兩焦點的距離分別為d1、d2，焦距為2c,若d1、2c、d2成等差數(shù)列，則橢圓b的離心率為2 2【例5】已知mn, n+ n成等差數(shù)列，m n, mn成等比數(shù)列，則橢圓 1的離心率為m n【變式3】已知橢圓的焦距、短軸長、長軸長成等差數(shù)列，則橢圓

17、的離心率是.2 2【例6】已知橢圓務(wù) 爲(wèi) 1 ( a>0, b>0)的左焦點為F,右頂點為A,上頂點為B,若BF丄BA,則稱其 a b為“優(yōu)美橢圓”，那么“優(yōu)美橢圓”的離心率為 ?！纠?】在Rt ABC中,A 90 , AB AC 1，如果一個橢圓過 A B兩點，它的一個焦點為 C,另一個焦點在AB上，求這個橢圓的離心率.2_x【變式4】以F1、F2為焦點的橢圓 a2y2 = 1( a bb20 )上一動點P,當(dāng) F1PF2最大時 PF1F2的正切值為2，則此橢圓離心率 e的大小為【變式5】如圖，橢圓中心在坐標(biāo)原點uuu,F為左焦點，當(dāng)FBuuuAB時,其離心率為,此類橢圓被稱為“

18、黃金2橢圓” 類比“黃金橢圓”，可推算出”黃金雙曲線”的離心率e等于【變式6】如圖所示，橢圓中心在原點,F是左焦點，直線AR與BF交于D,且 BDB1 90 ,則橢圓的離心率St1. 平面內(nèi)點與橢圓的位置關(guān)系橢圓將平面分成三部分：橢圓上、橢圓內(nèi)、橢圓外,因此，平面上的點與橢圓的位置關(guān)系有三種，任給一點 M （x, y），若點M (x,y)在橢圓上,則有2y_b21 (a0)；若點M (x,y)在橢圓內(nèi),則有2x2ay2b21 (a0)；若點M (x,y)在橢圓外,則有2 y b21 (a0).2. 直線與橢圓的位置關(guān)系將直線的方程y kx b與橢圓的方程2 x 2 a2 y_ b2(ab 0）

19、聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于元二次方程，其判別式為.厶0直線和橢圓相交直線和橢圓有兩個交點（或兩個公共點）；直線和橢圓相切直線和橢圓有一個切點（或一個公共點）;< 0直線和橢圓相離直線和橢圓無公共點.3. 直線與橢圓的相交弦2x 設(shè)直線y kx b交橢圓a2y1 （a b 0）于點R（X1,yJ，巳區(qū)皿）,兩點，則b2IP1P2I 、.(X1 X2)2 (y1 y2)2(x X2)21 (y1xiX：”E|xiX21同理可得I RP2 |y21 (k 0)這里|xi X21, | yi y21,的求法通常使用韋達定理，需作以下變形:|Xi X2 |(Xi X2)2 4XiX2| yi y

20、21 , (yi y2)4yiy22【例i】若直線ykX i(k R)與橢圓 i恒有公共點，求實數(shù) m的取值范圍mx2【例2】對不同實數(shù) m討論直線y x m與橢圓一 y2 i的公共點的個數(shù)4【變式i】直線y=kx+i與焦點在x軸上的橢圓x2/9+y2/n=i總有公共點，求實數(shù) m的取值范圍是()A.i/2 < RK 9B.9v rk i0 C. K m< 9 D.iv m< 9【變式2】直線y=mxbi與橢圓x2+4y2=i有且只有一個交點，則R=()1234A.B.C.D.2345題型-:弦長22【例1】求直線x y +仁0被橢圓 乂 1截得的弦長164【變式1】已知橢圓

21、4x2 y2 1及直線y x m .(1 )當(dāng)m為何值時，直線與橢圓有公共點？(2)若直線被橢圓截得的弦長為 乙衛(wèi)，求直線的方程.5【例2】(2016秋？仙桃校級期末)已知橢圓A、B2y2 1，過左焦點F傾斜角為的直線交橢圓于96兩點求弦AB的長.【變式2】(2016秋？黃陵縣校級期末)已知橢圓2 2xyC：二 21 (a b 0)的一個頂點為 A (2, 0)ab，離心率為 .直線y=x-1與橢圓C交于不同的兩點 M N.2(1) 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 求線段MN的長度.題型三點差法【例1】已知點P (4, 2)2是直線I被橢圓361所截得線段的中點，求直線 I的方程.【變式1】已知橢

22、圓x2751的一條弦的斜率為2513,它與直線x 的交點恰為這條弦的中點M，求點2M的坐標(biāo).【例2】已知橢圓E：2x2 +a2*= 1(a>b>0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交E于A, B兩點若AB的中點坐標(biāo)為(1，- 1),E的方程為()2 2x yA. += 14536B.36+ 27= 1C.27+182 2x yD. += 11891【例3】過點M1,1)作斜率為一2的直線與橢圓C：2y2 = 1(a>b>0)相交于A, B兩點，若M是線段AB的中2【變式2】過橢圓16【變式3】已知雙曲線x2點，則橢圓C的離心率等于 1內(nèi)一點M (2,1)引一條弦，使

23、弦被 M點平分，求這條弦所在直線的方程。1，經(jīng)過點M (1,1)能否作一條直線I，使I與雙曲線交于A、B，且點M是線段AB的中點。若存在這樣的直線l，求出它的方程，若不存在，說明理由。1.( 2016春？平?jīng)鲂＜壠谀?已知橢圓，短軸的長為2橢圓綜合2 2x yM： - + 2= 1(a>b>0)的離心率為a b(1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)若經(jīng)過點(0, 2)的直線l與橢圓M交于P, Q兩點，滿足OP 0Q = 0,求I的方程.2 2XVL2. ( 2016秋？龍海市校級期末)已知橢圓C:云+含=1(a>b>0)的焦距為2. 6，橢圓C上任意一點到橢圓兩個焦點的距離之和

24、為6.(I)求橢圓C的方程;(H)設(shè)直線I : y=kx-2與橢圓C交于A, B兩點，點P (0, 1)，且|PA|=|PB|，求直線I的方程.3. ( 2016秋？萬州區(qū)校級期末)已知命題2p:方程-4 t2-1所表示的曲線為焦點在t 1X軸上的橢圓；命題q：關(guān)于實數(shù)t的不等式t2(a 3)t (a 2)0.(1)若命題p為真，求實數(shù)t的取值范圍;(2)若命題p是命題q的充分不必要條件，求實數(shù) a的取值范圍.4. ( 2016秋？鄰水縣期末)已知橢圓2 2x yC：二+ 2= 1( a>b>0)的離心率為a b左焦點為 F (-1，0)，過點D(0，2)且斜率為k的直線I交橢圓于

25、A, B兩點.(1) 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 求k的取值范圍.2 2 5. ( 2016秋？尖山區(qū)校級期末)已知橢圓 右+ b2= 1(a>b>0)的離心率為 弓，且a2 2b .(1 )求橢圓的方程；(2)直線I : x-y+n=O與橢圓交于A, B兩點，是否存在實數(shù) m使線段AB的中點在圓x2+y2=5上，若存在, 求出m的值；若不存在，說明理由.第二節(jié)雙曲線1. 雙曲線的定義在平面內(nèi)，到兩個定點Fi、F2的距離之差的 絕對值等于常數(shù)2a （ a大于o且2a RF?）的動點P的 軌跡叫作雙曲線.這兩個定點Fi、F2叫雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫作雙曲線的焦距要點詮釋：1.

26、雙曲線的定義中，常數(shù) 2a應(yīng)當(dāng)滿足的約束條件：| PF1 PF2 2a F1F2，這可以借助于三角形 中邊的相關(guān)性質(zhì)“兩邊之差小于第三邊”來理解;2. 若去掉定義中的“絕對值”，常數(shù)a滿足約束條件：PF1PF2 2a F1F2 （ a 0 ），則動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點F2的一支；若PF2PF1 2a F1F2 （ a 0），則動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點Fi的一支；3. 若常數(shù)a滿足約束條件：|PF1 PF2| 2a |F1F2，則動點軌跡是以Fi、F2為端點的兩條射線（包 括端點）；4. 若常數(shù)a滿足約束條件：PF| PF22a F1F2，則動點軌跡不存在；5. 若常數(shù)a 0，則動點軌

27、跡為線段 FiFz的垂直平分線.2. 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1.當(dāng)焦點在x軸上時，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：2 x2 ay2 b21 (a0,b20），其中c2.2a b ；222.當(dāng)焦點在y軸上時,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：y2x1 (a0,b20），其中c2,2abab2【例1】已知點F1( - 4,0)和 F2(4,0)，曲線上的動點P到F1、F2距離之差為6,則曲線方程為（)2222A.xy_1B.xy_1 = 1(y>0)9797C2 xy22 21或冬厶1D.2 xy21(x>0)'977997題型一雙曲線的定義4，則動點P的軌跡是（【例2】已知點P(x,y)的坐標(biāo)滿足. (x 1)

28、2 (y 1)2,(x 3)2 (y 3)2A.橢圓B雙曲線中的一支C兩條射線D 以上都不對【變式1】“ab<0”是“曲線ax2 + by2= 1為雙曲線”的（）C.充要條件D.既不充分也不必要條件已知 M(-2 , 0)、N(2, 0) , |PM|-|PN|=4 ,則動點 P 的軌跡是(A雙曲線B.雙曲線左邊一支C一條射線D.雙曲線右邊一支【例3】2已知方程x2y1表示雙曲線，則 k的取值范圍是（)1 k1 kA.-1<k<1B.k>0C.k >0D.k>1 或 k<- 1【變式2】（2015?南市區(qū)校級模擬）【變式3】（2014?大連二模）如果方

29、程22丄1表示雙曲線，則m 1m的取值范圍是（A.充分不必要條件B.必要不充分條件A.( 2, +s)B . ( -2 , -1 ) C . (- 3 -1 ) D . ( 1, 2)3【變式3】已知雙曲線8kx2- ky2=2的一個焦點為（0,），貝y k的值等于（）A. 2 B . 1 C . - 1 D題型一 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 類型一 定義法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】一動圓過定點 A 4,0），且與定圓B:（X 4）2+ y2= 16相外切，則動圓圓心的軌跡方程為 【例2】動圓與圓x2 + y2= 1和x2 + y2 8x + 12 = 0都相外切，則動圓圓心的軌跡為 （）A.雙曲線的一

30、支B圓C.拋物線D.雙曲線【變式】已知圓G： （x + 3）2+ y2= 1和圓C2: （x 3）2+ y2= 9,動圓M同時與圓C及圓C2相外切，則動圓圓 心M的軌跡方程為.類型二 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1） 已知兩焦點F1（ 5,0）,F2（5,0）,雙曲線上的點與兩焦點的距離之差的絕對值等于8.（2） 雙曲線的一個焦點坐標(biāo)為（0, 6），經(jīng)過點A（ 5,6）.【例2】求中心在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，且虛軸長與實軸長的比為3: 4，焦距為10的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【變式1】對稱軸為坐標(biāo)軸，經(jīng)過點R3 , 2 7） , Q 6 2, 7）。2 2【例3】求與

31、雙曲線蠱汽1有公共焦點，且過點（3丟）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程5【變式2】求中心在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，且頂點在y軸，焦距為10, e的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點三角形:P /性質(zhì)1 :若 FfF?則Sfpf b2cot特別地，當(dāng) FfF? 90時，有1 2 2S f1pf2 b .性質(zhì)2 :雙曲線焦點三角形的內(nèi)切圓與F1F2相切于實軸頂點；且當(dāng)P點在雙曲線左支時，切點為左頂點，且當(dāng)P點在雙曲線右支時，切點為右頂點。性質(zhì)3:雙曲線離心率為 e,其焦點三角形 PF1F2的旁心為A,線段PA的延長線交F1F2的延長線于點B，則LBA-1 e.|AP|性質(zhì)4:雙曲線的焦點三角形PFR 中，PFF2,PF2F1當(dāng)

32、點P在雙曲線右支上時，有tan cot e1；22e當(dāng)點P在雙曲線左支上時，有cot tan e122e1【例1】已知Fi, F2是雙曲線的兩個焦點，P是雙曲線上一點，且/ F1PB= 90°,則厶RPF的面積A. 1【變式1】已知雙曲線2 2、y9 16 =1的左、右焦點分別為F1、F2,若雙曲線上一點 P使/ F1P= 90°,則厶RPR的面積是（）A. 12 B.16.24 D . 32【例2】雙曲線焦點三角形F1PF2的內(nèi)切圓與F1F2相切于點A，則|AF1.AF22 2【例3】設(shè)雙曲線芻古1 a Qb 0 , F1、F2是其兩個焦點，點p在雙曲線右支上一點若離心率

33、e 2，tan 則.tan -2【例4】雙曲線離心率為e，其焦點三角形 PF1F2的旁心為A，線段PA的延長線交F1F2的延長線于點B ,若BA 4， AP|2，則離心率e _.1. 雙曲線兩個標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的比較標(biāo)準(zhǔn)方程2 2x y 72 1 (a 0,b 0)a b2 2y x 巴口 1(a 0,b 0)a b圖形7i f i1 I i0x性質(zhì)焦占八'、八、Fi( c,0) , F2(c,0)F1(0, c) , F2(0,c)焦距| F1F2 | 2c (c Va2 b2)|F1F21 2c(c Ja2 b2)范圍xxa或 x a， y Ry ya或y a，x R對稱性關(guān)于x軸

34、、y軸和原點對稱頂點(a,0)(0, a)軸實軸長=2a，虛軸長=2b離心率e (e 1) a漸近線方程by_xaay- xb要點詮釋：雙曲線的焦點總在實軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點位置的方法是：看x2、y的系數(shù),如果x2項的系數(shù)是正的，那么焦點在x軸上；如果y2項的系數(shù)是正的，那么焦點在y軸上.對于雙曲線，a不一定大于b,因此不能像橢圓那樣通過比較分母的大小來判定焦點在哪一條坐標(biāo)軸上2. 雙曲線的漸近線（1）已知雙曲線方程求漸近線方程:by xa2 2 2 2若雙曲線方程為篤與 1，則其漸近線方程為務(wù)與 0a ba b已知雙曲線方程，將雙曲線方程中的“常數(shù)”換成“ 0”，然后因式分解即得

35、漸近線方程2 2與雙曲線 芻 占 1有公共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為a2 b20)(0，焦點在x軸上,（2 ）已知漸近線方程求雙曲線方程：若雙曲線漸近線方程為mx ny 0，則可設(shè)雙曲線方程為 m2x2 n2y2，根據(jù)已知條件，求出即可.2（3）與雙曲線x2a2 y b21有公共漸近線的雙曲線2 20，焦點在y軸上）（4）等軸雙曲線的漸近線等軸雙曲線的兩條漸近線互相垂直，為y x，因此等軸雙曲線可設(shè)為 x2 y2（0）.3. 雙曲線的焦點到漸近線的距離為b .題型一 雙曲線簡單的幾何性質(zhì)【例1】求雙曲線16x2 9y2144的實軸長和虛軸長、頂點坐標(biāo)、焦點坐標(biāo)、漸近線方程與離心率【變式1】雙曲線

36、mX+ y2= 1的虛軸長是實軸長的 2倍，貝U m等于（人1A.B. 4C. 44【例2】已知雙曲線方程，求漸近線方程：2 2 2 2z xyxy(1) 1 ; ( 2) 19 169 16【變式2】求下列雙曲線方程的漸近線方程:2 2X y2222(1)1 ; (2) x 2y 8; ( 3) y 2x 721636【變式3】中心在坐標(biāo)原點,離心率為55的圓錐曲線的焦點在3y軸上,則它的漸近線方程為（)A.5443yX B .y xC . yx D.yx4534【例3】根據(jù)下列條件，求雙曲線方程與雙曲線x9 r 1有共同的漸近線，且過點（32；（2） 漸近線方程為3x2y 0，且雙曲線過點

37、 M（8,6、. 3）【變式4】過點（2 ,-2）且與雙曲線X-y22222A.y2L 1B.xy24422222C.y1D.xy4224【變式5】設(shè)雙曲線2 2x y21(a0)的a9A.4B.3C2 222【變式6】雙曲線-y1與篤y2a2 b2ab222112A.實軸焦占 八、八、C（0）有相同的（1有公共漸近線的雙曲線是（3x 2y0，則a的值為（）B2【例4】雙曲線142【變式7】雙曲線9.漸近線.以上都不對A. 2 B2 y16的焦點到漸近線的距離等于1的焦點到漸近線的距離等于（題型二雙曲線的離心率x2【例1】已知雙曲線2 y2=1的一條漸近線方程為a2 b24y=3X，則雙曲線的

38、離心率為2【變式1】已知雙曲線務(wù)y2a2【例2】已知雙曲線筈a2【例3】已知F1、F2是雙曲線1(a2X2a3（a 0）的一條準(zhǔn)線為x ?，則該雙曲線的離心率為n.2）的兩條漸近線的夾角為 ,則雙曲線的離心率為32£ 1（a 0,b 0）的兩焦點，以線段 F1F2為邊作正三角形 MFF2,b2若邊MF的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率是【變式2】已知雙曲線 篤 y- 1 ( a>0, b>0)的右焦點為F,若過點F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的a2 b2右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是【變式3】已知以雙曲線C的兩個焦點及虛軸的兩個端點為原點的

39、四邊形中，有一個內(nèi)角為60°，則雙曲線C的離心率為【例4】2已知雙曲線篤a21 (a 0,b0)的左、右焦點分別為Fi、F2, p是準(zhǔn)線上一點，且PFi丄PF,bI PFi |I PF? |= 4ab,則雙曲線的離心率是【例5】2設(shè)Fi和F?為雙曲線篤a2每 1( a 0,b0)的兩個焦點，若Fi, F? , P(0,2b)是正三角形的三b個頂點，則雙曲線的離心率為2x【變式4】過雙曲線a2y i(a> 0, b> 0)的左焦點且垂直于 x軸的直線與雙曲線相交于M N兩點,b以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點,則雙曲線的離心率等于【變式5】設(shè)雙曲線的一個焦點為 F ,虛

40、軸的一個端點為 B ,如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直,那么此雙曲線的離心率為22【例6】已知雙曲線冷 再 l,(aa b0,b 0)的左，右焦點分別為Fj F?,點P在雙曲線的右支上，且| PFi | 4| PF? |,則此雙曲線的離心率e的最大值為2 2X y【例7】雙曲線 2 i (a>0, b>0)的兩個焦點為 Fi、F2,若p為其上一點，且|PF|=2| PFq,則雙曲a b線離心率的取值范圍為2【變式6】雙曲線仔a2占 i ( a 0, b 0)的左、右焦點分別是 Fi, F2，過Fi作傾斜角為30°的直線b1.直線與雙曲線的位置關(guān)系Xy2將直線的方程y

41、 kx m與雙曲線的方程2 1 (a 0,b 0)聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于xa b或y的一元二次方程，其判別式為.(b2 a2k2)x2 2a2mkx a2m2 a2b20若b22 2a k0,即 k -,a直線與雙曲線漸近線平行,直線與雙曲線相交于一點;若b22 2a k0,即 k-,a厶0直線和雙曲線相交直線和雙曲線相交，有兩個交點；0直線和雙曲線相切直線和雙曲線相切，有一個公共點；<0直線和雙曲線相離直線和雙曲線相離，無公共點.直線與雙曲線有一個公共點是直線與雙曲線相切的必要不充分條件。2.直線與雙曲線的相交弦2 20)于點P(Xi，yJ ,巳化2),兩點，則設(shè)直線y kx m

42、交雙曲線務(wù)%1 (a 0,ba bIP1P2I .(xi X2)2 (yi y2)2.(xi X2)21(y1y2)2=1k2 |X1同理可得 | rp2 | , 1 ：2 I % y21 (k 0)這里I兒x21, | y1 y21,的求法通常使用韋達定理，需作以下變形:|xi X2 | 、（X1 X2）4XlX2| yiy21 、,（yiy?）4沁2題型一直線與雙曲線的位置關(guān)系【例1】直線I過點（1 , 1），與雙曲線x22 y_41只有一個公共點，則滿足條件的i有（）A.1條B.2條C.4條D.無數(shù)條【例2】已知雙曲線x2-y2=4，直線I : y=k（x1），討論直線與雙曲線公共點個數(shù)

43、2【例3】過點P（、7,5）與雙曲線72251有且只有一個公共點的直線有幾條，分別求出它們的方程?！咀兪絠】“直線與雙曲線有唯一交點”是“直線與雙曲線相切”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D. 不充分不必要條件【變式2】若直線y=kx+1與曲線x=. y2 1有兩個不同的交點，貝U k的取值范圍是（）A.-、2<k<.2B.-. 2 <k<-1C.1< k< -2 D. k<- . 2 或 k> . 22y 1的交點個數(shù)是(【變式3】直線y=l(x 7)與雙曲線 9A.0 個 B.1個 C.2D.4 個題型二弦長【例1】求直

44、線y1被雙曲線1截得的弦長【例2】垂直于直線2y3 0的直線2xI被雙曲線一204J51截得的弦長為，求直線I的方程.3【變式1】斜率為2的直線2I被雙曲線52y41截得的弦長為2 5，則直線l的方程是(A.y=2x± 丿5B.y=2x± 山5C.y=2x ±D.5y=2x ± 心5【變式2】過雙曲線16x2-9y2=144的右焦點作傾斜角為 一的弦AB則| AE|等于3題型三點差法2x在雙曲線ab >0)中，若直線I與雙曲線相交于 M N兩點，點P(x0,y0)是弦MN的中點，弦MN所在的直線I的斜率為y0kMN ,則 kMN一X0b2 .a2同

45、理可證，在雙曲線當(dāng)a2(a > 0, b > 0)中，若直線I與雙曲線相交于 M N兩點，點P(x0, y0)是弦MN的中點，弦MN所在的直線I的斜率為kMN，則kMN匹X。2ay.【例1】已知雙曲線C : y21，過點P(2,1)作直線I交雙曲線C于A B兩點.若P恰為弦AB的中點,求直線I的方程.【例2】已知雙曲線C：2x2 y22與點P(1,2).(1) 斜率為k且過點P的直線I與C有兩個公共點，求k的取值范圍;(2) 是否存在過點 P的弦AB使得AB的中點為P?(3) 試判斷以Q(1,1)為中點的弦是否存在.【例3】設(shè)雙曲線C的中心在原點，以拋物線 y2 2. 3x 4的頂

46、點為雙曲線的右焦點，拋物線的準(zhǔn)線為雙 曲線的右準(zhǔn)線.(I)試求雙曲線 C的方程；(n)設(shè)直線I : y 2x 1與雙曲線C交于代B兩點，求 AB ；(川)對于直線I : y kx 1，是否存在這樣的實數(shù) k，使直線I與雙曲線C的交點A,B關(guān)于直線l':y ax 4( a為常數(shù))對稱，若存在，求出 k值；若不存在，請說明理由.【變式1】已知雙曲線中心在原點且一個焦點為F(. 7,0)，直線y x 1與其相交于 M N兩點，MN的2中點的橫坐標(biāo)為2，則此雙曲線的方程為(3【變式3】已知雙曲線11，過點P( 23)作直線I交雙曲線于A、B兩點.A.2 X2y1 B.2 2Xy1C.2 2X y 1D.2 X2y 13443525【變式2】設(shè)A、B是雙曲線2X2y1上兩點，點N(1,2)是線段AB的中點.求直線AB的方程。2(1)求弦AB的中點M的軌跡;(2)若點P恰好是弦AB的中點，求直線I的方程和弦AB的長.雙曲線綜合2 21. ( 2016秋？寧城縣期末)已知命題 p： k2-8k-20w 0,命題q：方程 一 1表示焦點在x軸上的雙4 k 1 k曲線.(I) 命