奧賽輔導(dǎo)第7講振動與波動(湖南郴州市湘南中學(xué)

1、第七講振動與波動湖南郴州市湘南中學(xué)陳禮生一、知識點(diǎn)擊x,且其所受合力 F1簡諧運(yùn)動的描述和基本模型簡諧振動的描述：當(dāng)一質(zhì)點(diǎn)，或一物體的質(zhì)心偏離其平衡位置k滿足F kx(k 0)，故得axm則該物體將在其平衡位置附近作簡諧振動。簡諧運(yùn)動的能量：一個(gè)彈簧振子的能量由振子的動能和彈簧的彈性勢能構(gòu)成，即E 1m 2 1kx21kA22 2 2irr簡諧運(yùn)動的周期：如果能證明一個(gè)物體受的合外力Fkx，那么這個(gè)物體一定做簡諧運(yùn)動，而且振動的周期 T2 ，式中m是振動物體的質(zhì)量。彈簧振子：恒力對彈簧振子的作用：只要m和k都相同，則彈簧振子的振動周期 T就是相同的，這就是說，一個(gè)振動方向上的恒力一般不會改變振

2、動的周期。多振子系統(tǒng)：如果在一個(gè)振動系統(tǒng)中有不止一個(gè)振子，那么我們一般要找振動系統(tǒng)的等效質(zhì)量。懸點(diǎn)不固定的彈簧振子： 如果彈簧振子是有加速度的， 那么在研究振子的運(yùn)動時(shí)應(yīng)加上 慣性力.單擺及等效擺：單擺的運(yùn)動在擺角小于50時(shí)可近似地看做是一個(gè)簡諧運(yùn)動，振動的周期為T 2 石，在一些“異型單擺”中，I和g的含義及值會發(fā)生變化。(6)同方向、同頻率簡諧振動的合成：若有兩個(gè)同方向的簡諧振動，它們的圓頻率都是3,振幅分別為Al和A2,初相分別為 !和2，則它們的運(yùn)動學(xué)方程分別為x-i A cos( t Jx2 A2cos( t 2)因振動是同方向的， 所以這兩個(gè)簡諧振動在任一時(shí)刻的合位移x仍應(yīng)在同一直

3、線上， 而且等于這兩個(gè)分振動位移的代數(shù)和，即x x1 x2由旋轉(zhuǎn)矢量法，可求得合振動的運(yùn)動學(xué)方程為x Acos( t )這表明，合振動仍是簡諧振動，它的圓頻率與分振動的圓頻率相同，而其合振幅為A 、A A 2AA2cos( 2 i)合振動的初相滿足tanA1 sin 1A2 sin 2A cos 1A cos 22.機(jī)械波：(1)機(jī)械波的描述：如果有一列波沿x方向傳播，振源的振動方程為y=Acos 31，波的傳播速度為，那么在離振源x遠(yuǎn)處一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動方程便是y A cos (t -)，在(2)簡諧波的波動方程： 平面簡諧波。如果一列簡諧波在此方程中有兩個(gè)自變量：t和x，當(dāng)t不變時(shí)，這個(gè)方程描

4、寫某一時(shí)刻波上各點(diǎn)相對平衡位 置的位移；當(dāng)x不變時(shí)，這個(gè)方程就是波中某一點(diǎn)的振動方程.簡諧振動在均勻、無吸收的彈性介質(zhì)中傳播所形成的波叫做 o xy平面內(nèi)，以波速u沿ox軸正方向傳播，振源(設(shè)其位于坐標(biāo)原點(diǎn))的振動方程為y Acos( t)，由于波是振動狀態(tài)的傳播，故知坐標(biāo)原x點(diǎn)的振動狀態(tài)傳播到離振源x(x 0)處要滯后t0的時(shí)間。這表明若坐標(biāo)原點(diǎn)振動了tu時(shí)間，x處的質(zhì)點(diǎn)只振動了 t t0的時(shí)間，于是x處振動質(zhì)點(diǎn)的位移可表為xy A cos (t ) u顯然，上式適用于表述 ox軸上所有質(zhì)點(diǎn)的振動，它就是平面簡諧波的波函數(shù)，也常 稱為平面簡諧波的波動方程。x同理，如果簡諧波沿 ox軸負(fù)方向傳

5、播，則波函數(shù)為y A cos (t -)ux為了加深對波函數(shù)物理含義的理解，下面以y A CoS (t )為例做討論。u當(dāng)x X。時(shí)(好似用攝像機(jī)對著坐標(biāo)為X。這一質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行拍攝)，則y Acos (t °)Acos t ()。它表示的是坐標(biāo)為 x0的質(zhì)uu點(diǎn)在不同時(shí)刻的位移，即該處質(zhì)點(diǎn)的振動方程。當(dāng)t to時(shí)(好似用照相機(jī)對一組質(zhì)點(diǎn)在 to時(shí)刻進(jìn)行照相)，則xy Acos (to)uAcosto)。它表示在給定的to時(shí)刻各質(zhì)點(diǎn)的位移分布情況，相應(yīng)的圖像稱為to時(shí)刻的波形圖。3.波的干涉和多普勒效應(yīng)波的疊加：幾列波在同一介質(zhì)中傳播時(shí)，在它們相遇的區(qū)域內(nèi)，每列波都將保持各 自原有的頻率、

6、波長和傳播方向，并不相互干擾.波的這種性質(zhì)叫做波的獨(dú)立性.因此在幾列波重疊的區(qū)域內(nèi)，每個(gè)介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)都將同時(shí)參與幾列波引起的振動，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動都是由幾個(gè)分振動合成的.故在任一時(shí)刻，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移都是幾列波各自的分振動引起的位移的 矢量和.這種現(xiàn)象稱為波的疊加.波的干涉：兩列頻率相同、振動方向相同、相位差恒定的波叫做相干波。兩列相干 波傳到同一個(gè)區(qū)域， 可使某些位置的質(zhì)點(diǎn)振動加強(qiáng)，某些位置的質(zhì)點(diǎn)振動減弱， 而且振動加強(qiáng)和振動減弱的區(qū)域相互間隔，這種現(xiàn)象叫做波的干涉。多普勒效應(yīng)：當(dāng)聲源和觀察者之間存在相對運(yùn)動時(shí)，會發(fā)生收聽頻率和聲源頻率不 一致的現(xiàn)象.該種現(xiàn)象神稱為多普勒效應(yīng).為了簡單，這里僅討論波

7、源或觀察者的運(yùn)動方向與波的傳播方向共線的情況.0 U0設(shè)波速為0，波的頻率為f，接收到的頻率為 f(b)波源以速度向觀察者運(yùn)動:(a)觀察者以速度 u向波源運(yùn)動:(c)波源和觀察者都運(yùn)動:二、方法演練類型一、根據(jù)簡諧振動的基本模型和各種變形的振動模型，求振動周期是振動問題的k一種基本類型，解題中要注意簡諧振動的動力學(xué)特征F kx或a x的形式，從中得m出有關(guān)等效量。 例1. 一簡諧運(yùn)動的系統(tǒng)如圖 7 1所示，不計(jì)一切摩擦，繩不可伸長，mi、m2及彈簧的勁度系數(shù) k已知求m2上下振動的周期。 分析和解：本題是一個(gè)彈簧振子的變式模型，解題時(shí)要根據(jù)受力分析 由牛頓運(yùn)動定律得出振動的動力學(xué)特征，然后由

8、周期公式就可求出其 振動周期設(shè)某一時(shí)刻彈簧伸長分析 mi： kx migx，繩上張力是Ft。分析 m2： Ftm2gam2 2LBr消去 Ft： 2kx 2mig m2g a(2mi ),假設(shè)振子平衡時(shí)彈簧伸長x0,此時(shí)mi、m2的加速度為零，則有2k x0 m2g 2m1g設(shè)mi偏離平衡位置的位移為x，則x xx02k( xX。) 2mg m2g a(2mim2)2竿絆代入式，可得2k xa(2mim2F k x a(m<-)4所以這個(gè)振子系統(tǒng)的等效質(zhì)量是m1-，周期為T44mm24k例2.如圖72所示，輕桿AB左端A被光滑鉸鏈固定，右端 B被一勁度系數(shù)為k2的彈簧 拉住，彈簧的上端系

9、于一固定點(diǎn)D。桿上的C點(diǎn)系有另一勁度系數(shù)為 ki的輕彈簧，彈簧的下端系有一質(zhì)量為 m的物體。系統(tǒng)平衡時(shí)，桿恰處于水平而兩彈簧軸線均沿豎直 方向.已知AC = a, AB = b,求桿繞A點(diǎn)在豎直平面內(nèi)作微小振動的周期.分析和解：該題的解答過程即將整個(gè)系統(tǒng)等效為一彈簧振子并求其勁度系數(shù)的過程：將物體移動x,計(jì)算出其受力為f=-k'x,則k，即為等效的勁度系數(shù).注意到系統(tǒng)在初始狀態(tài)下已平衡，所以可以不考慮重力的影響.現(xiàn)設(shè)物體偏離平衡位置一極小位移x，由此而引起兩個(gè)彈簧的長度變化為X2，則有 xaxx2b 2又AB為輕桿，其受合力矩必定為0.x2 b由以上兩式解得a2kib2k2 b2k2物

10、體受力滿足fkib2k1k2a2kib2k2c STm(a2kib2k2)b2kik2類型二、波的干涉問題大多是問題簡單，解答繁復(fù)，根 據(jù)矢量疊加原理和波的干涉特征，大多產(chǎn)生多值問題，在處 理這類問題時(shí)，一般先不急于代人數(shù)據(jù)，文字運(yùn)算有助于從 物理意義角度思考問題.例3.如圖7 3所示，在半徑為45 m的圓形跑道的P點(diǎn)和圓心Q點(diǎn)各有一個(gè)相同的揚(yáng)聲器， 發(fā)出的都是波長10 m的完全 相同的聲波，一個(gè)人從直徑PH的H點(diǎn)出發(fā)，沿逆時(shí)針方向繞 圓周走一圈，問他離開 H點(diǎn)后，到達(dá)P點(diǎn)前共聽到幾次最 弱的聲音？分析和解：本題是根據(jù)波的干涉原理來解決聲波干涉的現(xiàn)象，解題時(shí)可從波程差和振動加強(qiáng)或減弱的條件出發(fā)

11、。如圖7 4所示，設(shè)人走到圓弧上的 A點(diǎn)處，/ APH= 0, 則P、Q兩點(diǎn)波源到 A的路程差厶S滿足： S= 2Rcos 0-R考慮人的運(yùn)動范圍，對于0,有 02R S R為使人能聽到最弱的聲音，S又應(yīng)滿足： S -(2 n 1) nN 2結(jié)合，將 R=45 m , 入=10 m代入，得到N=0 ,± 1, ± 2, ± 3,± 4,-5時(shí)，人能聽到最弱的聲音，共10次。類型三、波動問題的最大特征就是其多解性，包括速度的正負(fù)方向，距離相差整數(shù)倍 波長時(shí)振動的完全等效，都應(yīng)仔細(xì)考慮，在處理這類問題時(shí)，一般應(yīng)先求出產(chǎn)生多解量的 表達(dá)式，然后通過文字運(yùn)算得到

12、所求量的表達(dá)式，最后根據(jù)有關(guān)物理意義確定題解。 例4.圖7 5中的實(shí)線和虛線分別表示沿X軸方向傳播的正弦波 t=0和t=1s時(shí)刻的波形。(1 )求該波的頻率和波速；(2)寫出X=0及X=1 m處的質(zhì)點(diǎn)振動方程。分析和解：本題的特點(diǎn)是波的傳播方向不確定和周期的不確定(或距離相差整數(shù)倍波長時(shí)振 動的完全等效)形成多解。(1)由題給圖象可知,如果波向x正方向傳播，則兩時(shí)間間隔內(nèi)該機(jī)械波可能向前傳播了 (n，其中 n=0, 1, 2, 3,2(n 1)m/s,1(n )Hz4同理，如果波沿x軸負(fù)方向傳播(n |)4_t(2 )如果波向32(n )m/s, f4x軸正方向傳播，則有(n3)Hz4x=0

13、時(shí)，yAcos( t 0)O.OIcos(4nx=lm 時(shí)，yA cos( t 0)O.OIcos(4n 1) t2同理，如果波向x軸負(fù)方向傳播,則有x=0 時(shí)，y 0.01cos (4n 3)32x=1 時(shí)，y 0.01cos (4nt2類型四、等效擺的問題也簡諧振動的另一基本模型單擺的變形模型，求振動周期時(shí)一 般考慮等效擺長和等效重力加速度，但對于剛體構(gòu)成的復(fù)擺，其等效量的計(jì)算往往要考慮 質(zhì)心及剛體的轉(zhuǎn)動慣量才能簡化解題過程。例5.如圖76所示，由勻質(zhì)金屬絲做成的等腰三角形可在圖示平面內(nèi)作小振幅振動在分析和解：該題中，懸掛的三角形架為一復(fù)擺，而復(fù)擺的周期公式為，對象mgh是剛體，I為剛體對

14、懸點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量,h為質(zhì)心與懸點(diǎn)間的距離另外，題中得出兩位置相異、周期相同的置點(diǎn)與質(zhì)量心間的距離S1、S2滿足S1 S2 丫，與m , I無關(guān)，這是4個(gè)非常重要的結(jié)論。如圖7 7,設(shè)三個(gè)懸點(diǎn)分別距金屬架 Sa, Sb, Sc,對于懸 掛點(diǎn)距質(zhì)心為S的復(fù)擺的周期T,討論如下：T 2210 mS2mgSS2T2gS m 0確定Sa=Sc=5cm, SbS：BC221 6cm式的兩解為 Sa=5 cm , Sb=21.6 cm即 t 21.04s類型五、多普勒效應(yīng)的問題是波源或觀察者的運(yùn)動與波的傳播三者間的相對運(yùn)動的問 題，一般地說可化為行程問題來解，但解題過程會比較復(fù)雜，所以直接用推導(dǎo)得出的公式 比

15、較簡單。例6. 個(gè)人站在廣場中央，對著甲、乙、丙三個(gè)伙伴吹哨子（頻率1200Hz),、乙、丙距廣場中央都是 100m遠(yuǎn)，且分別在廣場中央的南東北面，第四個(gè)伙伴丁從西面乘車以 40m/s的速度趕來，忽然有一陣穩(wěn)定的風(fēng)由南 向北吹來，速度為速度為10m/s,如圖78所示，求甲、乙、丙、丁四人聽到哨聲的頻率 各是多少？已知當(dāng)時(shí)聲速為320m/s。分析和解：由于風(fēng)吹動引起介質(zhì)相對聲源和觀察者以速度 F運(yùn)動,多普勒1200Hz對甲:1200 Hz對乙:由于所以對丙:對丁:，應(yīng)用T04甲南北西圖78F在東西方向無速度分量，故1200Hz1200Hzu=0,VV 040m/s,320 40320120013

16、50Hz其中Io為系統(tǒng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量。將式視為一關(guān)于S的一元二次方程，則當(dāng) T為G位于AC的中點(diǎn)，三、小試身手R，如圖7 一 9所示地球是一個(gè)密度均勻的球體，不考慮阻力，地球半徑為圖792根勁度系數(shù)為 K的輕彈簧水平放置， 一端固定，另一端連接一個(gè)質(zhì)量為 m的物塊，放 在水平桌面上，現(xiàn)將物塊沿彈簧長度方向拉離平衡位置0,使它到0點(diǎn)距離為x0時(shí)靜止釋放，此后物體在平衡位置附近來回運(yùn)動，由于摩擦，振動不斷衰減，當(dāng)物塊第n次速度為零時(shí)，恰好停在平衡位置處，求物塊與桌面間的摩擦因數(shù).3. 沿-X方向傳播的簡諧波在 t=0時(shí)刻的波形如圖7 一 10所示，該波的振幅 A，波速u和 波長入均已知.(1)

17、試寫出該波的波動表達(dá)式.(2) 試畫出t T時(shí)刻的波形圖，其中 T為周期24. 一固定的超聲源發(fā)出頻率為100kHz的超聲波，一汽車向超聲源迎面駛來，在超聲源處接收到從汽車反射回來的超聲波，其頻率從差頻裝置中測出為110kHz，設(shè)空氣中聲波速度為300 m/s，計(jì)算汽車行駛速度.解：設(shè)汽車相對于空氣以速度 u趨近超聲源.從超聲源發(fā)出的超聲波到達(dá)汽車時(shí)， 汽車 是運(yùn)動的接收裝置， 超聲波從汽車反射時(shí)，汽車又是以速度 u運(yùn)動的聲源.因此，從固定的接收裝置接收到的反射波頻率為由此可解出 u為u 即為汽車的行駛速度.110 100110 100uu300 14.28m/ s5. 平面簡諧波向負(fù) y方向

18、傳播，振幅為 6cm，圓頻率6 (rad / s)，當(dāng) t=2s 時(shí)，距原點(diǎn)O 12 cm處的A點(diǎn)的振動狀態(tài)為xA 3cm ,A 0 ;而距原點(diǎn)22cm處的B點(diǎn)的振動狀態(tài)為xB 0 ,出t=0時(shí)的波形圖.0,設(shè)波長10cm，求波動方程（用余弦函數(shù)表示）并畫6. 同一媒質(zhì)中有兩個(gè)平面簡諧波，波源作同頻率、同方向、同振幅的振動，二波相對傳播,波長為8m，波傳播方向上 A、B兩點(diǎn)相距20m，一波在A處為波峰時(shí)，另一波在 B處位相為-，求AB連線上因干涉而靜止的各點(diǎn)的位置。AB0*圏 丫一117.兩輛汽車A與B，在t=0時(shí)從十字路口O處分別以速度VA和VB沿水平的、相互正交的公路勻速前進(jìn)，如圖所示.汽

19、車A持續(xù)地以固定的頻率 的司機(jī)所檢測到的笛聲頻率.已知聲速為 u,且當(dāng)然有V0鳴笛，求在任意時(shí)刻u > Va、VB.t汽車BJ1A ，GBSiI1圖參考解答1解：考察質(zhì)量為 m的物體在隧道中離地心距離 r時(shí)的受力，它可以看作受兩個(gè)力：一是 半徑為r的球體所產(chǎn)生的引力，一是內(nèi)外半徑為r和R的均勻球殼對 m所產(chǎn)生的引力，如圖1所示.球殼對A點(diǎn)的物體的m的引力，等于組成球殼的所有質(zhì)點(diǎn)對m產(chǎn)生引力的矢量和，現(xiàn)將球殼分成許多薄殼層，如圖2所示，過A點(diǎn)可作n對圓錐體（n很大）,圖中只畫出一對.圓錐體將殼層分割成小體積元厶 V，由萬有引力定律.它們對A點(diǎn)的m的引力為m2 m2 G 2r2i G占式中

20、m1r , m2S2因?yàn)閮蓤A錐體的頂角（立體角）相同，則r；S222ri由以上三式可得f1f20,大小為所以整個(gè)殼層上的質(zhì)點(diǎn)對 m的引力的合力等于零.地球?qū)?m的引力，就等于以物體距地心的距離 r為半徑的球體所產(chǎn)生的引力，力指向地心Mm其中M為地球質(zhì)量，因罟g所以F號物體作簡諧振動，由，振動角頻率物體從隧道一端到達(dá)另一端所需時(shí)間t T -22.解：由于摩擦阻力的存在，物體的振動為阻尼振動.設(shè)物塊從距平衡位置為X。處從靜止開始運(yùn)動，以后各次速度為零時(shí)到平衡位置的距離分別為X2Xn 2、Xn 1 ( Xn為已知），逐次應(yīng)用動能定理有mg(X。x)mg( X1 X2)1 2 1 2KX0KX12 2

21、1 2 1 2 KXiKX22 22kx2 2 2kx2 1mg(Xn 2 Xn 1)*Kx；1mg(Xn 1)從以上方程分別可得mg KX1X2 +2 mgK2 mgXn 2 Xn 1 +KXn2 mgK各項(xiàng)相加得Xo=2nmgK，即2nmg Xo3解：（1）設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)0點(diǎn)的振動為y（0, t）Acos( t初始條件t = 0時(shí)，y= - AAcos于是O點(diǎn)的振動為y(O, t) Acos( t )在+X軸上任取一點(diǎn)P,其坐標(biāo)為x，因波沿-亠2刖_X方向傳播，因而 P點(diǎn)的相位比O點(diǎn)超x，于是P點(diǎn)的振動為y(x, t) Acos(x)2A cos (utx)此即為波動表達(dá)式.(2 )如圖所示，

22、與相比，t T時(shí)刻的波形應(yīng)向-X方向傳播了2t=0時(shí)刻的波形(圖中虛線)的距離，如圖中實(shí)線所示.24.解：設(shè)汽車相對于空氣以速度 u趨近超聲源.從超聲源發(fā)出的超聲波到達(dá)汽車時(shí)，汽車 是運(yùn)動的接收裝置， 超聲波從汽車反射時(shí)，汽車又是以速度u運(yùn)動的聲源.因此，從固u定的接收裝置接收到的反射波頻率為由此可解出u為u110 100110 100300 14.28m/ s即為汽車的行駛速度.5.解：設(shè)波動方程為 x 6cos(tB點(diǎn)在t=2s時(shí)的狀態(tài)為xB 6cos 6 (2 芻36cos 6 (2 空)故 6 (222)2nA點(diǎn)在t=2s時(shí)的狀態(tài)為xA 6cos 6 (2 12)36cos 6 (21

23、2)2n因A、B之間的距離小于波長將代入式,應(yīng)在0到2，所以和式中的n應(yīng)相等，由-式得 72m/s4或233內(nèi)取值，得Jn6 nI H1-1»共-414 戈故所求的波動方程為y 4x 6cos 6 (t )7232波長 T24cm當(dāng)t=0時(shí)，波形如圖所示.6解：由已知條件知，此二平面簡諧波為相干波，在二波源間的連線上形成駐波如果以A為原點(diǎn)建立0X坐標(biāo)軸，如圖所示，以甲波在A點(diǎn)位相為零的時(shí)刻作為計(jì)時(shí)起點(diǎn).、 2在A、B間，甲波的方程為 y甲 ACOS( tX)、 2乙波的方程為y乙 Acos( t x )當(dāng)甲波使A質(zhì)元位移最大正值時(shí),2t x2112乙波在B點(diǎn)的位相為因t=0時(shí)，B處X20mb a (2n1)當(dāng)AB間的點(diǎn)因干涉而靜止時(shí)，甲、乙