九年級(jí)數(shù)學(xué)三點(diǎn)的軌跡浙江版知識(shí)精講

1、九年級(jí)九年級(jí)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)三點(diǎn)的軌跡三點(diǎn)的軌跡浙江版浙江版【同步教育信息同步教育信息】一. 本周教學(xué)內(nèi)容： 三點(diǎn)的軌跡教學(xué)目標(biāo) 1. 了解點(diǎn)的軌跡的定義。 2. 掌握五種根本軌跡即軌跡定理 1、2、3、4、5。 3. 學(xué)會(huì)利用定理 1、2、3、4、5 求簡(jiǎn)單軌跡。 4. 初步學(xué)會(huì)交軌法作圖。二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)： 1. 重點(diǎn)：有關(guān)軌跡的 5 個(gè)定理及軌跡在研究點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)和作圖方面的應(yīng)用。 2. 難點(diǎn)： 1如何利用軌跡作圖，軌跡的探求方法。 2如何把運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，作圖問(wèn)題歸結(jié)為點(diǎn)的軌跡問(wèn)題來(lái)解決?！镜湫屠}典型例題】 例 1. 求以下點(diǎn)的軌跡。 1當(dāng)?shù)男边?AB 固定時(shí)，求直角頂點(diǎn) C 的軌跡。Rt ABC 2

2、O 及弦 AB，求與 AB 平行的弦的中點(diǎn)的軌跡。 解：解：1如圖，設(shè) O 為 AB 的中點(diǎn)，連結(jié) CO，那么。因?yàn)?AB 固定，COAB12所以 O 為定點(diǎn)，CO 為定長(zhǎng)。由定理“到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡，是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓，得所求軌跡是以 AB 為直徑的圓。 由于圓上 A，B 兩點(diǎn)不能作為以 AB 為斜邊的直角三角形的直角頂點(diǎn)，故應(yīng)除去。 2如圖，動(dòng)點(diǎn)是與 AB 平行的弦的中點(diǎn)，不變量是O 的弦 AB，根據(jù)垂徑定理，弦中點(diǎn)到 A、B 的距離相等，由定理 2，所求中點(diǎn)的軌跡是與弦 AB 垂直的直徑除去兩端點(diǎn)及 AB 的中點(diǎn) 精析：精析：求適合某個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡的根本思路是把

3、題設(shè)中的條件轉(zhuǎn)化為課本中某一個(gè)軌跡定理的條件，從而根據(jù)軌跡定理的結(jié)論得出所求軌跡。在求出軌跡后，要檢查所得的圖形中是否包含了某些不合題意的點(diǎn)，如果有，那么應(yīng)當(dāng)將它們除去。 例 2. 求以下點(diǎn)的軌跡，并畫(huà)出圖。 1在半徑為 5cm 的圓中，長(zhǎng)為 6cm 的動(dòng)弦的中點(diǎn)的軌跡。 2與相交于 A、B 兩點(diǎn)的等圓都外切的動(dòng)圓圓心的軌跡。 解：解：1如圖，連結(jié) OC、OA，其中 C 為弦 AB 的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理得：OCAB。 所以，所以O(shè)COAAC222OC 53422 所以以長(zhǎng)為 6cm 的線段為弦，且在半徑為 5cm 的圓中運(yùn)動(dòng)所得的弦的中點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn) O 為圓心、半徑為 4cm 的一個(gè)圓。 2

4、設(shè) P 是所求軌跡上的任意一點(diǎn)，連結(jié)，那么POPO12、POPO12 又因?yàn)?，所?AB 垂直平分O AO A12O O12 而線段 AB 上的任意一點(diǎn)都不可能是和O1，O2都外切的動(dòng)圓圓心 所以所求軌跡是的中垂線 AB，并除去線段 AB，如下圖。O O12 精析：精析：在分析求點(diǎn)的軌跡的思路時(shí)，可以設(shè)出一種有代表性的情況，并畫(huà)出圖形如本例第1小題中，設(shè) AB 是半徑為 5cm 的O 中的一條長(zhǎng)為 6cm 的弦，C 是 AB 的中點(diǎn)，然后分析當(dāng) AB 運(yùn)動(dòng)時(shí)，中點(diǎn) C 如何變化。這樣便于借助圖形，找出能反映動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)特征的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并使之轉(zhuǎn)化為某個(gè)軌跡定理中的條件。在檢驗(yàn)求出的軌跡時(shí)，

5、有時(shí)要剔除的不只是某幾個(gè)點(diǎn)，而可能是一條線段，或一段圓弧等。如本例中第2小題。 例 3. 求以 4cm 長(zhǎng)的線段 AB 為一邊，且面積為的三角形的第三個(gè)頂點(diǎn) C 的軌跡。122cm 解：解：因?yàn)?AB 的長(zhǎng)為 4cm，三角形面積為，那么三角形 AB 邊上的高線長(zhǎng)122cmhcm 6 所以三角形的第三個(gè)頂點(diǎn) C 到對(duì)邊 AB 所在直線的距離為 6cm 因此所求軌跡是與線段 AB 所在直線平行，且到這條直線的距離等于 6cm 的兩條平行直線如下圖 精析：精析：求點(diǎn)的軌跡的一般步驟： 1描出一些適合的點(diǎn)畫(huà)出草圖； 2研究并總結(jié)這些點(diǎn)具有的共同特點(diǎn)與條件的關(guān)系，從而根據(jù)五個(gè)軌跡定理中的一個(gè)確定所求的軌

6、跡是什么圖形； 3根據(jù)題意考慮是否有需要排除的特殊點(diǎn)或線段、圓弧，然后用文字表達(dá)完整。 例 4. 如下圖，EOF，點(diǎn) A 和點(diǎn) B，求作一點(diǎn) P，使點(diǎn) P 同時(shí)滿足： 1到EOF 的兩邊距離相等； 2到點(diǎn) A、B 的距離相等。 解：解：點(diǎn) P 到EOF 兩邊的距離相等，那么點(diǎn) P 在EOF 的平分線上，故作EOF 的平分線。 點(diǎn) P 到 A、B 兩點(diǎn)的距離相等，那么點(diǎn) P 在線段 AB 的中垂線上，故作線段 AB 的中垂線。 兩線的交點(diǎn)為 P，那么點(diǎn) P 即為所求。 精析：精析：當(dāng)所求作的點(diǎn)同時(shí)滿足兩個(gè)或多個(gè)條件時(shí)，應(yīng)單一地考慮每一個(gè)條件，確定所求作點(diǎn)各是什么軌跡上的點(diǎn)，并作出每一個(gè)軌跡，那么

7、這兩個(gè)或多個(gè)軌跡的交點(diǎn)就是所求作的點(diǎn)，這種作圖方法稱為交軌法作圖。 例 5. O 和定長(zhǎng) r，點(diǎn) A 是圓內(nèi)的一點(diǎn)，求作一個(gè)半徑為 r 的圓，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn) A，并且與O 內(nèi)切。 解：解：以 O 為圓心，以O(shè) 的半徑減去定長(zhǎng) r 的差為半徑畫(huà)圓 以點(diǎn) A 為圓心，以定長(zhǎng) r 為半徑畫(huà)圓，兩圓相交于點(diǎn)OO12、 那么以或?yàn)閳A心，定長(zhǎng) r 為半徑畫(huà)圓，所得或就是所求作的圓。O1O2O1O2如下圖 精析：精析：本例用交軌法作圖，由于所求作圓的半徑為線段 r，故作圖的關(guān)鍵是找圓心，由條件，就是到定點(diǎn) O 的距離為定長(zhǎng)O 的半徑與 r 之差的點(diǎn)的OO12、OO12、軌跡和到定點(diǎn) A 的距離為定長(zhǎng) r 的點(diǎn)的

8、軌跡的交點(diǎn)?！灸M試題模擬試題】 1. 到定點(diǎn) P 的距離等于 6cm 的點(diǎn)的軌跡是_。 2. 以線段 AB 為底邊的等腰三角形 ABC 的頂點(diǎn) C 的軌跡是_。 3. O與半徑是 4cm 的O 外切，且O的半徑為 2cm，那么點(diǎn) O的軌跡是_。 4. 動(dòng)點(diǎn) P 到直線的距離為 5cm，那么點(diǎn) P 的軌跡是_。l 5. 半徑等于 2cm，與直線相切的圓的圓心的軌跡是_。l 6. 如下圖，中，CRt，BC 邊在上，點(diǎn) A 在上，。Rt ABCl2l1ll12/進(jìn)行平行移動(dòng)，那么 AB 邊的中點(diǎn) Q 的軌跡是ABBCRt ABC53，_。 7. 與正方形 ABCD 的 AB、AD 兩邊不延長(zhǎng)都相切

9、的圓的圓心的軌跡是_。 8. 到半徑為 r 的定圓 O 的切線長(zhǎng)等于定長(zhǎng) a 的點(diǎn)的軌跡是_。 9. 一動(dòng)點(diǎn) P 繞定點(diǎn) O，且到定點(diǎn) O 的距離為 4cm 旋轉(zhuǎn)半周，那么點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過(guò)的路程是_cm。 10. 如下圖，半徑為 3cm 的彈子沿著半徑為 8 cm 的圓形鋼圈內(nèi)壁滾動(dòng) 3 周，那么彈子圓心 P 隨之運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過(guò)的路程是_ cm。二. 選擇題。 11. 到角兩邊所在直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是 A. 這個(gè)角的平分線 B. 這個(gè)角的平分線所在直線 C. 這個(gè)角和它的鄰補(bǔ)角的平分線所在的直線 D. 這個(gè)角和它的鄰補(bǔ)角的平分線 12. 線段 AB，切 AB 中點(diǎn) E 的動(dòng)圓圓心的軌跡是

10、A. 線段 AB 的中垂線 B. AB 的垂線除去 E 點(diǎn) C. 線段 AB 的垂線 D. 線段 AB 的中垂線除去 E 點(diǎn) 13. 兩條平行線之間的距離為 6 cm，和這兩條平行線都相切的動(dòng)圓圓心的軌跡是 A. 和這兩條直線平行，且距離等于 6cm 的一條直線 B. 和這兩條直線平行，且距離等于 3cm 的兩條直線 C. 和這兩條直線平行，且距離都等于 3cm 的一條直線 D. 和這兩條直線平行，且距離等于 3cm 的三條直線 14. 點(diǎn) Px，y在直角坐標(biāo)系內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且滿足，那么點(diǎn) P 的軌跡是 xy 0 A. 平分第 I 象限角的一條射線 B. 平分第 II 象限角的一條射線 C. 平分第

11、 III 象限角的一條射線 D. 平分第 I、第 III 象限角的一條直線 15. 拋物線的對(duì)稱軸是到 A-3，0和 B5，0的距離相等的點(diǎn)的yxbx212軌跡，那么 b 的值是 A. -4B. 4C. -2D. 2三. 解答題。 16. 如下圖，O 和O 上一點(diǎn) A，求以點(diǎn) A 為一端點(diǎn)的弦的中點(diǎn)的軌跡，并畫(huà)出圖形。 17. 如下圖，EAF，B 是 AE 上一點(diǎn)，求作一個(gè)，使 AB 邊上高線為 2 cm，點(diǎn)ABCC 到 AE，AF 的距離相等。 18. 如下圖，一根小木棒兩端 A、B 緊靠鋼圈上，現(xiàn)小木棒 A、B 兩端緊靠鋼圈按逆時(shí)針?lè)较蚧瑒?dòng)到 AB位置上，使得 A 與 B重合，B 與 A重合，且 AB/AB，小木棒長(zhǎng)為8cm，鋼圈半徑為 5cm，求木棒中點(diǎn) P 隨之運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過(guò)的路程。【試題答案試題答案】一. 填空題。 1. 以點(diǎn) P 為圓心，6cm 為半徑的圓 2. 線段 AB 的中垂線除 AB 中點(diǎn)外 3. 以 O 為圓心，半徑為 6 cm 的圓 4. 與直線平行，且到的距離等于 5 cm 的兩條直線ll 5. 與直線平行，且到的距離等于 2 cm 的兩條直線ll 6. 與平行，且到的距離都等于 2 的一條直線ll12、ll12、 7. 對(duì)角線 AC不包括 A 點(diǎn) 8. 以 O 為圓心，為半徑的圓ar