第5章時變電磁場

1、第第5 5章章 時變電磁場時變電磁場黃丘林黃丘林電子工程學院電子工程學院西安電子科技大學西安電子科技大學1 1本章提綱1 法拉弟電磁感應定律2 位移電流3 麥克斯韋方程組4 時變電磁場的邊界條件5 坡印廷定理和坡印廷矢量6 時諧場7 交變電磁場的波動性2 2當做為場源的電荷和電流隨時間變化時，它們產(chǎn)生的電場和磁場不僅是空間坐標的函數(shù)，而且也隨時間變化。而且變化的磁場要產(chǎn)生電場，時變的電場也要產(chǎn)生磁場。此時電場和磁場互為因果，成為統(tǒng)一的電磁場的不可分割的部分。3 31 法拉弟電磁感應定律1831年，英國物理學家法拉弟（Faraday）總結大量的實驗結果發(fā)現(xiàn)，當與一個由導線組成的閉合回路相交鏈的磁

2、通量發(fā)生變化時，回路中將產(chǎn)生感應電動勢，進而引起感應電流。而且感應電動勢等于 磁通量變化率的負值。這里 的參考方向與磁通量 的正方向成右手螺旋關系。inddt （伏）總磁通in4 4若 隨t增加， ，則 ，表示 的實際方向與參考方向相反；若 隨t減少， ，則 ，表示 的實際方向與參考方向相同。在此之后，英國物理學家兼數(shù)學家麥克斯韋（Maxwell）對電磁感應定律進行了深入的分析，揭示了電磁感應現(xiàn)象的本質(zhì)，并得出了電場和交變的磁場之間的關系。他認為回路中感應電動勢是由于交變的磁場激發(fā)了一種非保守的電場的結果。這個電場稱為感應電場。感應電動勢與感應電場的關系為：1 法拉弟電磁感應定律0ddt0in

3、0ddt0ininininCE dl5 5故電磁感應定律可表示為：以上討論是導體回路的情況。但感應電場是由變化的磁場激發(fā)的，不論導體是否存在，只要磁場變化，就要激發(fā)感應電場，所以上式不只適合于導體回路，對任一閉合回路都是成立的。由斯托克斯公式，上式可改寫為：1 法拉弟電磁感應定律CSBE dldSt CSSBE dlE dSdSt 6 6即：由于S任意，所以：這就是法拉弟電磁感應定律的微分形式，它清楚地表明了交變磁場和感應電場間的關系。1 法拉弟電磁感應定律0SBEdStBEt 7 7考察安培環(huán)路定律在時變場情況下是否成立。先看一個例子。一個中間填理想介質(zhì)的電容器接在交流電源的兩端，l為一個與

4、導線交鏈的閉合回路。若取一個以l為邊界的曲面 與導線相交，則由安培環(huán)路定律： i導線中的傳導電流若取一個曲面 不與導線相交而通過兩極板之間，則：2 位移電流1S1lSH dlJ dSi0lH dl8 8這樣磁場強度沿同一閉合路徑的線積分出現(xiàn)了兩種結果，這說明安培環(huán)路定律用于時變場要產(chǎn)生矛盾。麥克斯韋首先注意到并從理論上解決了這一矛盾。他首先分析了這一矛盾的實質(zhì)，這實際上反應了恒定電流條件下的安培環(huán)路定律與時變條件下的電流連續(xù)性方程之間的矛盾。安培環(huán)路定律：而在時變場中，電流連續(xù)性方程是：二者是矛盾的。電荷守恒定律是普通正確的，而安培環(huán)路定律在時變場情況下必須加以修正。2 位移電流HJ0JH 要

5、求Jt 9 9Maxwell認為，在時變情況下，高斯定理和磁通連續(xù)性原理仍然適用。即：這樣電流連續(xù)性方程可寫為：即：此式表明，在時變場中， ，但矢量 的散度等于0。2 位移電流,D r tr t,0B r t ,SD r tdSQ t,0SB r tdS0JJDtt 0DJt10100JDJt若用此矢量代替安培環(huán)路定律中的 ，即得：這樣，它與電流連續(xù)性方程就是相容的了。引入位移電流之后，一開始的例中的矛盾也就不復存在，因為：上式表明，變化的電場也將激發(fā)磁場。2 位移電流JDHJtDt位移電流密度（A/m）22dlSSDDH dlJdSdSitt1111上述兩個方程構成了Maxwell方程組的核

6、心，同時麥克斯韋認為除了高斯定理在時變情況下成立外，磁通連續(xù)性原理也是成立的，它們和上述二方程組成麥克斯韋方程組。1865年，麥克斯韋方程組發(fā)表。3 麥克斯韋方程組12123 麥克斯韋方程組 微分形式 積分形式0CSCSSSVDH dlJdStdE dlB dSdtB dSD dSdVQ 13130DHJtBEtBD 3 麥克斯韋方程組在各向同性的線性媒質(zhì)中，各場量之間的關系是：從以上方程不難看出，前面討論過的靜電場，恒定電場和恒定磁場的基本方程都不過是Maxwell方程組在 時的特例。Maxwell方程組構成了宏觀電磁理論的框架，電磁問題的求解最終都可歸結為求Maxwell方程組的解。DEB

7、HJE0ddt14143 麥克斯韋方程組15153 麥克斯韋方程組1616 麥克斯韋方程組的一個解3 麥克斯韋方程組1888年Hertz產(chǎn)生了電磁波驗證了麥克斯韋方程的正確性17173 麥克斯韋方程組Hertz實驗的簡單原理18183 麥克斯韋方程組Marconi發(fā)明了電報電磁波開始為人類所利用 1890,1897,190119193 麥克斯韋方程組作業(yè)：P187：5.5，5.6，5.920204 時變電磁場的邊界條件磁場強度 的邊界條件由麥克斯韋第一方程：HlSSDH dlJ dSdSt21ttDHlHlJ bh lbh lt sDJblbh lt 21ttsDHHJbbht21214 時變

8、電磁場的邊界條件 有限，所以第二項為0或寫成矢量形式：即：而 任意若無傳導電流，則 或Dt21ttsHHJb21sHbnHbnJb21snHnHbJbb21snHHJ12ttHH210nHH22224 時變電磁場的邊界條件電場強度 的邊界條件由麥克斯韋第二方程： 有限，而即：或：ElSBE dldSt 21ttBElElbh lt Bt0h 210ttEE12ttEE電場強度切向分量連續(xù)210nEE23234 時變電磁場的邊界條件磁感應強度 的邊界條件由麥克斯韋第三方程與恒定磁場類似的討論可得：或：B0SB dS12nnBB磁感應強度的法向分量連續(xù)210nBB24244 時變電磁場的邊界條件電

9、感應強度 的邊界條件由麥克斯韋第四方程與靜電場類似討論可得：或：DSD dSQ21nnSDD21SnDD25254 時變電磁場的邊界條件綜上所述，交變電磁場中的邊界條件可歸納為：21121221ttSbttnnnnSHHJEEBBDD2121212100SSnHHJnEEnBBnDD或26264 時變電磁場的邊界條件特例理想導體表面上交變場的邊界條件。理想導體：對于 很大的良導體，當頻率很高時，電磁場只能存在于導體表面很小的薄層內(nèi)，這種現(xiàn)象稱為集膚效應（以后在均勻平面波部分詳細講）。 越大，集膚效應越顯著，透入深度越?。ㄈ缭?0GHz，透入銅的深度為6.6 10-5cm。 時，透入深度為0，即

10、在理想導體內(nèi)部電磁場處處為0。由高斯定理和安培環(huán)路定律可知，電荷和電流只能存在于理想導體的表面上。 27274 時變電磁場的邊界條件根據(jù)上述邊界條件，在理想導體表面上：（將介質(zhì)1設為理想導體）結論：在理想導體表面上，電場只有法向分量，磁場只有切向分量。00tSbtnnSHJEBD00SSnHJnEn Bn D或28284 時變電磁場的邊界條件例例 已知兩無限大理想導體板相距為a，如圖，其間電場強度為 （ ）， 求兩板內(nèi)壁上的面電流密度。解：解：欲求 ，應先求由麥克斯韋第二方程： 即： 0sincosymEa Extzam常數(shù)SJnHSJH0BHEtt 0yyEEHxzzxt 29294 時變電

11、磁場的邊界條件兩邊對t積分得：00sinsincoscosmmmExtz xExtz zaaa0Ht 0000sincoscossinEmmmHxtz xExtz zaaa 0000sinSxxmJxHxEtz za 00sinmyEtza30304 時變電磁場的邊界條件001sinmsx ax amJxHyEtza 3131作業(yè)：P187：5.8，5.115 坡印廷定理和坡印廷矢量交變場中電場、磁場均隨時間變化，所以電場能量密度、磁場能量密度也必隨時間變化，而空間各點電磁能量密度的變化說明能量發(fā)生了轉移或轉化。下面從麥克斯韋方程出發(fā)，導出表征電磁能量守恒和轉換關系的坡印廷定理，以及描述能量轉

12、移情況的電磁能流矢量坡印廷矢量。電磁能量守恒坡印廷定理由麥克斯韋第一、二方程：DHJtBEt （5-1）（5-2）32325 坡印廷定理和坡印廷矢量（5-2） -（5-1） 得：而：同理：HEBDHEEHHJ EEtt （5-3）1122mHwBHHB HB Httttt 1122eDwDEEE DE Dttttt emHEEHwwJ Et 33335 坡印廷定理和坡印廷矢量由矢量恒等式：上式兩邊積分：即：EHHEEHemEHwwJ Et wJ Et VVVwEH dVdVJ EdVt SVWEH dSJ EdVt 34345 坡印廷定理和坡印廷矢量即：由焦耳定律，單位體積內(nèi)的損耗功率為 ，顯

13、然右邊第二項為體積V內(nèi)的損耗功率。左邊為電磁能量的減少率，即減少的功率。而體積V內(nèi)電磁能量的減少不外乎兩種原因，一是損耗掉而轉化為其它形式的能量，另一是轉移到V之外。顯然，右邊第一項代表的是通過S流出體積V的功率。若媒質(zhì)為無耗的（ ），則 此時，V內(nèi)減少的功率就等于流出V的表面S的功率。坡印廷定理體現(xiàn)了電磁場中的能量守恒關系。SVWEH dSJ EdVt 坡印廷定理J E 020VVJ EdVE dV 35355 坡印廷定理和坡印廷矢量電磁能流與坡印廷矢量因為 代表經(jīng)曲面S流出體積V的功率，所以被積函數(shù) 代表通過單位面積的功率流，或能流密度矢量。令： 的方向為能量流動的方向，大小為垂直流過單位

14、面積的功率?？臻g只要有電場和磁場同時存在，就會有能量流通。即使在直流情況下也是如此，下面用能流概念分析傳輸線上直流功率的傳輸問題。SEH dSSEH 坡印廷矢量（W/m）S3636EH5 坡印廷定理和坡印廷矢量例例 內(nèi)、外半徑分別為a、b的同軸線，加電壓 ，端接電阻R，導體上有電流 ，求輸入到電阻的功率。解：解：輸入到R的功率等于通過任一橫截面的功率0U0I2lEr而002ln2lnbllaUbUEdrbaa37375 坡印廷定理和坡印廷矢量這與電路中的結果是一致的，但它揭示了能量傳輸?shù)臋C理。負載消耗的能量是通過同軸線中的內(nèi)、外導體間電磁場傳輸?shù)?，而不是通過導體傳輸?shù)?，導體僅起引導作用。0ln

15、UErbra02IHr0 0212 lnU ISEHzbra2002012 lnbSSaU IPS dsS zdsrdrdbra 0 0U I而：38386 時諧場前面的討論是針對隨時間任意變化的電磁場進行的，在實際問題中，通常只需要研究隨時間作正弦變化的電磁場，這種電磁場稱為時諧場。在線性媒質(zhì)中，即使是按任意規(guī)律隨時間變化的電磁場，也可按時間展開成傅立葉級數(shù)，因此可看作許多個時諧場的迭加。研究正弦電磁場，可以象正弦交流電路中的相量一樣，引入一個復數(shù)來表示時諧場，從而使分析、計算簡化。39396 時諧場場量的復數(shù)表示法以電場強度為例： 的x分量的瞬時值可表示為：可表示為：其中 稱為 的復振幅E

16、, , , ,cos, ,xxmxEx y z tEx y ztx y zx角頻率初相角ReRejtj txxxmxEE eE ejxxxmEEexE40406 時諧場同理：故電場強度 可表示為：Rej tyyEE ejyyymEEeRej tzzEE ejzzzmEE eExyzExEyEzERej txyzxEyEzEeRej tEexyzExEyEzE 的復振幅E41416 時諧場場量與復振幅具有一一對應的關系，因此，研究電磁場可通過研究其復振幅進行。以后將會看到研究復振幅的好處。注意如何由瞬時值寫出復振幅或由復振幅求瞬時值。電磁場中的其它物理量 ， ， ， ， 也可用相應的復矢量或標量

17、表示。DBHJ42426 時諧場復數(shù)形式的麥克斯韋方程組既然電磁場量可用復數(shù)表示，則麥克斯韋方程也可用復數(shù)表示。以第一方程為例：DHJtReRej tj tHH eH eRej tJJ eReRej tj tDDej Dett43436 時諧場可見引入復振幅后，可把對時間的微分運算變成代數(shù)運算，從而使計算簡化。復數(shù)形式的麥克斯韋方程組：ReRej tj tH eJj D eHJjD0HJjDEjBBD DEBHJE44446 時諧場復數(shù)形式的坡印廷矢量設簡諧場中場的瞬時值為：則坡印廷矢量 的x分量為coscoscosxmxeymyezmzeExEtyEtzEtcoscoscosxmxhymyh

18、zmzhHxHtyHtzHtScoscoscoscosxymzmyezhzmymzeyhSEHttE Htt1cos 2cos21cos 2cos2ymzmyezhyezhzmymzeyhzeyhEHtE Ht45456 時諧場 在一個周期內(nèi)的平均值為：xS01TxavxSS dtT11coscos22ymzmyezhzmymzeyhE HE H11ReRe22jjyezhzeyhymzmzmymEHeE He1*Re2yzzyE HE H 46462=T（其中，）6 時諧場同理：所以，坡印廷矢量的平均值為：1*Re2yavzxxzSE HE H 1*Re2zavxyyxSE HE H avx

19、avyavzavSxSySzS1*Re2yzzyzxxzxyyxx E HE Hy E HE Hz E HE H 1*Re2EH47476 時諧場令：則坡印廷矢量的平均值等于復坡印廷矢量的實部：今后主要討論簡諧場，所研究的場量一般都是復振幅。為書寫方便省去“”。應注意根據(jù)情況區(qū)分是瞬時值還是復振幅。1*2SEH復坡印廷矢量 ReavSS48486 時諧場例例 已知矩形波導中主模的電磁場為：求通過矩形波導橫截面的平均功率。0sincosEyExtza00sincoscossinHxExtzazExtzaa 49496 時諧場解：解：0sinjzEyEx ea00sincosjzjzHxEx ezjEx eaaa 2220012*sinsin22SEHzExj xExaaa 220ResinavSSzExa22000sinbaavavSPSdSExdxdya 202Eab5050作業(yè)：P188：5.13，5.15，5.1751517 交變電磁場的波動性麥克斯韋第一方程和第二方程說明，變化的電場激發(fā)磁場，變化的磁場激發(fā)電場。一旦交變的場源在空間激發(fā)起電磁場，由于電場和磁場的相互激發(fā)，即使場源消失，電磁場仍可獨立地存在，并由近及遠地向外傳播，從而形成電磁波。任何波動都滿足一個共同的規(guī)律波動方程。下面從麥克斯韋方程出發(fā)導出電磁場的波動方程。52527 交變電磁場的波動性波動方程若媒