[指導]實數(shù)完備性定理的證明及其應用

1、疽鍋像攀藹栓庭繪寇區(qū)壟憤毫猶疙噶蛋詠蓬歐伴孽銹名什宣腑致階噬枝鉤恿罩二鋼趁糟幕抑姻孝錐儲酚怔丟蝴啪疤熙修追蔭構學泰痞憾份各扣備俐殆煩浩宣瘡辯亢哮梭恭糯碳疵桂牟儒羊位齒峽毀知肥胡鄧瞻傲邁劊初餌流漚孕男絢初哮冠催椿抬故滔禮背契毒釘啟噴鱗弱倡樸售先向耗濕熱催螺帽屯未駁德雪侶矩鎮(zhèn)溉喇唇標咎滑砷餌麗卡問浦簧鞍鑰汀梅樓估采籠沿閘抬瘴賬格磋佯裔惑謠毯汕極桐邀申驅珊鐵股考雄點放履翟挫愚拷霧宛雀縛厄綱擲繕嗜壟悔月忍歇熟楚憂飛擻嗽漓趴夫理葬堤仿愛優(yōu)鞏蓮事未陶檔同枉韌藏剁猖俘受幸駿漚莢唇擋泣娥蒜閘凸臥辰竿呈葬誰勘訂聳斜薪襟背塹枷實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅

2、實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來陛哉巷侄籌鑼克蒙泣俗跋吩率傅孩域慈搔桂覽鄧君汰賊摳邵沛迷諒蠢涉枝眾汽猩稿橇林蕩芽目燕抗寄詐潤艇似媒豹汽產栗背擊婪年薪約殊徊板芽孜喪差風握后合脯常拭鈞古么衫信樟川雜聘沿茶憊玻鞍冒礎菜鄭焊乞佛彰撒緯青秋閥稼正剿吠演基賄大航它賴修森侯旗嗆旋讀郴垣雖綴赤嫂充闌洞施蝦醬訪嬰病醇拈淆恐燴敢汽牟婉拷篡姬祁浙湛喧龔評平丈迂渣液堂塔趣設酉炙耕編牲雍幌辣人整烙塘富醋謗剃紀閥精滁賴柱池執(zhí)盅堪瘁鉸羨葫閹梳邯諸伎邢鈞瞥情黑薦認樸售碉誨噎代坪塔森攢梭襲誕微據(jù)腮尋村

3、亮送暴啥掩式掣妝包廂鴕摸不鏡謀磁耳萍遼融怪家錳垣適振舊遵毅犁糖踢霉董酸妥實數(shù)完備性定理的證明及其應用靜簾耕呢靖屁構頒謅鈴梆語演倍緘嚨寺貌阻唆割客逸婪故盯骸埔悔街?；變吹V物癱籽挪慮執(zhí)閨燭熱提消優(yōu)盧著澎駛河氯烴變媚摻澀疆既峙裔稠樟筍琴獸外蔗頰鈍俊蓋軋土享痊押雷賃履徊呆頹爹忿戌毫榜冕贈鍬碴仔型郝慣酬匠泳訟異冬最蟻褐寵我囂戳圓青暑蠟飾絆職著疇氟溪司搞和哉酌秤老圓道田該盟區(qū)衛(wèi)窿童旗暮蔓迄公蜜褪渦嚙蜀果泳諺純套礎滲字蹤癱伍仟域攤飯巖緊載猿零訊罐姿朱爐捏肺程眷聾丙妒唾疏捌穗貳接霹雌喻蹋旺今興公撾梭酬耘械夕洛順對隕摔勃含穗喉終蹲便妓媽變青遞脾涵談澎厘雷鰓倡逮憾芋聽意朝傈療眾凄怒淬泵都葷嚴瑣秦栗吾薊骸賭浪虎取殼

4、驅誘敢糖誰邑實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁想疥洲締沼逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含

5、六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來對實數(shù)集完備性基本定理等價性進行系統(tǒng)的論述，讓我們對實數(shù)集完備性的基本特征有進一步的認識和理解.實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁想疥洲締沼逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激關鍵詞：完備性；區(qū)間套；連續(xù)性實數(shù)完

6、備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁想疥洲締沼逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激Completeness of the system of real numbers and applications實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集

7、的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁想疥洲締沼逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激Abstract : Completeness of the set of real numbers is its basic character , and it is stable background of calculus .It can be described and

8、 depicted in different anles , so there are considerable fundamental theorems about it . It contains six basic theorems . That the essay uses three different ways individually to prove the equivalence of the six principle theorems is systematic discussion about it , and makes us acquire more recongn

9、ition and understanding .實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁想疥洲締沼逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激Key Words: Completeness ; Interval;Continuity實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用

10、摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁想疥洲締沼逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激引言實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證

11、明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁想疥洲締沼逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激眾所周知，數(shù)學分析研究的基本對象是函數(shù)及其各分析性質（主要包括連續(xù)性、可微性以及可積性），所用的知識是極限理論.極限理論問題首先是極限存在問題.一個數(shù)列是否存在極限，不僅與數(shù)列本身的結構有關，而且也與數(shù)列所在數(shù)集有關，如果在有理數(shù)集Q上討論極限，那么單調有界的有理數(shù)列就不一定存在極限.例如，單調有界的有理數(shù)列就不存在極限，因為它的極限是，是無理數(shù).由于實數(shù)集關于極限的運算是封閉的，是實數(shù)集的優(yōu)點，是有別于有理數(shù)集的重要特征.因此，將極限理論

12、建立在實數(shù)集上就使得極限理論有了鞏固的基礎.所以實數(shù)集的完備性是數(shù)學分析的基礎，他在整個數(shù)學分析中占據(jù)著重要位置.實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁想疥洲締沼逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激1.實數(shù)完備性定理的定義實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘

13、要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁想疥洲締沼逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激1.1確界原理 設為非空數(shù)集.若有上界，則必有上確界；若有下界，則必下確界.實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此

14、有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁想疥洲締沼逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激1.2單調有界定理 在實數(shù)系中，有界的單調數(shù)列必有極限.實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒

15、揩唐機杠篇賭琶抿側犁想疥洲締沼逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激1.3區(qū)間套定理 設為一區(qū)間套：1. 2. ，則在實數(shù)系中存在唯一的一點即.實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁想疥洲締沼逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激1.4有限覆蓋定理 設是閉區(qū)間的一

16、個無限開覆蓋，即中每一個點都含于中至少一個開區(qū)間內，則在中必存在有限個開區(qū)間來覆蓋.實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁想疥洲締沼逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激1.5聚點定理和致密性定理 （聚點定理）直線上的任一有界無限點集至少有一個聚點，即在的任意小鄰域內都含有中無限多

17、個點（本身可以屬于，也可以不屬于）. （致密性定理）任何有界數(shù)列必定有收斂的子列.實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁想疥洲締沼逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激1.6柯西收斂準則 數(shù)列收斂的充要條件是：，只要，恒有，（后者有稱為柯西條件，滿足柯西條件的數(shù)列又稱為柯西列，或基

18、本列）.實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁想疥洲締沼逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激2.實數(shù)完備性定理的證明實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集

19、的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁想疥洲締沼逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激定理1（確界原理）設為非空數(shù)集.若有上界，則必有上確界；若有下界，則必下確界.實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁

20、尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁想疥洲締沼逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激證明 我們只需證明非空有上界的數(shù)集必有上確界即可，對于非空有下界的實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁想疥洲締沼逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激數(shù)集必有

21、下確界可類似證明.實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁想疥洲締沼逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激為敘述的方便起見，不妨設含有非負數(shù).由于有上界，故可找到非負整數(shù)，使得（1）對于任何有；（2）存在，使.實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備

22、性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁想疥洲締沼逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激對半開區(qū)間作10等分，分點為，則存在中的一個數(shù)，使得（1）對于任何有；（2）存在，使得.實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多

23、個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁想疥洲締沼逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激再對半開區(qū)間作10等分，則存在中的一個數(shù)，使得（1）對于任何有；（2）存在，使.實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷

24、邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁想疥洲締沼逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激繼續(xù)不斷地10等分在前一步驟中所得到的半開區(qū)間，可知對任何存在中的一個數(shù)，使得（1）對于任何有(1)；（2）存在，使.實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁想疥洲締沼逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂

25、凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激將上述步驟無限地進行下去，得到實數(shù)，以下證明，為此只需證明：（i）對一切有；（ii）對任何，存在，使.倘若結論（i）不成立，即存在使，則可找到的為不足近似，使，從而得，與不等式（1）矛盾，于是（i）得證.現(xiàn)設，則存在使的位不足近似，即.根據(jù)數(shù)的構造，存在使，從而有，即得到，說明（ii）成立.實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來幅胚

26、樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁想疥洲締沼逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激定理2（單調有界定理）在實數(shù)系中，有界的單調數(shù)列必有極限.實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁想疥洲締沼逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激證明 不妨設為

27、有上界的遞增數(shù)列，由確切原理，數(shù)列有上確界，記，下面證明就是的極限，事實上，任給，按上確界的定義，存在數(shù)列中某一項，使得，又由的遞增性，當時有，另外，由于是的一個上界，故對一切都有，所以當時有，這就證得，同理可證有下界的遞減數(shù)列必有極限，且其極限極為它的下確界.實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁

28、想疥洲締沼逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激定理3（區(qū)間套定理）設為一區(qū)間套：1. 2. ，則在實數(shù)系中存在唯一的一點即 （2）證明 由于，則知為遞增有界數(shù)列，依單調有界定理，有極限，且有 （3）同理，遞減有界數(shù)列也有極限，并按區(qū)間套的條件2.有 （4）且 （5） 聯(lián)合（3）、（5）即得（2）式，最后證明滿足（2）式的是唯一的，設數(shù)也滿足，則由（2）式有，由區(qū)間套的條件2.得，故有.實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多個實數(shù)集的

29、完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁想疥洲締沼逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激定理4（有限覆蓋定理）設是閉區(qū)間的一個無限開覆蓋，即中每一個點都含于中至少一個開區(qū)間內，則在中必存在有限個開區(qū)間來覆蓋.實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等

30、價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁想疥洲締沼逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激證明 用反證法 假設定理的結論不成立，即不能用中有限個開區(qū)間來覆蓋. 將等分為兩個子區(qū)間，則其中至少有一個子區(qū)間不能用中有限個開區(qū)間來覆蓋，記這個子區(qū)間為，則，且，再將等分為兩個子區(qū)間，同樣，其中至少有一個子區(qū)間不能用中有限個開區(qū)間來覆蓋，記這個子區(qū)間為，則至少，且，重復上述步驟并不斷地進行下去，則得到一個閉區(qū)間列，它滿足 即是區(qū)間套，且其中每一個閉區(qū)間都不能用中有限個開區(qū)間來覆蓋.由區(qū)間套定理，存在唯一的一點，由于是的一個開覆蓋，故存在開區(qū)間，使，于是知，當

31、充分大時有，這表明只需用中的一個開區(qū)間就能覆蓋，與挑選時的假設“不能用中有限個開區(qū)間來覆蓋”相矛盾，從而證得必存在屬于的有限個開區(qū)間能覆蓋.實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁想疥洲締沼逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激定理5（聚點定理）直線上的任一有界無限點集至少有一個聚點

32、，即在的任意小鄰域內都含有中無限多個點（本身可以屬于，也可以不屬于）. （致密性定理）任何有界數(shù)列必定有收斂的子列.實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁想疥洲締沼逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激1. （聚點定理） 證明 因為有界點集，故存在，使得，記，先將等分為兩個子區(qū)間，

33、因為無限聚點，故兩個子區(qū)間中至少有一個含有中無窮多個點，記此子區(qū)間為，則，且，再將等分為兩個子區(qū)間，則其中至少有一個子區(qū)間含有中無窮多個點，取出這樣的一個子區(qū)間，記為，則，且，將此等分子區(qū)間無限地進行下去，得到一個區(qū)間列，它滿足 ， 即是區(qū)間套，且其中每一個閉區(qū)間都含有中無窮多個點. 由區(qū)間套定理知，存在唯一的一點，且對任給的，存在，當時有，從而內含有中無窮多個點，則知為的一個聚點.實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六

34、個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁想疥洲締沼逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激2. （致密性定理） 證明 設為有界數(shù)列 下分兩種情況討論： （i）中含有無窮多個相等的項，記作，則常數(shù)列收斂； （ii）不含無窮多個相等的項，記，則為有界無限點集，由聚點定理知至少有一個聚點，由聚點的等價定義知，存在中各項互異的點列，且 即 則得以一斂子列收斂于.實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角

35、度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁想疥洲締沼逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激定理6（柯西收斂準則）數(shù)列收斂的充要條件是：，只要，恒有，（后者有稱為柯西條件，滿足柯西條件的數(shù)列又稱為柯西列，或基本列）.實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個

36、實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁想疥洲締沼逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激證明 必要性 設，有數(shù)列極限定義，對任給的,存在，當時有， 因而實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁想疥洲締沼

37、逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激充分性 先證明該數(shù)列必定有界，取，因為滿足柯西條件，所以，有，令，則對一切，成立，由致密性定理，在中必有收斂子列：，由條件，當時有，在上式中取，其中充分大，滿足，并且令，于是得到，即得到數(shù)列收斂.實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁想疥洲締沼

38、逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激要證明實數(shù)完備性定理的等價性,還必須由定理6證明出定理1.實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁想疥洲締沼逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激用數(shù)列的柯西收斂準則證明確界原理實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及

39、其應用摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁想疥洲締沼逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激證明 設為非空有上界數(shù)集，由實數(shù)的阿基米德性知，對任何正數(shù)，存在整數(shù)，使得為的上界，而不是的上界，即存在，使得，分別取，則對每一個正整數(shù)，存在相應的，使得為的上界，故存在，使得 （6），又對正整數(shù)是的上界，故有，結合（6）式得，同理有，從而有，于

40、是，對任給的，存在，使得當時有，由柯西收斂準則知，數(shù)列收斂，記 （7）現(xiàn)在證明就是的上確界，首先，對任何和正整數(shù)有，由（7）式得，即是的一個上界，其次，對任何，由及（7）式，對充分大的同時有，又因不是的上界，故存在，使得，結合上式得，這說明為的上確界，同理可證，若為非空有下界數(shù)集，則必存在下確界.實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染

41、彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁想疥洲締沼逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激3.實數(shù)完備性定理的應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁想疥洲締沼逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激實數(shù)的完備性在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質的證明以及積分學中都有很廣泛的應用我

42、們將通過一系列例題闡述實數(shù)完備性定理的應用，認識實數(shù)完備性定理的重要作用和地位.實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁想疥洲締沼逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激例1 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，那么在閉區(qū)間上有界.實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集

43、的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁想疥洲締沼逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激證明 若不然，不妨假設在上無界，那么存在，使得，由此得知，另外，因為是有界數(shù)列，所以由致密性定理，有收斂的子列，設，由于，有極限的不等式性質知，故在點連續(xù)，有歸結原則導出，矛盾，則知假設不成立，從而有函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在閉區(qū)間上有界實數(shù)完備性定理的證明及其應用

44、實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁想疥洲締沼逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激例2 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上一致連續(xù).實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有

45、多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁想疥洲締沼逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激證明 若不然，存在，以及區(qū)間上的點列，雖然，但是 （7），因為有界，所以由致密性定理，有一個收斂的子列，設，又，由極限的不等式性質推得，故在點連續(xù)，有歸結原則與（7）式得，矛盾，則假設不成立，從而有在上一致連續(xù).實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集

46、的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁想疥洲締沼逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激用有限覆蓋定理證命題的一般步驟：（1），使得具有性質，即為一個開覆蓋；（2）運用有限覆蓋定理（即存在中有限個開區(qū)間）設為覆蓋了；（3）利用具有性質得出具有性質.實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基

47、本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁想疥洲締沼逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激例3 用有限覆蓋定理證明：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性定理.實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁想

48、疥洲締沼逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激證明 設在區(qū)間上連續(xù)，根據(jù)連續(xù)函數(shù)的局部有界性定理，對于任意的，存在正數(shù)以及正數(shù)，當時有 作開區(qū)間集，顯然覆蓋了區(qū)間，根據(jù)有限覆蓋定理，存在中有限個開區(qū)間，它們也覆蓋了，令，呢么對于任意的，存在，使得，并且有.實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠

49、篇賭琶抿側犁想疥洲締沼逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激結束語實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁想疥洲締沼逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征,它是微積分學的堅實的理論基礎.在證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質的時候,由于實數(shù)的

50、完備性定理是等價的,所以可以用任何一個實數(shù)的完備性定理證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質,只是證明的難度有所區(qū)別罷了，在平常的學習過程中我們一定要注重實數(shù)的完備性的重要性.實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁想疥洲締沼逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激參考文獻實數(shù)完備性定理的證明及其

51、應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁想疥洲締沼逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激1華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析第三版M.北京:高等教育出版社,2001:52-63.實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從

52、不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁想疥洲締沼逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激2陳紀修,於崇華,金路.數(shù)學分析第二版M.北京：高等教育出版社,2004:75-90.實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過

53、證明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁想疥洲締沼逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激3鞏增泰.數(shù)學的實踐與認識 J.西北師范大學數(shù)學與信息科學學院,2004,6(1):7-8.實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁想疥洲締沼逃

54、僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激4李萬軍.確界定理新證J.宜賓學院學報,2003,3(5):2-4.實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備性是實數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學的堅實的理論基礎，可以從不同的角度來描述和刻畫實數(shù)集的完備性，因此有多個實數(shù)集的完備性基本定理，包含六個實數(shù)集完備性基本定理.本文通過證明這六個基本定理的等價性，來幅胚樁尤汲俄鉻彪笑吻卷邏染彤梢遺閻聞一蕉軒揩唐機杠篇賭琶抿側犁想疥洲締沼逃僑諒沾半鍘驟柑蹦浴高效敦囂凜姓踏寇汐宅振授噓閻菩辱枉激5劉永健,唐國吉.實屬完備性的循環(huán)證明及其教學注記J.時代教育,2009(2):5-12.實數(shù)完備性定理的證明及其應用實數(shù)完備性定理的證明及其應用摘要：實數(shù)集的完備