高考理科數(shù)學(xué)：《平面向量》題型歸納與訓(xùn)練

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高考理科數(shù)學(xué)：平面向量題型歸納與訓(xùn)練【題型歸納】題型一 平面向量的線性運(yùn)算例1：記maxx，yx,xyy,x<y,minx，yy,xyx,x<y設(shè)a,b為平面向量，則()Amina+b,|ab|mina,|b| Bmina+b,|ab|mina,|b|Cmaxa+b2,ab2a2+b2 Dmaxa+b2,ab2a2+b2 【答案】：D【解析】方法一：對于平面向量a,b,|a+b|與|ab|表示以a,b為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長度，而根據(jù)平面幾何知識可得，平行四邊形兩對角線長度的較小者與相鄰兩邊長度的較小者，沒有確定的大小關(guān)系，故選項A，B均錯；又a

2、+b,|ab|中的較大者與a,|b|一定構(gòu)成非銳角三角形的三條邊，由余弦定理知，必有maxa+b2,ab2a2+b2 ,故選項D正確，選項C錯誤方法二：若a,b同向，令a2,|b|3，這時|a+b|5，|ab|1，min|a+b|，|ab|1，min|a|，|b|2；若令|a|2，|b|6，這時a+b8,ab4,mina+b,|ab|4，而mina,|b|2，顯然對任意a,b，min|a+b|，|ab|與mina,|b|的大小關(guān)系不確定，即選項A、B均錯同理，若a,b同向，取|a|1,|b|2，則a+b3,|ab|1，這時maxa+b2,ab2=9，而a2+b25，不可能有maxa+b2,ab

3、2a2+b2，故選C項錯【易錯點(diǎn)】平面向量加減法線性運(yùn)算性質(zhì)?！舅季S點(diǎn)撥】解題的關(guān)鍵是結(jié)合向量模的幾何意義，加減運(yùn)算的幾何意義，通過圖形分析得到正確選項；也可從選擇題的特點(diǎn)入手，通過對a,b特殊化，從而得到a+b,|ab|的值，通過比較大小關(guān)系排除錯誤選項，得出正確答案題型二 共線向量定理、平面向量基本定理的應(yīng)用例1.ABC中,AB邊的高為CD,若CBa,CAb,a·b0,a1,b2,則AD()A.13a13bB.23a23b C.35a35b D.45a45b【答案】 D【解析】方法一：a·b0,ACB90°,AB5,CD255. BD55,AD455,ADBD

4、41. AD45AB45(CB-CA)45a45b.方法二：如圖,以C為原點(diǎn)，CA,CB所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系由已知得A2,0,B0，1.又因?yàn)镃DAB，所以可求得D(25,45),于是AD(-85,45),而a0,1,b(2,0),若設(shè)ADxa+yb，則有2y=-85x=45即x=45y=-45,故AD45a45b.【易錯點(diǎn)】平面向量加減法線性運(yùn)算性質(zhì),平面向量的坐標(biāo)表示；【思維點(diǎn)撥】根據(jù)題設(shè)條件確定出A、B、D三點(diǎn)坐標(biāo)，再利用三點(diǎn)共線的性質(zhì)即可解決.例2. 若點(diǎn)M是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),且滿足: 設(shè)AM34AB+14AC.（1）求ABM與ABC的面積之比.（2）若N為A

5、B中點(diǎn),AM與CN交于點(diǎn)O,設(shè)BD=xBM+yBN,求x,y的值.【答案】 見解析；【解析】（1）由AM34AB+14AC可知M、B、C三點(diǎn)共線如圖令BM=BCAM=AB+BM=AB+BC=AB+AC-AB=1-AB+AC； =14;SABMSABC=14.即面積之比為1：4（2）由BO=xBM+yBNBO=xBM+y2BA=BO=x4BM+yBN;由O、M、A三點(diǎn)共線及O、N、C三點(diǎn)共線x+y2=1x4+y=1x=47y=67.【易錯點(diǎn)】面積比值與線段比值的關(guān)系，三點(diǎn)共線的性質(zhì)；【思維點(diǎn)撥】.利用共線性質(zhì)得出AB與AC的線段長度之比，即可得到面積之比；第二問中利用O、M、A三點(diǎn)共線及O、N、

6、C三點(diǎn)共線性質(zhì)進(jìn)行解決即可；例3.設(shè)雙曲線x2a2-y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F與x軸垂直的直線l交兩漸近線于A.B兩點(diǎn),與雙曲線的其中一個交點(diǎn)為P,設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O,若OP=mOA+nOB(m,nR),且mn=29,則該雙曲線的漸近線為（ ）Ay=±34x By=±24x Cy=±12x Dy=±13x【答案】B【解析】由題意可知A(c,bca),B(c,-bca),代入OP=mOA+nOB，得P(m+n)c,(m-n)bca),代入雙曲線方程中,整理的4e2mn=1；又因?yàn)閙n=29,可得e=324,ba=e2-1=24,

7、所以該雙曲線的漸近線為y=±24x，故B為正確答案.【易錯點(diǎn)】A、B、P三點(diǎn)坐標(biāo)的確定，離心率的概念。【思維點(diǎn)撥】解析幾何中基本量的計算要注意方程思想的應(yīng)用和運(yùn)算的準(zhǔn)確性.題型三 平面向量數(shù)量積的概念與計算例1.如圖,正六邊形ABCDEF的邊長為1,則ADDB（ ）A.3 B.-3 C.3 D.-3【答案】 D【解析】根據(jù)正六邊形性質(zhì),有ADB30°,于是向量AD與DB所成角為150°且AD=2,|DB|=3,所以ADDB=|AD|DBcos150°2×3×-32=-3,選D【易錯點(diǎn)】正六邊形的性質(zhì)及平面向量的加減法運(yùn)算法則的應(yīng)用；【

8、思維點(diǎn)撥】利用定義求兩個非零向量數(shù)量積,關(guān)鍵要搞清向量的數(shù)量積和模,尤其在求向量夾角時,要判斷其起點(diǎn)是否共點(diǎn)例2.在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,sinC2=63,a=b=3,點(diǎn)P是邊AB上的一個三等分點(diǎn),則CPCB+CPCA=( )A.0 B.6 C.9 D.12【答案】 B【解析】過點(diǎn)C作COAB,垂足為O如圖所示, C0,3.,sinC2=63,cosC2=1-sin2C2=33,CO=3.AO=OB=33-32=6.取點(diǎn)P靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)則P63,0.CPCB+CPCA=CP2CO=263,-30,-3=6同理取點(diǎn)P靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)答案也是6CPCB+CPCA=6

9、【易錯點(diǎn)】坐標(biāo)系的建立，點(diǎn)坐標(biāo)的確定；【思維點(diǎn)撥】用坐標(biāo)法求平面向量數(shù)量積可以簡化解題過程,坐標(biāo)法思想能否靈活使用以及坐標(biāo)系建立的恰當(dāng)與否是解題關(guān)鍵例3.如圖,BC,DE是半徑為1的圓O的兩條直徑, BF=2FO,則FDFE的值是（ ）A-34 B-89 C-14 D-49【答案】 B【解析】BF=2FO,r=1,FO=13,FDFE=FO+ODFO+OE=FO2+FOOE+OD+ODOE=132+0-1=-89.故選B.【易錯點(diǎn)】平面向量線性運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，共線性質(zhì)的應(yīng)用；【思維點(diǎn)撥】利用線性運(yùn)算將待求量轉(zhuǎn)化到利用B.O.C,D.O.E共線的向量表示,利用同向或是反向解決問題；題型四 平面向

10、量的夾角與模的計算例1.若非零向量a,b滿足|a|223|b|,且(ab)(3a+2b),則a與b的夾角為()A.4B. 2C. 34D【答案】 A【解析】設(shè)bx,a,b，則a223x,ab=223x2cos. (ab)(3a2b)，(ab)·(3a2b)0，3a2+2a·b3a·b2b20,即3×89x2223x2cos2x20, 223cos=23,cos=22，0,=4.故選A.【易錯點(diǎn)】垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，比例關(guān)系的應(yīng)用，夾角的范圍；【思維點(diǎn)撥】利用垂直得出a,b的等式關(guān)系，借助長度關(guān)系建立關(guān)于夾角余弦值方程即可解決;題型五 平面向量中的范圍、最值問

11、題例1.在邊長為2的等邊三角形ABC中,D是AB的中點(diǎn),E為線段AC上一動點(diǎn),則EBED的取值范圍為 【答案】見解析；【解析】由題意可得，AE與AB的夾角是60°，D是AB的中點(diǎn)，設(shè)AE=x,EBED=AB-AEAD-AE=ABAD-AB+ADAE+|AE|2 =2|AD|2-3ADAE+AE2=2-32x+x2;由于E為線段AC上的一動點(diǎn)，故0x2，令f(x)= 2-32x+x2=x-342+2316;當(dāng)x=34時，f(x)min=2316；當(dāng)x=2時, f(x)max=3，EBED的取值范圍為2316,3)【易錯點(diǎn)】線性轉(zhuǎn)化，函數(shù)關(guān)系的構(gòu)造，取值范圍的確定；【思維點(diǎn)撥】將EBED

12、用某個變量表示,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題,其中選擇變量要有可操作性.例2.已知向量a,b,c滿足: a=4,b=22, a與b的夾角為4, c-ac-b=-1,則|c-a|的最大值為（ ）A.2+12 B. 2+22 C. 2+12 D. 2+1【答案】 D【解析】設(shè)OA=a,OB=b,OC=c;以O(shè)A所在直線為x,O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,a=4,b=22,a與b的夾角為4,則A(4,0),B(2,2),設(shè)C(x,y),c-ac-b=-1,x2+y2-6x-2y+9=0,即(x-3)2+(y-1)2=1表示以(3,1)為圓心，以1為半徑的圓,|c-a|表示點(diǎn)AC的距離，即圓上的點(diǎn)與點(diǎn)A(4

13、,0)的距離；圓心到B的距離為：(4-3)2+(0-1)2=2, |c-a|的最大值為2+1，故選:D【易錯點(diǎn)】題干條件的轉(zhuǎn)化，幾何意義的應(yīng)用；【思維點(diǎn)撥】夾角已知向量模已知的情況下，即可將線性運(yùn)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，將問題具體化.例3. 已知向量OA與OB的夾角為,OA=2,OB=1,OP=tOA,OG=1-tOB,|PQ|在t0時取得最小值,當(dāng)0<t0<15時,夾角的取值范圍為（ ）A.(0,3) B. (3,2) C. (2,23) D. (0,23)【答案】 D【解析】由題意知, OAOB=2×1×cos=2cos,PQ=OQ-OP=1-tOB-tOA;PQ

14、2=1-t2OB2+t2OA2-2t1-tOAOB=1-t2+4t2-4t(1-t)cos; 5+4cost2+-2-4cost+1;由二次函數(shù)圖像及其性質(zhì)知,當(dāng)上式取得最小值時, t0=1+2cos5+4cos.由題意可得,0<1+2cos5+4cos<15，求得-12<cos<0,所以2<cos<23，故應(yīng)選C.【易錯點(diǎn)】轉(zhuǎn)化方向的確定，函數(shù)關(guān)系的建立；【思維點(diǎn)撥】求變量的取值范圍、最值,往往要將目標(biāo)函數(shù)用某個變量表示,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題,期間要注意變量之間的關(guān)系,進(jìn)而得解.例4.已知a=,2,b=(-3,5),且a與b的夾角為銳角,則的取值范圍是

15、【答案】 <103且-65【解析】由于a與b的夾角為銳角,ab>0,且a與b不共線同向,由ab>0-3+10>0,解得<103,當(dāng)向量a與b共線時,得5=-6,得=-65,因此的取值范圍是<103且-65【易錯點(diǎn)】忽略夾角為銳角的條件及其需要滿足的條件；【思維點(diǎn)撥】注意向量夾角與三角形內(nèi)角的區(qū)別,向量夾角的范圍是0,而三角形內(nèi)角范圍是(0,),向量夾角是銳角,則cos>0且cos1,而三角形內(nèi)角為銳角,則cos>0題型六 平面向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用例1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量m=(22,-22),nsinx,cos x;x0,2.若m

16、n，求tanx的值；若m與n的夾角為3,求x的值.【答案】 見解析；【解析】m=(22,-22)，nsinx,cos x，mn.m·n=22sinx-22cos x=0，即sinxcosx，tanx=sinxcosx=1.由題意知，m222+-222=1，nsinx2+cosx21，m·n=22sinx-22cos x=sin(x-4).而m·n|m|·|n|·cosm，ncos312.sin(x-4)12，又x0,2，x-4-4,4，x-4=6，x=512.【易錯點(diǎn)】運(yùn)算出錯，角度范圍不明確；【思維點(diǎn)撥】利用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)及垂直關(guān)系建立

17、等式即可得出結(jié)果?！眷柟逃?xùn)練】題型一 平面向量的線性運(yùn)算1.設(shè)D,E分別是ABC的邊AB,BC上的點(diǎn)，AD12AB，BE23BC.若DE1AB+2AC(1,2為實(shí)數(shù))，則1+2的值為_【答案】：12【解析】：DEDB+BE=12AB+23BC=12AB+23AC-AB=23AC-16AB；又DE1AB+2AC,1=-16,2=23,1+2=12.2.已知A,B,C為圓O上的三點(diǎn)，若AO=12AB+AC，則AB與AC的夾角為_【答案】：90°【解析】：由AO=12AB+AC可知O為BC的中點(diǎn)，即BC為圓O的直徑，又因?yàn)橹睆剿鶎Φ膱A周角為直角，所以BAC=90°，所以AB與AC

18、的夾角為90°.3.在ABC中,點(diǎn)M,N滿足AM=2MC，BN=NC,若MN=xAB+yAC，則x_；y_.【答案】：12 -16【解析】：如圖，在ABC中，MN=MA+AB+BN=-23AC+AB+12BC=-23AC+AB+12AC-AB =12AB-16AC； x=12;y=-16題型二 共線向量定理、平面向量基本定理的應(yīng)用1. 如圖,在平行四邊形ABCD中, ABa,ADb,AN3NC,則BN（ ）(用a,b表示) A.14a-34b B. 34a-14b C.14b-34a D.34b-14a【答案】D【解析】BN=BA+AN=BA+34AC=BA+34AB+AD=-14A

19、B+34AD=-14a+34b2. 已知OA,OB是兩個單位向量,且OAOB=0.若點(diǎn)C在AOB內(nèi),且AOC=30°,則OC=mOA+nOB(m,nR)，則nm（）A. 13 B.3 C. 33 D. 3【答案】C【解析】以O(shè)原點(diǎn),向量OA,OB所在直線為軸,建立平面直角坐標(biāo)系,因?yàn)锳OC=30°,設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x, 33x),由OC=mOA+nOB,得m=x, n=33x, nm=333.直線l過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),且交拋物線于A,B兩點(diǎn),交其準(zhǔn)線于C點(diǎn),已知AF=4,CB=3BF,則p（ ）A.2 B. 43 C. 83 D.4【答案】C【解析】

20、過A,B分別作準(zhǔn)線的垂線交準(zhǔn)線于E,D.因?yàn)锳F=4,CB=3BF，所以AE=4,|CB|=3|BF|,且|BF|=|BD|,設(shè)BF=BD=a,則|CB|=3a,根據(jù)三角形的相似性可得: |BD|AE|=|CB|AC|,即 a4=3a3a+a+4,解得a=2,所以|GF|AE|=|CF|AC|,即p4=3a+a3a+a+4=4a4a+4,所以p=4aa+1=83,選C.4在ABC中,M為邊BC上任意一點(diǎn),N為AM中點(diǎn), AN=AB+AC,則+的值為()A. 12 B. 13 C. 14 D.1【答案】A【解析】M為邊BC上任意一點(diǎn),可設(shè)AM=xAB+yAC;(x+y=1)N為AMAM中點(diǎn),AN

21、=12AM=12xAB+12yAC=AB+AC;.+=12x+y=12. 題型三 平面向量數(shù)量積的概念與計算1.若等腰ABC底邊BC上的中線長為1,底角B60°,則BAAC的取值范圍是_【答案】-1,-23【解析】因?yàn)榈妊麬BC底邊BC上的中線長為1,底角B60°,所以BAC<60°,所以 cosBAC12,1,AB+AC2=1,AB+AC2=4, AB2+AC2+2ABAC=4,又AB=AC，2AB2+2ABAC=4AB2+ABAC=2AB2+AB2cosBAC=2,又cosBAC12,1, AB21,43, AB2cosBAC=2-AB223,1,BAA

22、C=-AB2cosBAC-1,-23；故答案為：-1,-232.已知O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A(-1,1),若點(diǎn)M(x,y)為平面區(qū)域x+y2x1y2上的一個動點(diǎn),則OAOM的取值范圍是（ ）A.-1,0 B. 0,1 C. 0,2 D. -1,2 【答案】C【解析】OAOM=-x+y,作出不等式組x+y2x1y2表示的平面區(qū)域，如圖ABC內(nèi)部(含邊界),作直線l:-x+y=0,平移直線l,直線過A(-1,1)時, -x+y=0,過C(0,2)時，-x+y=2，所以-x+y的取值范圍是0,2，故選C。3.在邊長為1的正ABC中, BD=xBA,CE=yCA,x>0,y>0且x+y=1,則C

23、DBE的最大值為 （ ） A.-58 B-34 C-32 D-38【答案】D【解析】由題意：ABAC=ABACcos3=12; CD=CB+BD=AB-AC+xBA=1-xAB-AC; BE=BC+CE=AC-AB+yCA=1-yAC-AB=xAC-AB;CDBE=1-xAB-ACxAC-AB =x1-xABAC+ABAC-1-xAB2-x|AC|; =-12x2+12x-12=-12x-122-38,(x(0,1);當(dāng)x=12時, CDBE取得最大值-38。題型四 平面向量的夾角與模的計算1.已知向量AB與AC的夾角為120°,且|AB|=3,AC=2.若AP=AB+AC,且APB

24、C，則實(shí)數(shù)的值為_【答案】712【解析】APBC,APBC=0, AB+ACBC=0,即 AB+ACAC-AB= ABAC- AB2+AC2-ABAC=0;向量AB與AC的夾角為120°, |AB|=3,AC=2，-1ABACcos120°-9+4=0; =712.2.平面向量a1,2,b4,2,cma+b(mR),且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m()A2 B1 C1 D2【答案】D【解析】:cma+bm+4，2m+2，a·c5m+8,b·c=8m+20.由兩向量的夾角相等可得：ac|a|=bc|b|,即為5m+85=8m+2020，解得m2.3.)

25、在平行四邊形ABCD中,AD1,BAD60°，E為CD的中點(diǎn)若ACBE1，則AB的長為_【答案】12【解析】方法一：由題意可知，AC=AB+AD，BE=-12AB+AD.因?yàn)锳CBE1，所以(AB+AD)(-12AB+AD)1，則|AD|2+12ABAD-12AB2=1, 因?yàn)锳D=1,BAD60°,所以ABAD=12AB;因此式可化為1+14AB12AB2=1.解得AB=0(舍去)或12，所以AB的長為12.方法二：以A為原點(diǎn)，AB為x軸建立如圖的直角坐標(biāo)系，過D作DMAB于點(diǎn)M.由AD=1,BAD60°，可知AM=12,DM=32 .設(shè)|AB|m(m0)，則B

26、(m,0)Cm+12,32,D(12,32).因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，所以Em2+12,32.所以BE=12-m2,32,AC=m+12,32.由ACBE=1，可得m+1212-m2+34=1,即2m2-m=0,所以m=0(舍去)或12. 故AB的長為12.題型五 平面向量中的范圍、最值問題1.已知ABAC,AB=1t,AC=t,若點(diǎn)P是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),且AP=AB|AB|+4AC|AC|,則PBPC的最大值等于（ ）.A13 B15 C19 D21【答案】A【解析】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,則B1t,0,C(0,t),AP=1,0+40,1=(1,4),即P(1,4)

27、,所以PB=1t-1,-4, PC=(-1,t-4),因此PBPC=1-1t-4t+16=17-(1t+4t).由題可得t>0,所以1t+4t21t4t=4,所以PBPC的最大值等于13,當(dāng)1t=4t,即t=12時,等號成立故選A2.已知a,b是平面內(nèi)互不相等的兩個非零向量,且a=1,a-b與b的夾角為150°,則|b|的取值范圍是（ ） A.(0,3 B.1,3 C.(0,2 D.3,2 【答案】C【解析】如下圖所示,AB=a,AD=b,則AC=DB=a-b,a-b與b的夾角150°，即DAB=150°；ADB=30°，設(shè)DBA=，則0°

28、;<<150°,在ABD中,由正弦定理得|a|sin30°=|b|sin,b=|a|sin30°×sin=2sin; 0<b2,故選C。3. 非零向量a,b滿足2ab=a2b2, a+b=2,則a與b的夾角的最小值是 【答案】【解析】由題意得ab=12a2b2,( a+b)2=4 ,整理得a2+b2=4-2ab2ab,即ab1 cos<a,b>=ab|a|b|=12ab12;3<a,b>夾角的最小值為3.4.設(shè)向量e1,e2滿足：|e1|=2,|e2|=1, e1,e2的夾角是60°,若2te1+7e2與e1+te2的夾角為鈍角,則t的范圍是（ ）A(-7,-12) B.-7,-142(-142,-12) C. -7,-142)(-142,-12 D. (-,-7)(-12,+) 【答案】B【解析