第三章離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換

1、第三章 離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換課程：數(shù)字信號(hào)處理目 錄第三章 離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換2教學(xué)目標(biāo)23.1引言23.2傅里葉級(jí)數(shù)CFS33.2.1傅里葉級(jí)數(shù)CFS定義33.2.2傅里葉級(jí)數(shù)CFS性質(zhì)53.3傅里葉變換CFT63.3.1傅里葉變換CFT定義63.3.2傅里葉變換CFT的性質(zhì)73.4離散時(shí)間信號(hào)傅里葉變換DTFT83.4.1離散時(shí)間信號(hào)傅里葉變換DTFT定義83.4.2離散時(shí)間信號(hào)傅里葉變換的性質(zhì)83.5周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù) (DFS)123.5.1周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)的定義133.5.2周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)173.6離散傅里葉變換(DFT)193.6.1離散傅里

2、葉變換(DFT)193.6.2離散傅里葉變換的性質(zhì)213.7CFS、CFT、DTFT、DFS和DFT的區(qū)別與聯(lián)系233.8用DFT計(jì)算模擬信號(hào)的傅里葉分析253.9實(shí)驗(yàn)28本章小結(jié)30習(xí)題31參考文獻(xiàn)：34第三章 離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換教學(xué)目標(biāo)本章講解由時(shí)域到頻域的傅里葉變換，頻域觀察信號(hào)有助于進(jìn)一步揭示系統(tǒng)的本質(zhì)，對(duì)于某些系統(tǒng)可以極大的簡(jiǎn)化其設(shè)計(jì)和分析過(guò)程。通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，要理解連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換的和離散時(shí)間信號(hào)基本概念、性質(zhì)和應(yīng)用；了解一些典型信號(hào)的傅里葉變換；理解連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)(CFS)、連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換(CFT)、離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)、離

3、散時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)(DTFS)和離散傅里葉變換(DFT)它們相互間的區(qū)別與聯(lián)系；掌握傅里葉變換的參數(shù)選擇，以及這些參數(shù)對(duì)傅里葉變換性能的影響；了解信號(hào)處理中其它算法（卷積、相關(guān)等）可以通過(guò)離散傅里葉變換(DFT)來(lái)實(shí)現(xiàn)。3.1 引言一束白光透過(guò)三棱鏡，可以分解為不同顏色的光，這些光再通過(guò)三棱鏡，就會(huì)得到白光。傅里葉指出，一個(gè)“任意”周期函數(shù)都可以分解為無(wú)窮多個(gè)不同頻率正弦信號(hào)的和，這即是傅里葉級(jí)數(shù)。求解傅里葉系數(shù)的過(guò)程就是傅里葉變換。傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換又統(tǒng)稱(chēng)為傅里葉分析。傅里葉分析方法相當(dāng)于三棱鏡，信號(hào)即是那束白光。傅里葉的兩個(gè)最主要的貢獻(xiàn)：1、周期信號(hào)都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號(hào)的加權(quán)和；

4、2、非周期信號(hào)都可用正弦信號(hào)的加權(quán)積分表示。傅里葉變換源自對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)的研究。在對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)的研究中，復(fù)雜的周期函數(shù)可以用一系列簡(jiǎn)單的正弦、余弦波之和表示。傅里葉變換是對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)的擴(kuò)展，由它表示的函數(shù)的周期趨近于無(wú)窮。 根據(jù)信號(hào)的周期性、連續(xù)性，可以劃分為四種重要的傅里葉變換。周期信號(hào)（不管離散與否）都可以用傅里葉級(jí)數(shù)（Fourier Series）表示：如果輸入信號(hào)為周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)，則有連續(xù)時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)（continuous-time Fourier series, CTFS），如果輸入信號(hào)為周期離散時(shí)間信號(hào)，則有離散時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)（discrete-time Fourier seri

5、es，DTFS）。非周期信號(hào)（不管離散與否）都可以用傅里葉變換（Fourier transform）表示：連續(xù)非周期的輸入信號(hào)則有連續(xù)時(shí)間傅里葉變換（continuous-time Fourier transform, CTFT），離散非周期輸入信號(hào)則有離散時(shí)間傅里葉變換（discrete-time Fourier transform，DTFT）?；A(chǔ)知識(shí)一、周期函數(shù)先從周期函數(shù)開(kāi)始討論。設(shè)一個(gè)函數(shù)ft是周期性的，周期為T(mén)，如果有一個(gè)T>0，ft=ft+nT, n=0,±1,±2,()使等式成立，則稱(chēng)T=20，T為的最小正周期。二、三角函數(shù)時(shí)間周期的經(jīng)典例子是諧振蕩器

6、，先從該系統(tǒng)的狀態(tài)是由一個(gè)單一的正弦波的形式說(shuō)起：xat=Asin(2ft+)()在這個(gè)表達(dá)式中，參數(shù)A是振幅，頻率是f，相位是。如果將上式采樣，即：xn=xanTs=Asin2fTsn+=AsinTsn+()f為模擬頻率，單位Hz，Ts為采樣周期，單位秒s，=2f，為模擬角頻率。關(guān)系表達(dá)式如下：=2fTs=2f/fs=Ts=/fs()三、復(fù)指數(shù)函數(shù)歐拉公式，因?yàn)椋篹j=cosx+jsinx ()所以正弦信號(hào)的復(fù)數(shù)形式數(shù)學(xué)定義如下：xt=ejk0t=cos(k0t)+jsin(k0t)()3.2 傅里葉級(jí)數(shù)CFS3.2.1傅里葉級(jí)數(shù)CFS定義傅里葉的思想是，所有的周期函數(shù)都可以表示為正弦信號(hào)的

7、加權(quán)和8，即：xt=a0+k=0ancosk0t+bnsin(k0t)()a0是常量，通常叫做直流分量（DC）。上式用復(fù)指數(shù)的形式可表示為：xt=k=-Xkejk0t()兩邊同時(shí)乘以e-jn0t，并從0到T積分，得到80Txte-jn0tdt=0Tk=-Xkej(k-n)0tdt=k=-Xk0Tej(k-n)0tdt ()再看：0Te-j(n-k)0tdt=0Tcosn-k0t-jsinn-k0tdt()這是一個(gè)周期為|Tn-k|的函數(shù)9，當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)果為1,，因此式（10）可以寫(xiě)成：0Txte-jn0tdt=XkTX(k)=1T0Txte-jk0tdt當(dāng)nk時(shí)等式（10）的結(jié)果為0。因此傅

8、里葉系數(shù)Fourier coefficients可以寫(xiě)成：X(k)=1T0Txte-jk0tdt()故，其傅里葉變換對(duì)可以寫(xiě)為10Xk=1T0-T0/2T0/2x(t)e-j2kftdt ()xt=k=-+Xkej2kft()正交基和向量理解為了便于對(duì)傅里葉變換的理解，就要借用向量。首先復(fù)習(xí)幾個(gè)概念。內(nèi)積：對(duì)于兩個(gè)向量，他們的內(nèi)積就是各個(gè)分量相乘再求和。正交是內(nèi)積為0的情況，在二維空間上可以理解為垂直。例如，在三角函數(shù)系中1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, .，任意兩個(gè)不同元素的內(nèi)積都為零，因此這個(gè)集合成為正交集合。空間：如果該空間的任意元素進(jìn)行加法和乘法計(jì)算后的結(jié)果仍然

9、屬于該空間，那就組成一個(gè)向量空間。如果空間內(nèi)有一個(gè)子集合，子集合的元素兩兩正交，那該子集合就是向量空間的基。上面用于展開(kāi)傅里葉級(jí)數(shù)的e-jk0可以看成是一組正交的基。所以對(duì)于傅里葉展開(kāi)來(lái)說(shuō)，任何正交的空間，都可以作為展開(kāi)的基函數(shù)，三角函數(shù)和復(fù)指數(shù)只是其中一類(lèi)基函數(shù)。簡(jiǎn)單地說(shuō)傅里葉變換就是把信號(hào)投影到基上。對(duì)于任意的實(shí)信號(hào)，我們都可以看做是一些不同頻率的正弦波和余弦波的疊加。這時(shí)候，我們求這個(gè)信號(hào)和傅里葉基內(nèi)積4：<xt，e-jk0t>=0Txte-jk0tdt()就得到了傅里葉變換的定義。頻域的圖像表達(dá)以矩形波的傅里葉變換來(lái)描述信號(hào)在頻域上的圖像表示方法：縱坐標(biāo) Xk為復(fù)諧波函數(shù)e

10、j2kFt幅度，橫坐標(biāo)k為諧波序號(hào)10。復(fù)諧波函數(shù)之和即形成原函數(shù)。 【例3.2.1】圖3.2.1是一周期矩形信號(hào)，周期為T(mén)；顯然，它滿足狄利克雷條件。由(3.2.3)式可知，其傅里葉系數(shù)是一離散sinc函數(shù)，其中=0.2T，T=1，A=5，0=2PI/T。圖3.2.1 周期方波信號(hào)及其傅里葉系數(shù)Figure 3.2.1 Periodic square wave signal and its Fourier coefficients3.2.2傅里葉級(jí)數(shù)CFS性質(zhì)1. 線性：xt+y(t)FSXk+Yk()2. 時(shí)移：xt-t0FSe-j2kf0t0Xk()3. 時(shí)間反轉(zhuǎn): x-tFSX-k()

11、4. 時(shí)間尺度變換：zt=x(at)()a. TF=T0a()Zk=Xk()zt=xat=k=-Zkej2akf0t()b. TF=T0()Zk=Xka ka是整數(shù) 0 其他()zt=xat=k=-Zkej2kf0t5. 時(shí)域微分：ddtxtFSj2kf0Xk0()6. 時(shí)域積分：-tx()dFSj2kf0Xk()7. 乘積-卷積對(duì)偶性: xtytFSXk*Yk ()8. x(t)周期卷積ytFST0XkYk()9. 共軛：x*tFSX*-k()10. 帕塞瓦爾定理: 1T0T0x(t)2dt=k=-X(k)2()3.3 傅里葉變換CFT3.3.1傅里葉變換CFT定義上節(jié)討論了周期信號(hào)的傅里葉

12、級(jí)數(shù)，接下來(lái)我們要從傅立葉級(jí)數(shù)過(guò)渡到傅立葉變換。我們可以將非周期信號(hào)看成周期為無(wú)窮大的周期信號(hào)。首先建立一個(gè)簡(jiǎn)單的、特殊的并且很重要的信號(hào)矩形波，并且讓這個(gè)信號(hào)為周期信號(hào)，周期為T(mén)：TT2T1xt=1, &|t|<T10, &T1<|t|<T2我們可以算出此信號(hào)的傅里葉系數(shù)X(k)=1T-T2T2e-jk0t 1 dt=1nsin(2kTT)在T時(shí)，建立函數(shù)9xt=xt, &|t|<T20, &t>T2X(k)=1T-T2T2e-jk0t xt dtX(k)=1T-e-jk0t xtdtTX(k)=-e-jk0t xtdt根據(jù)上面傅

13、里葉變換對(duì)的公式可以得到xt=k=-+1T-e-jk0t xtdtejk0t因?yàn)門(mén)=20，上式可以寫(xiě)成xt=12k=-+-e-jk0t xtdtejk0t0當(dāng)T,00，則limTx(t)=xt=12-e-jk0t XdX=-e-jk0t xtdt其傅里葉變換對(duì)為：Xf=-+x(t)e-j2ftdt ()xt=12-+X(f)ej2ftdw ()特別強(qiáng)調(diào)的是信號(hào)還需滿足如下的狄利克雷(Dirichlet)條件：1、 信號(hào)絕對(duì)可積。2、 在同一個(gè)周期內(nèi)，間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)有限；3、 極大值和極小值的數(shù)目有限；3.3.2傅里葉變換CFT的性質(zhì)1. 線性：xt+y(t)FX(f)+Y(f) xt+y(t)F

14、X(j)+Y(j)2. 時(shí)移：xt-t0Fe-j2ft0X(f) xt-t0Fe-jt0X(j)3. 頻移：x(t)ej2f0tFX(f-f0) x(t)ej0tFX(j(-0)4. 時(shí)間尺度變換： x(at)F1aX(fa) x(at)F1aX(ja)5. 頻率尺度變換： 1ax(ta)FX(af) 1ax(ta)FX(ja)6. 共軛變換：x*tFX*(-f) x*tFX*(-j)7. 乘積 - 卷積對(duì)偶性： x(t)*y(t)FX(f)Y(f) x(t)*y(t)FX(j)Y(j) x(t)y(t)FX(f)*Y(f) x(t)y(t)FX(j)*Y(j)8. 微分性質(zhì)：ddtxtFj2

15、fX(f) ddtxtFjX(j)9. 調(diào)制： xtcos2f0tF12Xf-f0+Xf+f0 xtcos0tF12X(j-0)+X(j+0) 10. 周期信號(hào)變換：xt=k=-Xke-j2kfFtFXf=k=-Xk(f-kf0) xt=k=-Xke-jkFtFXf=2k=-Xk(-k0)11. 帕塞瓦爾定理：-x(t)2dt=-X(f)2df -x(t)2dt=12-X(j)2df12. 沖擊函數(shù)的定義：-e-2xydy=(x) 13. 對(duì)偶性： X(t)Fx(-f) X(-t)Fx(f) X(jt)F2x(-) X(-jt)F2x()14. 利用傅里葉變換得到總面積: X0=-xtdt x

16、0=-X(f)df15. 積分：-tx()dFX(f)j2f+12X(0)(f) -tx()dFX(j)j+X(0)()3.4 離散時(shí)間信號(hào)傅里葉變換DTFT3.4.1離散時(shí)間信號(hào)傅里葉變換DTFT定義在第二章討論過(guò)序列的傅里葉變換對(duì)5，即Xejw=n=-+Xne-jwnxn=12-+X(ejw)ejwndw離散時(shí)間信號(hào)指在離散時(shí)間變量時(shí)有定義的信號(hào)。如果把序列看成模擬信號(hào)的抽樣，抽樣時(shí)間間隔為T(mén)，抽樣頻率為fs=1T，s=2T,則離散信號(hào)可以表示為xn=xanTs=xaT|t=nTs()表明離散信號(hào)僅在t=nTs有值，在其他時(shí)刻沒(méi)有。3.4.2離散時(shí)間信號(hào)傅里葉變換的性質(zhì)本節(jié)討論DTFT的一

17、些性質(zhì)，xn和yn是兩個(gè)離散時(shí)間信號(hào)，其離散傅里葉變換是X(F)和Y(F)，那么一下的性質(zhì)成立。一、 線性令的DTFT分別是，并令則()xt+ytFXj+Y(j)()二、 時(shí)移令，則，即 x(t-t0)FX(j)e-jt0()三、 奇、偶、虛、實(shí)對(duì)稱(chēng)性質(zhì)設(shè)x(n)為一復(fù)信號(hào)，將x(n),都分別寫(xiě)成實(shí)部和虛部的形式即()由DTFT正，反定義的定義可得()如果x(n)是實(shí)信號(hào)，即=0，由于，分別是的偶函數(shù)和奇函數(shù)，可得下述結(jié)論。1) 的實(shí)部是的偶函數(shù)，即()2) 的虛部是的奇函數(shù)，即()把上面兩式結(jié)合起來(lái)，可得實(shí)信號(hào)DTFT的Hermitian對(duì)稱(chēng)性，即3) 的幅頻響應(yīng)是的偶函數(shù)，即()式中，。4

18、) 的相頻響應(yīng)是的奇函數(shù)，即()5) 由于，都是的偶函數(shù)，且，有()即積分只要從0到即可。6) 若x(n)再是偶函數(shù)，那么 ()以上三式說(shuō)明，若x(n)是以n=0為對(duì)稱(chēng)的實(shí)偶信號(hào)，那么其頻譜為實(shí)值，其相頻響應(yīng)恒為0，因此，x(n)可有上式的簡(jiǎn)單形式來(lái)恢復(fù)，當(dāng)然，如果x(n)不是以n=0為對(duì)稱(chēng)，那么將具有一線性相位。7) 若x(n)是實(shí)的奇函數(shù)，則 ()四、 時(shí)域卷積定理若，則()證明：因?yàn)樗?。五?頻域卷積定理若，則()證明：因?yàn)樽儞Q積分與求和的次序，有所以。六、 時(shí)域相關(guān)定理若y(n)是x(n)和h(n)的相關(guān)函數(shù)，即，則()證明：因?yàn)樗云摺?Parseval(巴塞伐)定理(3.4.20

19、)()八、 Wiener-Khinchin(維納-辛欽)定理若x(n)是功率信號(hào)，其傅里葉變換()若上式右邊極限存在，則稱(chēng)該極限為功率信號(hào)x(n)的功率譜，即()此式稱(chēng)為確定信號(hào)的維納-辛欽定理，它說(shuō)明功率信號(hào)x(n)的自相關(guān)函數(shù)和其功率譜是一堆傅里葉變換。【例3.4.1】 求下面離散時(shí)間傅里葉變換的逆變換。XF=rect50F-14+rect50F+14*comb(F)【解】：先查表Fsincn= rect(F)*comb(F)F150sincn50=rect(50F)*comb(F)對(duì)應(yīng)上式的頻移性質(zhì)，F(xiàn)ej2F0nxn=X(F-F0)Fejnn150sincn50=rect(50(F-1

20、4)*comb(F)Fe-jnn150sincn50=rect(50(F+14)*comb(F)最后將上面的兩個(gè)式子合并并簡(jiǎn)化：原式子的反傅里葉變換是sinc(n50)cos(n2)25【例3.7.3】根據(jù)累加性質(zhì)和沖激函數(shù)的離散時(shí)間傅里葉變換，求xn=rectNn的傅里葉變換。【解】：xn的一階后向差分是xn-xn-1=n+N-n-(N+1)因?yàn)镕n+N-n-N+1=ej2FN-e-j2F(N+1)根據(jù)離散時(shí)間傅里葉變換的積分性質(zhì)和矩形脈沖信號(hào)的一階差分序列的和為零的事實(shí)，有Fxn=ej2FN-e-j2F(N+1)1-e-j2F=e-j2Fe-j2FejF(2N+1)-e-jF(2N+1)F

21、xn=sin(F(2N+1)sin(F)=2N+1drcl(F,2N+1)【例3.7.4】求如下離散時(shí)間余弦函數(shù)的傅里葉變換。xn=Acos(n2)【解】：根據(jù)定義XF=n=-xne-j2Fn=n=-Acosn2e-j2Fn=A2n=-(ejn2+e-j(n2)e-j2FnXF=A2n=-(ej2(14-F)n+ej2(-14-F)n)或Xj=An=-(ej(2-)n+ej(-2-)n)根據(jù)n=-ej2xn=comb(x)并考慮到梳狀函數(shù)是偶函數(shù)，有XF=A2combF-14+combF+14或者根據(jù)梳狀函數(shù)尺度變換的性質(zhì)，Xj=Acomb-2+comb(+2)因?yàn)閤n是周期性的，所以可以得到

22、它的離散時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)的諧波函數(shù)Xk=1N0n=<N0>xne-j2(kF0)n=A4n=<N0>cos(n2)e-j(kn2)Xk=A21-e-jk=A4e-jk2(ejk2-e-jk2)Xk=jA4e-jk2sin(k2)當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，表達(dá)式為0，當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)表達(dá)式值為A4，這些值剛好是沖擊函數(shù)XF在-34,-14,14,34時(shí)的沖激強(qiáng)度。這個(gè)結(jié)果顯示了離散時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)其實(shí)只是離散時(shí)間傅里葉變換的特例，就像連續(xù)時(shí)間的傅里葉級(jí)數(shù)是連續(xù)時(shí)間傅里葉變換的特例一樣。如果一個(gè)離散時(shí)間信號(hào)時(shí)周期性的，他的傅里葉就相當(dāng)于由一些沖激組成，這些沖激的強(qiáng)度等于它的離散時(shí)間傅里葉變換諧

23、波函數(shù)在諧波頻率上的值。3.5 周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù) (DFS)當(dāng)用數(shù)字計(jì)算機(jī)對(duì)信號(hào)進(jìn)行頻譜分析時(shí)，要求信號(hào)必須以離散值作為輸入，而計(jì)算機(jī)輸出所得到的頻譜值也是離散的。計(jì)算機(jī)無(wú)法處理周期信號(hào)，而上面介紹的幾種傅里葉變換形式中，或者信號(hào)的時(shí)域是連續(xù)的，或者信號(hào)的頻譜是連續(xù)的，均不適合計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算。若要使用這幾種形式計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算，必須針對(duì)每種情況，或者在頻域取樣，或者在時(shí)域取樣。其最后結(jié)果都將使原時(shí)間函數(shù)和頻率函數(shù)二者都成為周期離散的函數(shù)。因此，他們都可以變成一種形式離散傅里葉級(jí)數(shù)1。3.5.1周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)的定義回顧一下，對(duì)于周期信號(hào)，通常都可以用傅里葉級(jí)數(shù)來(lái)描述，可用指數(shù)形式

24、的傅里葉級(jí)數(shù)來(lái)表示，即xn=k=-+X(k)ejkt (51)可以看成信號(hào)被分解成不同次諧波的疊加，每個(gè)諧波都有一個(gè)幅值，表示該諧波分量所占的比重。其中K任意整數(shù)k=0k；0基頻角頻率，0=2/T；X(k)傅里葉系數(shù)。我們?cè)趚(n)上加以表示周期性的上標(biāo)，周期為N的周期序列，其有如下性質(zhì)：=（r為任意整數(shù)） (52)用指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)表示應(yīng)該為= (53)其中0=2/N，是基頻分量的角頻率，基頻序列為。下面來(lái)分析一下第(K+rN)次諧波和第(k)次諧波之間的關(guān)系。將0=2/N，代入表達(dá)式中，得到=（r為任意整數(shù)） (54)這說(shuō)明第(K+rN)次諧波能夠被第(k)次諧波表示，也就是說(shuō)，在所有

25、的諧波成分中，只有N個(gè)是獨(dú)立的，用N個(gè)諧波就可完全的表示出.因此，對(duì)于離散傅里葉級(jí)數(shù)，我們只取K=0到k=N-1的N個(gè)獨(dú)立諧波分量，即= (55)式中是一個(gè)常用的常數(shù)，選取它是為下面表達(dá)式的成立的需要，是K次諧波的系數(shù)。下面我們根據(jù)來(lái)求解，這需要用到一下的性質(zhì)，即復(fù)指數(shù)的正交性： (56)注意該表達(dá)式是對(duì)n求和，而表達(dá)式的結(jié)果取決于(k-r)的值。在=兩邊都乘以，并且從n=0到n=N-1求和，得到 (57) 交換求和順序，再根據(jù)前面證明的正交性結(jié)論可以得出： (58)將變量r換成k，則有= (59)從的表達(dá)式可以看出也是周期為N的周期序列，即= (60)則有周期序列的傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)， (61)在

26、上面的傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)中，n和k的范圍是從(- )。為了表示的方便，一般書(shū)上常采用一下符號(hào)（N表示周期） (62)則(62)可以表示成正變換 Xk=DFSxn=n=0N-1xne-j2Nnk=n=0N-1xnWNnk (63)反變換 xn=IDFSXk=1Nn=0N-1Xkej2Nnk=1Nn=0N-1XkWN-nk (64) DFS表示離散傅里葉級(jí)數(shù)正變換，IDFS表示離散傅里葉級(jí)數(shù)反變換。針對(duì)上面的級(jí)數(shù)對(duì)，討論如下內(nèi)容：1) ，以N為周期。，；2) 只對(duì)序列的一個(gè)周期的值進(jìn)行求和，但求出的或卻是無(wú)限長(zhǎng)的；3) 由以N為周期推導(dǎo)出以N為周期；4) 對(duì)于周期序列=，因?yàn)閆變換不收斂，所以不能用Z變

27、換，但若取的一個(gè)周期，則Z變換是收斂的。，當(dāng)取時(shí)，而，當(dāng)時(shí)，=，這相當(dāng)于在=0到=2的范圍內(nèi)，在N個(gè)等間隔的頻率上以2/N為間隔對(duì)傅里葉變換進(jìn)行采樣。5) 引入主值序列的概念，即序列在0N-1區(qū)間的序列稱(chēng)為主值序列?！纠?.5.1】 求的DFS系數(shù)。【解】：設(shè)為周期沖激串=，對(duì)于0nN-1，=，可以求出=1，即對(duì)于所有的k值，均相同。表示成級(jí)數(shù)形式為=。(65)又設(shè)的周期為N=10，在主值區(qū)間內(nèi)，0n4時(shí)，=1，在5n9時(shí)，=0。畫(huà)出的圖形，則=，畫(huà)出的幅值圖。(0)=5，(±1)=3.23，(±2)=0，(±3)=1.24，(±4)=0，(±

28、5)=1，(±6)=0，(±7)=1.24，(±8)=0，(±9)=3.23，這是一個(gè)周期內(nèi)的值。設(shè)n取514，即不是取主值周期，隨便取一個(gè)周期(在主值周期外隨便取一周期)，計(jì)算傅里葉級(jí)數(shù)，得到的結(jié)果和在主值周期中的結(jié)果一樣。下面計(jì)算有限長(zhǎng)序列=的傅里葉變換。=， (66)如果將=2k/10代入上式，則結(jié)果和一樣。的幅度一個(gè)周期圖如下所示：圖3.5.1幅度的周期圖Figure 3.5.1 Period graph of the amplitude可以看出相當(dāng)于在=0到=2的范圍內(nèi)，以2/10的頻率間隔在10個(gè)等間隔的頻率上對(duì)傅里葉變換進(jìn)行采樣?！纠?.5

29、.2】 從例題3.5.1中得到這樣一個(gè)結(jié)論，對(duì)于以N為周期的周期序列，任取一個(gè)周期求得的傅里葉系數(shù)與在主值區(qū)間(n=0N-1)中求得的傅里葉系數(shù)相同?，F(xiàn)在已知的周期為N，=，=，m1=rN+n1，m2=rN+n1+N-1，0n1N-1，證明=。證明：=(令n-m=rN或m=n-rN)=(后一個(gè)分量作變量m-N=n)=?！纠?.5.3】設(shè)一序列的周期為N，其DFS系數(shù)為。也是周期為N的周期序列，試?yán)们蟮腄FS系數(shù)。解：= =，所以=。用k替換上式中的r，即Xk=Nx(-k)3.5.2周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)離散傅里葉級(jí)數(shù)很多性質(zhì)和Z變換的性質(zhì)相似，而DFS是和周期性序列聯(lián)系在一起，所以它

30、們存在一些重要差別。另外，在DFS表達(dá)式中時(shí)域和頻域之間存在著完全的對(duì)偶性，而在序列的傅里葉變換和Z變換的表示式中這一點(diǎn)不存在?？紤]兩個(gè)周期序列、，其周期均為N，若，(1) 線性a+ba+b，周期也為N。由定義式證明。(2) 序列的移位 ，那么。證明： = (3) 調(diào)制特性因?yàn)橹芷谛蛄械母道锶~級(jí)數(shù)的系數(shù)序列也是一個(gè)周期序列，所以有類(lèi)似的結(jié)果，為整數(shù)，有。證明：。(4) 對(duì)稱(chēng)性給出幾個(gè)定義：1) 共扼對(duì)稱(chēng)序列滿足的序列。2) 共扼反對(duì)稱(chēng)序列滿足=的序列。3) 偶對(duì)稱(chēng)序列、奇對(duì)稱(chēng)序列若和為實(shí)序列，且滿足=和=，則被稱(chēng)作偶對(duì)稱(chēng)序列和奇對(duì)稱(chēng)序列。4) 任何一個(gè)序列都可表示成一個(gè)共扼對(duì)稱(chēng)序列和一個(gè)共扼反

31、對(duì)稱(chēng)序列之和(對(duì)實(shí)序列，就是偶對(duì)稱(chēng)序列和奇對(duì)稱(chēng)序列之和)。即有=+，其中=(+)/2，=(-)/2 下面為對(duì)稱(chēng)性： ；=(+)/2 證明：=(任意一個(gè)周期的DFS系數(shù)和主值區(qū)間中的DFS系數(shù)是一樣的)=；=， (67)+=，(68)(5) 周期卷積如果=·，則=， (69)這是一個(gè)卷積和公式，但與線性卷積有所不同，首先在有限區(qū)間0mN-1上求和，即在一個(gè)周期內(nèi)進(jìn)行求和；對(duì)于在區(qū)間0mN-1以外的m值，的值在該區(qū)間上周期地重復(fù)。周期卷積與線性卷積的區(qū)別為：（1） 周期卷積中參與運(yùn)算的兩個(gè)序列都是周期為N的周期序列；（2） 周期卷積只限于一個(gè)周期內(nèi)求和，即m=0,1,N-1；（3） 周期

32、卷積的計(jì)算結(jié)果也是一個(gè)周期為N的周期序列。3.6 離散傅里葉變換(DFT)3.6.1離散傅里葉變換(DFT)離散傅里葉級(jí)數(shù)變換是周期序列，但是在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)信號(hào)的頻譜分析及其他方面的處理工作時(shí)，對(duì)信號(hào)的要求是：在時(shí)域和頻域都應(yīng)是離散的，且都應(yīng)是有限長(zhǎng)。離散傅里葉級(jí)數(shù)雖然是周期序列卻只有N個(gè)獨(dú)立的復(fù)值，只要知道它一個(gè)周期的內(nèi)容，其他的內(nèi)容也就知道了。即把長(zhǎng)度為N的有限序列x(n)看成周期為N的周期序列的一個(gè)周期，這樣利用離散傅里葉級(jí)數(shù)計(jì)算周期序列的一個(gè)周期，也就是計(jì)算了有限長(zhǎng)序列2。設(shè)為有限長(zhǎng)序列，長(zhǎng)度為N，即只在n=0,1,N-1時(shí)有值，其他n時(shí)，=0。我們把它看做是周期為N的周期序列的一個(gè)周

33、期，而把看成是以N為周期的周期延拓，表達(dá)式為 xn=xn (0nN-1)0 (n為其他值)或 xn=xnRN(n)式中RNn=1 (0nN-1)0 (n為其他值)為矩形截?cái)嘈蛄?，?(-<n<+) (70)也可寫(xiě)成=或 (71)(n)N稱(chēng)為余數(shù)運(yùn)算表達(dá)式，或稱(chēng)為取模運(yùn)算(mod)，如果(n)N=n1，則表示n、n1和N之間的關(guān)系為n=n1+rN(其中r為任意整數(shù))。我們用表示xn以N為周期的周期延拓序列?！纠渴侵芷跒镹=9的序列，求n=25對(duì)N的余數(shù)。解 因?yàn)?n=25=29+7故 (25)9=7x25=x(25)9=x(7)通常把的第一個(gè)周期n=0到n=N-1定義為“主值區(qū)間”

34、，相應(yīng)的稱(chēng)xn是的“主值序列”。同理，對(duì)頻域的周期序列也可以看做是有限長(zhǎng)序列X(k)的周期延拓，而有限長(zhǎng)序列X(k)看做是周期序列的主值序列，即=，= (72)從DFS和IDFS的表達(dá)式看出，求和只限定在n=0到N-1及k=0到N-1的主值區(qū)間進(jìn)行，故完全適用于主值序列xn和X(k)。回顧DFS和IDFS的表達(dá)式正變換 Xk=DFSxn=n=0N-1xne-j2Nnk=n=0N-1xnWNnk反變換 xn=IDFSXk=1Nn=0N-1Xkej2Nnk=1Nn=0N-1XkWN-nk從而得出新的定義，即有限長(zhǎng)序列的離散傅里葉變換為正變換 X(k)=DFTxn=n=0N-1xnWNnk (73)

35、反變換 xn=IDFTX(k)=1Nn=0N-1X(k)WN-nk (74)DFT表示離散傅里葉級(jí)數(shù)正變換，IDFT表示離散傅里葉級(jí)數(shù)反變換。由此看出有限長(zhǎng)序列的離散傅里葉變換及周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)之間的關(guān)系：它們僅僅是n、k的取值不同，DFT只取主值區(qū)間的值。注意：對(duì)于有限長(zhǎng)序列時(shí)域和頻域的關(guān)系式中蘊(yùn)含有周期性，從關(guān)系式=，=可以看出其實(shí)有限長(zhǎng)序列都是作為周期序列的一個(gè)周期來(lái)表示，隱含有周期性意義。當(dāng)利用=式子來(lái)計(jì)算時(shí)，如去掉后綴，那么對(duì)于0nN-1之外的n，并不等于零，而是的周期延拓。只是我們感興趣的的值只是在0nN-1區(qū)間內(nèi)，因?yàn)樵谠搮^(qū)間之外的確為零，并且認(rèn)為所感興趣的值也只是在區(qū)間

36、0kN-1內(nèi)，因?yàn)樵谑阶?中只需要這些值。隱含周期性：假設(shè)長(zhǎng)為N的序列是由對(duì)x(t)取樣得來(lái)的，則頻域上已經(jīng)意味著以為周期作周期延拓?，F(xiàn)對(duì)頻域作等間隔取樣，則時(shí)間序列按周期N延拓為，因此利用DFT對(duì)的時(shí)間序列展開(kāi)，相當(dāng)于對(duì)此序列作周期性處理。DFT是連續(xù)傅里葉變換的近似且便于計(jì)算機(jī)計(jì)算 離散傅里葉變換可以看成是連續(xù)數(shù)在時(shí)域、頻域取樣構(gòu)成的變換。只要取出的一個(gè)周期，乘以相應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)就可以恢復(fù)原連續(xù)函數(shù)。對(duì)頻域也可以取出的一個(gè)周期，乘以相應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)就可以恢復(fù)原連續(xù)頻域函數(shù)。DFT變換對(duì)可以唯一的確定的一個(gè)周期及的一個(gè)周期。及都是長(zhǎng)度為N的序列，都有N個(gè)獨(dú)立復(fù)值，因而具有的信息是等量的，給他們乘

37、以相應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)后，復(fù)原的連續(xù)函數(shù)也就確定了，因而離散傅里葉變換可以看做是連續(xù)傅里葉變換的近似。及都是有限長(zhǎng)序列，便于計(jì)算機(jī)計(jì)算，這樣對(duì)連續(xù)函數(shù)的處理就可以代之以離散取樣的處理。這就是為什么要采用離散傅里葉變換的原因?！纠?.6.1】 為了說(shuō)明有限長(zhǎng)序列的DFT，考慮有限長(zhǎng)序列=1，0n4，=0，n為其它值時(shí)。在確定DFT時(shí)，我們可以將看作是一個(gè)長(zhǎng)度5的任意有限長(zhǎng)序列(如長(zhǎng)度為6或10等等)。設(shè)想為長(zhǎng)度N=5的序列，周期序列在所有n上取值都為1。根據(jù)公式，可以得到：=， (3.6.5)即只有在k=0和k=N的整數(shù)倍處才有非零的DFS系數(shù)。畫(huà)出圖3.6.1。在上面的圖中畫(huà)出對(duì)應(yīng)的采樣值。的5點(diǎn)D

38、FT對(duì)應(yīng)于抽取的一個(gè)周期而得到的有限長(zhǎng)序列。畫(huà)出圖形。只有在k=0時(shí)，有一個(gè)值為5，其它點(diǎn)上為0。如果考慮將換成長(zhǎng)度N=10的序列，則基本的周期序列情況為：的一個(gè)周期中，0n4時(shí)，=1，5n9時(shí)，=0，然后開(kāi)始下一個(gè)周期。這時(shí)得到的上圖中02中進(jìn)行等間隔采樣的10個(gè)點(diǎn)。圖3.6.1周期序列的DFTFigure 3.6.1 DFT of the periodic sequence Matlab實(shí)現(xiàn)： 如圖是對(duì)于離散序列xn=cos(2n/5)的20點(diǎn)的離散傅里葉變換的幅值譜，調(diào)用的matlab函數(shù)是fft：3.6.2離散傅里葉變換的性質(zhì)由于DFT是從DFS中得來(lái)的，所以很相像，都是根據(jù)有限長(zhǎng)序列

39、DFT的隱含周期性得出。(1) 線性注意特殊情況下如何定線性組合后序列的長(zhǎng)度。以長(zhǎng)度大的為周期。(2) 序列的圓周/循環(huán)移位定義：1) 與線性移位、周期移位作比較2) 理解：l 將拓成，將右移m位得=，取主值；l 一端出另一端進(jìn)，因?yàn)槭怯邢揲L(zhǎng)；l 均勻分布在一個(gè)圓上，順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(3) 圓周/循環(huán)移位定理若DFTx(n)=X(k), ，則DFTy(n)=X(k)形式與DFS的周期移位相同，表明序列圓周移位后的DFT為乘上相移因子，即時(shí)域中圓周移m位，僅使頻域信號(hào)產(chǎn)生的相移，而幅度頻譜不發(fā)生改變，即|=|。(4) 對(duì)稱(chēng)性和DFS中討論的相似，都是按照DFS來(lái)解，然后取主值區(qū)間值即可。讀者請(qǐng)

40、對(duì)著書(shū)把這些性質(zhì)自己推導(dǎo)一遍。(5) 圓周卷積和/循環(huán)卷積定理和的長(zhǎng)度都為N，如果Y(k)=，則， (75)根據(jù)定理可以求出圓周卷積，當(dāng)然求圓周卷積，可以借助DFT來(lái)計(jì)算，即IDFTY(k)=y(n)?？梢?jiàn)圓周卷積與周期卷積的關(guān)系，在主值區(qū)的結(jié)果相同，所以求圓周卷積是可以把序列延拓成周期序列，進(jìn)行周期卷積，然后取主值的方法來(lái)求。也可以根據(jù)圓周移位的理解來(lái)做，見(jiàn)下面例題：【例3.6.2】令為長(zhǎng)度是N的有限長(zhǎng)序列，且=，則可以看作為一個(gè)長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列，定義為=，如果=，則=，即是在0nN-1內(nèi)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n0個(gè)取樣間隔得到的序列。將放在一個(gè)內(nèi)圓周上，將放在外圓周上，零點(diǎn)重合，然后進(jìn)行順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

41、，看結(jié)果。與上面分析一樣的結(jié)果?！纠?.6.3】 =，若N=L，則N點(diǎn)DFT為，如果將X1(k)和X2(k)直接相乘，得 =，由此可得=N，0nN-1。也可以畫(huà)圖旋轉(zhuǎn)來(lái)解答。以上兩個(gè)例題都是根據(jù)DFT來(lái)計(jì)算圓周卷積，用定義式無(wú)疑較難，用圖形旋轉(zhuǎn)功能也有限?？紤]上面的例2，我們可以把和看作是2L點(diǎn)序列，只要增補(bǔ)L個(gè)零即可?，F(xiàn)在來(lái)計(jì)算增長(zhǎng)序列的2L點(diǎn)圓周卷積。計(jì)算出結(jié)果。然后計(jì)算一下和的線性卷積，看結(jié)果與前面2L點(diǎn)圓周卷積結(jié)果關(guān)系。假設(shè)L=4，則2L=8，則線性卷積和根據(jù)定義式有y(n)=，0m3,0n-m3,得出0n6。當(dāng)0n3時(shí),0mn，y(n)=n+1；當(dāng)4n6時(shí)，n-3m3，y(n)=7-

42、n。計(jì)算8點(diǎn)圓周卷積，結(jié)果和線性卷積一樣。后面我們會(huì)證明一般情況下的結(jié)論。 3.7 CFS、CFT、DTFT、DFS和DFT的區(qū)別與聯(lián)系CFS：傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi) ,用于分析連續(xù)周期信號(hào) ,時(shí)域上任意連續(xù)的周期信號(hào)可以分解為無(wú)限多個(gè)正弦信號(hào)之和，在頻域上就表示為離散非周期的信號(hào)，即時(shí)域連續(xù)周期對(duì)應(yīng)頻域離散非周期的特點(diǎn) 。CFT：傅立葉變換，用于分析連續(xù)非周期信號(hào)，由于信號(hào)是非周期的，它必包含了各種頻率的信號(hào)，所以具有時(shí)域連續(xù)非周期對(duì)應(yīng)頻域連續(xù)非周期的特點(diǎn)。 DTFT：離散時(shí)間傅立葉變換 ，它用于離散非周期序列分析，由于信號(hào)是非周期序列，它必包含了各種頻率的信號(hào)，所以對(duì)離散非周期信號(hào)變換后的頻譜為連

43、續(xù)的，即有時(shí)域離散非周期對(duì)應(yīng)頻域連續(xù)周期的特點(diǎn)。 DFS：離散時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù) ，離散周期序列信號(hào)，取主值序列 ，得出每個(gè)主值在各頻率上的頻譜分量，這樣就表示出了周期序列的頻譜特性。DFT：離散時(shí)間傅里葉變換，離散周期序列信號(hào)DFS的主值序列。連續(xù)時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)把一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)轉(zhuǎn)換成了一個(gè)離散諧波數(shù)列Xk，而連續(xù)時(shí)間傅里葉變換把一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)轉(zhuǎn)換成了一個(gè)連續(xù)頻率函數(shù)。他們都把原信號(hào)從時(shí)域信號(hào)變成另外一種形式，但是所包含的信息不變，傅里葉級(jí)數(shù)的一個(gè)顯著缺點(diǎn)就是它只能描述無(wú)限時(shí)間的周期信號(hào)。傅里葉變換就是為了使其能夠描述所有周期和非周期的無(wú)限信號(hào)而導(dǎo)出的，因而是對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)的一種拓展。表一：幾種

44、傅里葉信號(hào)對(duì)比圖變換對(duì)時(shí)域頻域CFSXk=1T0-T0/2T0/2x(t)e-j2kftdtxt=k=-+Xkej2kft連續(xù)周期非周期離散CFTXf=-+x(t)e-j2ftdtxt=12-+X(f)ej2ftdw連續(xù)非周期非周期連續(xù)DTFTXejw=n=-+Xne-jwnxn=12-+X(ejw)ejwndw離散非周期周期連續(xù)DFSXk=n=0N-1xne-j2Nnkxn=1Nn=0N-1Xkej2Nnk離散周期周期離散DFTX(k)=n=0N-1xnWNnk xn=1Nn=0N-1X(k)WN-nk離散非周期非周期離散在下圖中我們可以更好的理解上述區(qū)別及聯(lián)系可以看出，時(shí)域的連續(xù)函數(shù)照成頻

45、域是非周期的頻譜函數(shù)，而頻域的離散頻譜就與時(shí)域的周期時(shí)間函數(shù)相對(duì)應(yīng)；時(shí)域的連續(xù)造成頻域是非周期的譜，而時(shí)域的非周期性造成頻域是連續(xù)的譜密度函數(shù)；時(shí)域的離散化造成頻域的周期延拓，而時(shí)域的非周期對(duì)應(yīng)于頻域的連續(xù)11。3.8 有限長(zhǎng)序列的線性卷積和圓周卷積周期卷積與線性卷積的區(qū)別為：（4） 周期卷積中參與運(yùn)算的兩個(gè)序列都是周期為N的周期序列；（5） 周期卷積只限于一個(gè)周期內(nèi)求和，即m=0,1,N-1；（6） 周期卷積的計(jì)算結(jié)果也是一個(gè)周期為N的周期序列。已知N，M，作線性卷積y(n)=x1(n)*x2(n)= ，其中0mN-1，0n-mM-1，得出0nM+N-2，即y(n)長(zhǎng)度最大為M+N-1。對(duì)、

46、分別補(bǔ)零，使之長(zhǎng)度為L(zhǎng)，然后進(jìn)行L點(diǎn)周期卷積(圓周卷積等于周期卷積的主值區(qū)間)。這樣有：=，=，則進(jìn)行周期為L(zhǎng)的周期卷積得= = =(求和之在一個(gè)周期，所以x1(m+qL)中只能取q=0) =， (3.7.1)上式說(shuō)明了有限長(zhǎng)序列、的線性卷積的周期延拓構(gòu)成了周期序列、的周期卷積，其中和分別是由有限長(zhǎng)序列、形成的。這要L滿足一定條件，線性卷積就等于周期卷積的主值周期，而這也正好是圓周卷積的結(jié)果。也就是說(shuō)，只要LN+M-1，線性卷積就等于圓周卷積。寫(xiě)出線性卷積和圓周卷積的定義式。因?yàn)樵趯?shí)際情況中，處理的多半是信號(hào)通過(guò)一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)，求輸出的信號(hào)形式。即實(shí)際情況中常常要求線性卷積，而知道圓周卷積

47、可以在某種條件下代替線性卷積，并且圓周卷積有快速算法，所以常利用圓周卷積來(lái)計(jì)算線性卷積。3.9 用DFT計(jì)算模擬信號(hào)的傅里葉分析DFT的主要應(yīng)用之一就是分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻率成分，如在語(yǔ)音的分析和處理中語(yǔ)音信號(hào)的頻率分析有助于音腔諧振的辨識(shí)與建模。那么要求我們知道在DFT中代表的頻率成分有哪些。有一模擬信號(hào)(可以是非周期信號(hào)，也可以是周期信號(hào))，我們要用DFT來(lái)分析它的頻率成分。先對(duì)該信號(hào)作等間隔采樣(如果是非周期信號(hào)，則進(jìn)行截?cái)?，取有限長(zhǎng)；周期信號(hào)，則取一個(gè)周期進(jìn)行采樣)，采樣周期為T(mén)，采樣率fs=1/T，得到x(nT)。時(shí)域離散對(duì)應(yīng)頻域的周期延拓，周期為，其實(shí)這時(shí)的頻域曲線就是序列的傅里葉

48、變換X(ejw)。s是模擬域角頻率，對(duì)應(yīng)的數(shù)字域角頻率為w=s，T=2。頻率是連續(xù)的、周期的，為得到X(k)，只需對(duì)頻率進(jìn)行等間隔采樣即可。取出一個(gè)周期，對(duì)一個(gè)周期進(jìn)行N點(diǎn)采樣。讓w=(2/N)k就可以得到X(k)。這樣兩個(gè)離散點(diǎn)間間隔用頻率表示為：w0=t，這是數(shù)字基頻3。圖3.9.1利用DFT對(duì)連續(xù)時(shí)間傅里葉變換逼近的全過(guò)程Figure 3.9.1 Process of approaching to the continuous time Fourier Transform using DFT 頻域的離散對(duì)應(yīng)時(shí)域的周期延拓，周期為。x(n)d(n)是一個(gè)有限長(zhǎng)序列，令為x(n)，則周期延拓

49、后得到的序列(周期為N)有關(guān)系：=，將與時(shí)間有關(guān)的量換為nT或NT，則周期為NT=N/fs=T0。利用DFT計(jì)算連續(xù)時(shí)間信號(hào)時(shí)可能出現(xiàn)的幾個(gè)問(wèn)題:1) 頻率響應(yīng)的混疊失真抽樣定理要求，一般取。如不滿足該條件，則會(huì)產(chǎn)生頻域響應(yīng)的周期延拓分量重疊現(xiàn)象，即頻率響應(yīng)的混疊失真。根據(jù)=fs/N，若增加fs，而N固定時(shí)，則fo要增加，導(dǎo)致分辨率下降。反之，要提高分辨率，即fo減小，當(dāng)N給定時(shí)，則導(dǎo)致fs的減小。若想不發(fā)生混疊，則要減小fh。這樣要想兼顧fh和fo，只有增加N。得到，這是實(shí)現(xiàn)DFT算法必須滿足的最低條件。2) 頻譜泄漏實(shí)際情況下，我們?nèi)〉男盘?hào)都是有限長(zhǎng)的，要把信號(hào)x(n) 采取截?cái)鄶?shù)據(jù)的過(guò)程

50、，即對(duì)原始序列作加窗處理(見(jiàn)上面的圖)使成為有限長(zhǎng)。時(shí)域的截?cái)嘣跀?shù)學(xué)上的意義為原連續(xù)時(shí)間信號(hào)乘上一個(gè)窗函數(shù)。時(shí)域兩函數(shù)相乘，在頻域是其頻譜的卷積。信號(hào)的頻譜與窗函數(shù)的卷積必然產(chǎn)生拖尾現(xiàn)象，造成頻譜泄漏。減小泄露的方法，可以取更長(zhǎng)的數(shù)據(jù)，這樣與原始數(shù)據(jù)就越相近，缺點(diǎn)運(yùn)算量加大；可以選擇窗的形狀，從而使窗譜的旁瓣能量更小。后面我們會(huì)學(xué)到。3) 柵欄效應(yīng)DFT上看到的譜線都是離散的，而從序列的傅里葉變換知道譜線是連續(xù)的，所以相當(dāng)于是看到譜的一些離散點(diǎn)，而不是全部。感覺(jué)像是透過(guò)柵欄看到的情景，稱(chēng)為柵欄效應(yīng)。減小柵欄效應(yīng)的一個(gè)方法就是要是頻域抽樣更密，即增加頻域的抽樣點(diǎn)數(shù)N，在不改變時(shí)域數(shù)據(jù)的情況下，必

51、須在時(shí)域數(shù)據(jù)的末端添加一些零點(diǎn)。4) 頻率分辨率增加分辨率只有通過(guò)加大取樣點(diǎn)N，但不是補(bǔ)零的方式來(lái)增加N，因?yàn)檠a(bǔ)零不是原始信號(hào)的有效信號(hào)。此處，增加采樣點(diǎn)數(shù)不是指通過(guò)增加采樣頻率來(lái)增加，而是通過(guò)延長(zhǎng)采樣時(shí)間來(lái)增加采樣點(diǎn)數(shù)。如果不延長(zhǎng)采樣時(shí)間，僅僅增加采樣頻率并不能增加其物理的頻域分辨率。吉布斯現(xiàn)象 Gibbs phenomenon若用x(t)表示原始信號(hào)，xN(t)表示有限項(xiàng)傅立葉級(jí)數(shù)合成所得的信號(hào)，發(fā)現(xiàn)有趣的現(xiàn)象是方波的xN(t)在不連續(xù)點(diǎn)附近部分呈現(xiàn)起伏，這個(gè)起伏的峰值大小似乎不隨 N 增大而下降。吉布斯證明：情況確實(shí)是這樣，而且也應(yīng)該是這樣。隨著N 增加，部分和的起伏就向不連續(xù)點(diǎn)壓縮，但是對(duì)任何有限的 N 值，起伏的峰值大小保持不變 ，這就是吉布斯現(xiàn)象。3.10 實(shí)驗(yàn)【例34】設(shè)x(n) = R5(n) ,將x(n) 以N = 10為周期作周期延拓，得到的周期信號(hào)如圖33所示，求的DFS12。圖33 周期序列【解】：由定義式(325)，得 = DFS = = = = = = = 其幅度特性如圖34所示。本例的MATLAB程序如下：圖34 周期序列的DFS變換幅度特性N = 10； %序列周期n = 0:N - 1; k = 0:N - 1;xn = ones(1,5),zeros(1,5); %由ones和ze