第3講隨機(jī)誤差的分析與統(tǒng)計(jì)

1、Page 1第3講隨機(jī)誤差的分析與統(tǒng)計(jì)Page 2主要內(nèi)容n 平穩(wěn)性和正態(tài)性檢驗(yàn)n 隱周期的辨識(shí)與估計(jì)n 變量差分法n 最小二乘擬合殘差法n ARMA模型統(tǒng)計(jì)方法1、平穩(wěn)性和正態(tài)性檢驗(yàn)Page 隨機(jī)誤差 定義 是指測(cè)量結(jié)果與同一待測(cè)量的大量重復(fù)測(cè)量的平均結(jié)果之差。 它的特點(diǎn)：大小和方向都不固定，也無(wú)法測(cè)量或校正，但可通過統(tǒng)計(jì)進(jìn)行評(píng)估。隨機(jī)誤差的性質(zhì)是：隨著測(cè)定次數(shù)的增加，正負(fù)誤差可以相互低償，誤差的平均值將逐漸趨向于零。 Page 特征 即使測(cè)試系統(tǒng)的靈敏度足夠高，在相同的測(cè)量條件下，對(duì)同一量值進(jìn)行多次等精度測(cè)量時(shí)，仍會(huì)有各種偶然的，無(wú)法預(yù)測(cè)的不確定因素干擾而產(chǎn)生測(cè)量誤差，其絕對(duì)值和符號(hào)均不可

2、預(yù)知。 雖然單次測(cè)量的隨機(jī)誤差沒有規(guī)律，但多次測(cè)量的總體卻服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律，通過對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)處理，能在理論上估計(jì)起對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。 隨機(jī)誤差不能用修正或采取某種技術(shù)措施的辦法來(lái)消除。Page 6統(tǒng)計(jì)學(xué)中隨機(jī)誤差的兩種類型1、抽樣誤差在隨機(jī)誤差中，最重要的是抽樣誤差。我們從同一總體中隨機(jī)抽取若干個(gè)大小相同的樣本，各樣本平均數(shù)之間會(huì)有所不同。這些樣本間的差異，同時(shí)反映了樣本與總體間的差異。它是由于從總體中抽取樣本才出現(xiàn)的誤差，統(tǒng)計(jì)上稱為抽樣誤差例如，抽樣誤差在醫(yī)學(xué)生物實(shí)驗(yàn)中最主要的來(lái)源是個(gè)體的變異。所以這是一種難以控制的、不可避免的誤差。但抽樣誤差是有一定規(guī)律的。2、重復(fù)誤差 隨機(jī)誤差中還包括重

3、復(fù)誤差。它是由于對(duì)同一受試對(duì)象或檢樣采用同一方法重復(fù)測(cè)定時(shí)所出現(xiàn)的誤差。如用天平稱同一個(gè)燒杯的重量，重復(fù)測(cè)定多次，其結(jié)果會(huì)有某些波動(dòng)。控制重復(fù)誤差的手段主要是改進(jìn)測(cè)定方法，提高操作者的熟練程度。重復(fù)是摸清實(shí)驗(yàn)誤差大小的手段，以便分析和減少實(shí)驗(yàn)誤差。Page 7測(cè)試案例測(cè)試案例：測(cè)定MEMS加速度計(jì)重復(fù)誤差的方法0度90度180度270度第一次測(cè)試-377479-655-1505第二次測(cè)試-377481-656-1505第三次測(cè)試-377478-656-1505第四次測(cè)試-377478-656-1505第五次測(cè)試-377478-656-1505第六次測(cè)試-377479-656-1505第七次測(cè)試

4、-377479-656-1505Av組(1-3)均值-377479.3-656-1505Bv組(4-7)均值-377478.5-656-1505抽樣誤差（分組標(biāo)準(zhǔn)差）00.5600重復(fù)誤差（全局標(biāo)準(zhǔn)差）01.0600Page 8對(duì)零偏的重復(fù)性測(cè)量描述n 然后采用四點(diǎn)標(biāo)定法的計(jì)算公式n 從而可以得到每次測(cè)試的零偏，然后根據(jù)公式計(jì)算結(jié)果：重復(fù)性為0.88mg。1180027090180002KUUUUUUK2/1210m00)(11nmrKKnKPage 9平穩(wěn)性和正態(tài)性檢驗(yàn)n 平穩(wěn)性n 隨機(jī)誤差序列是白噪聲或是平穩(wěn)的相關(guān)噪聲，即其均值、方差和相關(guān)函數(shù)都不隨時(shí)間而變化的時(shí)間序列。n 常用方法：輪次

5、法n 正態(tài)性n 隨機(jī)誤差序列是服從正態(tài)分布的時(shí)間序列。n 常用方法：x2擬合法Page 10平穩(wěn)性檢驗(yàn)方法：輪次法n 假設(shè)待測(cè)隨機(jī)序列X的長(zhǎng)度為M，輪次法檢驗(yàn)其平穩(wěn)性的主要實(shí)現(xiàn)步驟如下：n （1）將待檢驗(yàn)隨機(jī)序列分為N個(gè)子區(qū)間，分別求這N個(gè)子區(qū)間的均值。n （2）求出這N個(gè)均值的中值，即大小處于中間的值（如果隨機(jī)序列式平穩(wěn)的，這些均方值在中值附近的變化將是隨機(jī)的，并且沒有趨勢(shì)項(xiàng)）。Page 11n （3）將N個(gè)均方值分別與中值進(jìn)行比較，比中值大的記為+，小的記為-.從+到-和從-到+變化的總次數(shù)即為輪次數(shù)，它反映了序列的獨(dú)立性，不妨用k表示。n （4）在給定平穩(wěn)性的顯著度為或置信度系數(shù)為（1-

6、）,置信區(qū)間為(k,1-/2,k，/2),檢驗(yàn)輪次數(shù)是否滿足如下關(guān)系式：k,1-/2kk，/2n 如果滿足，就說(shuō)明該序列在置信度系數(shù)（1-）下是平穩(wěn)的，顯然，在不同的置信度系數(shù)下檢驗(yàn)的結(jié)果可能是不同的，這正反映了將被測(cè)序列近似為平穩(wěn)序列的可能性，置信度系數(shù)的大小應(yīng)該根據(jù)實(shí)際應(yīng)用中的具體要求來(lái)確定。Page 12正態(tài)性檢驗(yàn)方法：x2擬合法n 對(duì)于任意正態(tài)分布序列，按照其值范圍分為k個(gè)小區(qū)間，那么在每個(gè)區(qū)間的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)有：n 假設(shè)實(shí)際落入各區(qū)間的個(gè)數(shù)為Nj，作樣本x2統(tǒng)計(jì)，有n 若x2= a（可取0.05）時(shí)，為正態(tài)分布；否則，不是。Page 13隨機(jī)數(shù)據(jù)示例：原始數(shù)據(jù) -0.93380729512

7、2849-2.056217018288290.583136269907346-0.8508204519040062.131319912120650.5440036546820020.7050802526638630.7280030363283581.15498775626153-0.300535511817266-0.06582478363091320.2226314311772501.059335413548790.493251054063006-0.5214897502174870.9549090549534170.278973278923579-1.002460810503790.031

8、2895109743597-1.13220970754653-0.7430145746213740.595711513908413-1.90792400274450-1.429951316201041.401678953177000.4237525302375930.6462939095128101.046724701354741.254821166093550.3018231042275140.848251734259952-0.753829767225611-0.296689898877117-0.328739565842024-0.682728675304735-0.5247393690

9、731670.449571711357454-0.2308080255736910.154614849209013-0.3955267039789760.06290451032061830.958318735420486-1.721382936013281.363689249472950.5716871620735531.424633793851331.06037420744386-1.24767035991548-0.129011826393153-0.469315655130139-1.437713854011841.59656744752643-0.349867275011154-0.2

10、399137424057400.925542351954265-0.134572384257423-0.1268421785585420.4608194383869590.6605755857557880.8157132119755770.5899026994067940.835704158383375-0.399051570180566-1.757436660349531.97248020296556-0.5935583792429601.578731659441301.545746535177290.9044302893623540.6825449495620190.20039691316

11、7289-0.180379188093346-0.433028697115176-0.635949461086439-0.5858288956593161.69992170967074-2.05783382199246-0.206093992061548-0.3983961149408620.9147996053111920.262535878653095-0.9629864446914311.292602126645421.587788084929260.2855983338020220.1183862984767650.379676213619761-0.4524314185082431.

12、39179350447631-1.856547291464891.47788389313275-0.777202701512710-0.8216821951093480.1615594271238480.3415582773952530.5489816166550650.606604094311068-1.342151227266710.7026221267824340.683794478156354 Page 14隨機(jī)數(shù)據(jù)示例：正態(tài)分布？n 頻數(shù)直方圖如下所示：n均值為0.1320，n均值置信區(qū)間為-0.0584,0.3225n方差為0.9598n方差置信區(qū)間為0.8427,1.11502、

13、隱周期的辨識(shí)與估計(jì)Page 16隱周期的識(shí)別與辨識(shí)Page 3、變量差分法Page 19變量差分法n 通常時(shí)間序列是隨時(shí)間變化的連續(xù)曲線，可表示為一個(gè)一定階次的多項(xiàng)式，因此可以通過逐次差分消除觀測(cè)數(shù)據(jù)中趨勢(shì)項(xiàng)（真實(shí)信息、系統(tǒng)誤差），從而分離出觀測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)性誤差成分，并估計(jì)其方差。n 假設(shè)等間隔時(shí)間序列有：n 假定其隨機(jī)誤差滿足：n （1）無(wú)偏性，即n （2）等方差且不相關(guān)，Page 20那么有： 是 的無(wú)偏估計(jì)。均方差 的估計(jì)如下： 4、最小二乘擬合殘差法Page 22最小二乘擬合殘差法若存在等間隔時(shí)間t1，t2， ，tn ，所對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù) x1，x2 ， ，xn 序列可用式(1)表示：式

14、中：yi 是數(shù)據(jù)的真實(shí)信息與系統(tǒng)誤差之和；i為隨機(jī)誤差。現(xiàn)假定yi可以用一個(gè)m階的多項(xiàng)式表示，即：這樣，方程組(1)可以表示為如下矩陣形式:Page 23 其中：利用最小二乘估計(jì)有：Page 24這樣就得到了時(shí)間序列xi的估計(jì)為：由此可得到序列方差 的無(wú)偏估計(jì)為：5、ARMA模型統(tǒng)計(jì)方法Page 26ARMA模型n自回歸AR(p)模型 自回歸模型描述的是當(dāng)前值與歷史值之間的關(guān)系。n滑動(dòng)平均MA(q)模型 滑動(dòng)平均模型描述的是自回歸部分的誤差累計(jì)。Page 27 nARMA(p,q)模型ARMA(p,q)模型中包含了p個(gè)自回歸項(xiàng)和q個(gè)移動(dòng)平均項(xiàng)， ARMA(p,q)模型可以表示為：Page 28AR模型的辨識(shí)模型辨識(shí)，即確定模型的階次。Page 29 Page Page 31模型參數(shù)估計(jì)：粗估計(jì)n 由尤樂-沃爾克估計(jì)（式14，相關(guān)矩估計(jì)）得到 代入模型，得到模型的粗估計(jì)： Page 32模型參數(shù)估計(jì)：精估計(jì)n 在粗模型基礎(chǔ)上，利用極值原理，得到 令 ，那么有