必修5解三角形知識點歸納總結(jié)

1、第一章解三角形.正弦定理:接圓的直徑，即上上 sin A sin B1.正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等， 并且都等于外上2R （其中R是三角形外接圓的半徑） sin C2.變形:1）一 sinsinsin Csinsinsin C2）化邊為角:a : b : c sin A: sin B :sin C 7asin A.bsin Basin A;bsin Bcsin Ccsin C3）化邊為角：a 2Rsin A, b 2Rsin B, c 2RsinC4 ）化角為邊:5 ）化角為邊:sin A a . -; sin B ba sin A 2Rsin Bb sin Aas

2、in Cc ' sin Cc 'bsin B , sin C 2R2R3 .利用正弦定理可以解決下列兩類三角形的問題:4 .已知兩個角及任意一邊，求其他兩邊和另一角；例：已知角B,C,a,解法：由A+B+C=18°0,求角A,由正弦定理gsn公；- "B;b sin B c sin Ca sin A t;求出b與cc sin C已知兩邊和其中一邊的對角，求其他兩個角及另一邊。例：已知邊a,b,A,解法：由正弦定理a snA求出角B,由A+B+C=18t出角C,再使用正 b sin B弦定理a甌公求出c邊Ac sin C4. AABO,已知銳角A,邊b,則a

3、bsinA時，B無解；a bsinA或a b時，B有一個解;bsinA a b時，B有兩個解。如：已知A 60 ,a 2,b 2并，求B (有一個解)已知A 60 ,b 2,a 2/3，求B (有兩個解)注意：由正弦定理求角時，注意解的個數(shù)。二.三角形面積1 1 , . A 11. S abc absinC bcsin A acsin B 22212. S abc 1(a b c)r,其中r是二角形內(nèi)切圓半徑. 21 ,、3. S abc p P(P a)(P b)(P c),其中 p (a b c),24. Sabc 生c,R為外接圓半徑4R5. S ABC 2R2sin Asin Bsin

4、 C ,R 為外接圓半徑 三.余弦定理1.余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的2 ab22 c2倍，即,22b c 2bccos A22a c 2accos Ba2 b2 2abcosC2.變形：cos AcosB222c a2bc22, 2a c b2accosC2,22abc2ab注意整體代入，如：a2 c2 b2 ac1 cosB 一23 .利用余弦定理判斷三角形形狀:設(shè)a、b、c是 C的角、C的對邊，則:c2 +2工 > 1二 a cos A => 0 <=> J < 90°若，如，所以上為銳角若c

5、2 b2 a2A為直角m 口 ：c7 +A2 口2 =c。號卅二 < O«-j4 > 900若'沏,所以工為鈍角，貝叱C是鈍角三角形4 .利用余弦定理可以解決下列兩類三角形的問題：1）已知三邊，求三個角2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角四、應(yīng)用題1.已知兩角和一邊（如A、B C）,2 .已知兩邊和夾角（如a、b 先求較短邊所對的角，然后利科3 .已知兩邊和其中一邊的對角 線、c視線+B+C=冗求 C, 。隔i余弦定理求c由正弦定理求a、b. 邊；再應(yīng)用正弦定理B+C =兀.求另一角水平線社工b、A）,應(yīng)用正弦定理求B,由A+B+C求C,再由正弦定理或余

6、弦定翌求 c邊，要注意解可能有多種情況.4 .已知三邊a、b、c,應(yīng)用分弦定理）5 .方向角一般是指以觀測者的位置為中心; 旋轉(zhuǎn)到目A、B,再由A+B+C =兀，求角C.將正北或正南方向作為起始方向 視線標的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達成.正北或正南，北偏東XX度, 北偏西XX度，南偏東XX度，南偏西XX度.6.俯角和仰角的概念：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角.五、三角形中常見的結(jié)論1）三角形三角關(guān)系：A+B+C=180; C=18（° （A+B）;2）三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊：席a+ob ,。十以；兩邊之差小于第

7、三邊：厘T a , s 亡 , c-h二值；3）在同一個三角形中大邊對大角：A B a b sin A sin B4） 三角形內(nèi)的誘導(dǎo)公式：sin( A B) sin C, cos(A B) cosC, tan(A B) tanC,tanA + 8一 k C、Csin= 5m()= cos2/21 / Ctan(- 25）兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)sin( a ± B) = sin a cos B ± cos a sin(2)cos( a ± (3) = cos a cos (3 ? sins sin (3 .(3)tan(tan a ±tan B“ 一B) 1? tan a tan B .6）二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2 a =2sin a cos a .(2)cos 2 sin2a = cos2 a sin 2 a = 2cos2 a 1=1 2sin 2 a .1 cos2 2 ;cos21 cos22(4)tan 22tan