高數(shù)中的重要定理與公式及其證明(四)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高數(shù)中的重要定理與公式及其證明（四）考研數(shù)學(xué)中最讓考生頭疼的當(dāng)屬證明題，而征服證明題的第一關(guān)就是教材上種類繁多的定理證明。如果本著嚴(yán)謹?shù)膶Υ龜?shù)學(xué)的態(tài)度，一切定理的推導(dǎo)過程都是應(yīng)該掌握的。但考研數(shù)學(xué)畢竟不是數(shù)學(xué)系的考試，很多時候要求沒有那么高。而有些定理的證明又過于復(fù)雜，硬要要求自己掌握的話很多時候可能是又費時又費力，最后還弄得自己一頭霧水。因此，在這方面可以有所取舍。現(xiàn)將高數(shù)中需要掌握證明過程的公式定理總結(jié)如下。這些證明過程，或是直接的考點，或是蘊含了重要的解題思想方法，在復(fù)習(xí)的初期，先掌握這些證明過程是必要的。1）泰勒公式（皮亞諾余項）設(shè)函數(shù)在點處存在階導(dǎo)數(shù)，則在的

2、某一鄰域內(nèi)成立【點評】：泰勒公式在計算極限、高階導(dǎo)數(shù)及證明題中有很重要的應(yīng)用。對于它們，我們首要的任務(wù)是記住常見函數(shù)（）在處的泰勒公式，并能利用它們計算其它一些簡單函數(shù)的泰勒公式，然后在解題過程中加以應(yīng)用。在復(fù)習(xí)的前期，如果基礎(chǔ)不是很好的話，兩種不同形式的泰勒公式的證明可以先不看。但由于證明過程中所用到的方法還是很常用的。因此把它寫在這里。證明：令則我們要證明。由高階無窮小量的定義可知，需要證明。這個極限式的分子分母都趨于零，并且都是可導(dǎo)的，因此用洛必達法則得再次注意到該極限式的分子分母仍趨于零，并且也都是可導(dǎo)的，因此可以再次運用洛必達法則。不難驗證該過程可以一直進行下去，運用過次洛必達法則后

3、我們可以得到由于在點處存在階導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的定義可知代入可得。 證畢注：這個定理很容易得到如下錯誤的證明：直接用次洛必達法則后得到錯誤的原因在于定理條件中僅告知了在點處存在階導(dǎo)數(shù)，并沒有說明在其它點處的階導(dǎo)數(shù)是否存在。就算其它點處的階導(dǎo)數(shù)也存在，也不一定連續(xù)，也不一定成立。希望大家注意。2）泰勒公式（拉格朗日余項）設(shè)函數(shù)含有點的某個開區(qū)間內(nèi)有直到階導(dǎo)數(shù)，則對內(nèi)任意一點，都成立其中，其中介于和之間?！军c評】：同上。證明：令則我們需要證明。由于，因此易知，滿足柯西中值的條件。因此，由柯西中值定理可知，在和之間存在一點使得而因此，此時仍然有。則。易知，仍滿足柯西中值的條件。因此，由柯西中值定理可知，在

4、和之間存在一點使得。由于在和之間，因此也在和之間。容易檢驗，上述過程可以一直進行下去，使用過次柯西公式后即可得到。 證畢注：在計算極限或確定無窮小量的階時，一般用到皮亞諾余項的泰勒公式；在做證明題時用拉格朗日余項比較多。兩種泰勒公式的條件是不同的，其中拉格朗日余項的條件更強，結(jié)論也更強。這兩個定理的證明，如果基礎(chǔ)不太好一時接受不了的話可以先跳過，到下一階段再看。3）定積分中值定理設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則在積分區(qū)間上至少存在一點使得下式成立：【點評】：積分中值定理是定積分比較定理和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理的推論，它在是證明微積分基本定理的基礎(chǔ)，在整個微積分中具有極大的理論意義。同時，證明題中對該定理的應(yīng)用也比較常見，通常會和微分中值定理結(jié)合使用，考生首先應(yīng)該熟記該定理的條件和結(jié)論。另外，考試中還出現(xiàn)過與該定理證明方法類似的證明題。因此，該定理的證明過程也是需要掌握的。該定理的證明過程教材上有，因為比較重要，也為了方便大家，在這里寫一下我的證明過程證明：由于在區(qū)間上連續(xù)，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值定理可知：在區(qū)間上可以取到最大與最小值。設(shè)最大值為，最小值為。則有。則有，也即兩邊同時除以可得?？芍墙橛诤瘮?shù)在區(qū)間上的最大值和最小值為之間的一個數(shù)。由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理可知，能取到上的一切數(shù)。因此在積分區(qū)間上存在一點使得：。也即。 證畢附：下面是02年數(shù)三的一道