高考數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合的思想

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上數(shù)形結(jié)合的思想一、高考真題感悟已知函數(shù)f (x) 若a，b，c互不相等，且f (a)f (b)f (c)，則abc的取值范圍是_解：畫出函數(shù)f (x)的圖象，如下圖所示：由圖象知，要使f (a)f (b)f (c)，不妨設(shè)a<b<c，則lg alg bc6.lg alg b0，ab1，abcc.由圖知10<c<12，abc(10,12)考題分析本小題考查了分段函數(shù)的特征及性質(zhì)、對(duì)數(shù)函數(shù)及其運(yùn)算重點(diǎn)考查了解決問題的方法即數(shù)形結(jié)合的思想方法體現(xiàn)了對(duì)知識(shí)和能力的雙重考查易錯(cuò)提醒(1)找不到問題解決的突破口，即想不到用數(shù)形結(jié)合(2)f(x)的圖象的特征

2、不清，忽視對(duì)(1,0)和(10,1)這兩個(gè)特殊點(diǎn)的分析(3)不會(huì)借助圖形進(jìn)行分析二、思想方法概述1數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想：包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動(dòng)性和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以“形”作為手段，“數(shù)”作為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以“數(shù)”作為手段，“形”作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)2運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題時(shí)，要遵循三個(gè)原則：(1)等價(jià)性原則在數(shù)形結(jié)合時(shí)，代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換必須是等價(jià)的，否則解題將會(huì)出現(xiàn)漏洞有時(shí)，由于圖形的局限性

3、，不能完整的表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時(shí)圖形的性質(zhì)只能是一種直觀而淺顯的說明，要注意其帶來的負(fù)面效應(yīng)(2)雙方性原則既要進(jìn)行幾何直觀分析，又要進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)抽象探求，僅對(duì)代數(shù)問題進(jìn)行幾何分析容易出錯(cuò)(3)簡單性原則不要為了“數(shù)形結(jié)合”而數(shù)形結(jié)合具體運(yùn)用時(shí)，一要考慮是否可行和是否有利；二要選擇好突破口，恰當(dāng)設(shè)參、用參、建立關(guān)系、做好轉(zhuǎn)化；三要挖掘隱含條件，準(zhǔn)確界定參變量的取值范圍，特別是運(yùn)用函數(shù)圖象時(shí)應(yīng)設(shè)法選擇動(dòng)直線與定二次曲線3數(shù)形結(jié)合思想解決的問題常有以下幾種：(1)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求參數(shù)的取值范圍；(2)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究方程根的范圍；(3)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究量與量之間

4、的大小關(guān)系；(4)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其幾何意義研究函數(shù)的最值問題和證明不等式；(5)構(gòu)建立體幾何模型研究代數(shù)問題；(6)構(gòu)建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題；(7)構(gòu)建方程模型，求根的個(gè)數(shù)；(8)研究圖形的形狀、位置關(guān)系、性質(zhì)等4數(shù)形結(jié)合思想是解答高考數(shù)學(xué)試題的一種常用方法與技巧，特別是在解填空題時(shí)發(fā)揮著奇特功效，這就要求我們?cè)谄綍r(shí)學(xué)習(xí)中加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，以提高解題能力和速度具體操作時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域；(2)用圖象法討論方程(特別是含參數(shù)的方程)的解的個(gè)數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式(有

5、時(shí)可能先作適當(dāng)調(diào)整，以便于作圖)，然后作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，由圖求解5在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析問題和解決問題時(shí)，需做到以下四點(diǎn)：(1)要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征；(2)要恰當(dāng)設(shè)參，合理用參，建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化；(3)要正確確定參數(shù)的取值范圍，以防重復(fù)和遺漏；(4)精心聯(lián)想“數(shù)”與“形”，使一些較難解決的代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化，以便于問題求解三、熱點(diǎn)分類突破題型一數(shù)形結(jié)合思想在解決方程的根、不等式解集問題中的應(yīng)用例1(1)設(shè)函數(shù)f(x)若f(4)f(0)，f(2)2，則函數(shù)yg(x)f(x)x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(2)使log2(x)<x1成立的x的取值范圍是_解(

6、1)由f(4)f(0)得164bcc.由f(2)2，得42bc2.聯(lián)立兩方程解得：b4，c2.于是，f(x)在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，作出函數(shù)yf(x)與函數(shù)yx的圖象，知它們有3個(gè)交點(diǎn)，進(jìn)而函數(shù)亦有3個(gè)零點(diǎn)(2)在同一坐標(biāo)系中，分別作出ylog2(x)，yx1的圖象，由圖可知，x的取值范圍是(1,0)變式訓(xùn)練1 已知定義在R上的奇函數(shù)f (x)滿足f (x4)f (x)，且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，若方程f (x)m (m>0)在區(qū)間8,8上有四個(gè)不同的根x1，x2，x3，x4，則x1x2x3x4_.解函數(shù)在0,2上是增函數(shù)，由函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，可得f(0)0，函數(shù)圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，這

7、樣就得到了函數(shù)在2,2上的特征圖象，由f(x4)f(x)f(4x)f(x)，故函數(shù)圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱，這樣就得到了函數(shù)在2,6上的特征圖象，根據(jù)f(x4)f(x)可得 f(x8)f(x4)f(x)，函數(shù)以8為周期，即得到了函數(shù)在一個(gè)周期上的特征圖象，就不難根據(jù)周期性得到函數(shù)在8,8上的特征圖象(如圖所示)，根據(jù)圖象不難看出方程f(x)m (m>0)的四個(gè)根中，有兩根關(guān)于直線x2對(duì)稱，另兩根關(guān)于直線x6對(duì)稱，故四個(gè)根的和為2×(6)2×28.題型二數(shù)形結(jié)合思想在求參數(shù)、代數(shù)式取值范圍問題中的應(yīng)用例2已知函數(shù)f(x)若函數(shù)g(x)f(x)m有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍

8、為_思維啟迪 作出分段函數(shù)f(x)的圖象，觀察圖象與ym的交點(diǎn)個(gè)數(shù)解函數(shù)f(x)畫出其圖象如圖所示又由函數(shù)g(x)f(x)m有3個(gè)零點(diǎn)，知yf(x)與ym有3個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(0,1)探究提高 解決函數(shù)的零點(diǎn)問題，通常是轉(zhuǎn)化為方程的根，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題在解決函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題時(shí)，常用數(shù)形結(jié)合，以“形”助“數(shù)”，直觀簡潔變式訓(xùn)練2 若不等式logax>sin 2x (a>0，a1)對(duì)任意x都成立，則a的取值范圍為_解記y1logax，y2sin 2x，原不等式相當(dāng)于y1>y2，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖所示，知當(dāng)y1logax過點(diǎn)A時(shí)，a，所以當(dāng)<

9、a<1時(shí)，x都有y1>y2.題型三數(shù)形結(jié)合思想在求幾何量中最值問題中的應(yīng)用例3 已知P是直線3x4y80上的動(dòng)點(diǎn)，PA、PB是圓x2y22x2y10的兩條切線，A、B是切點(diǎn)，C是圓心，求四邊形PACB面積的最小值思維啟迪 在同一坐標(biāo)系中畫出直線與圓作出圓的切線PA、PB，則四邊形PACB的面積S四邊形PACBSPACSPBC2SPAC.把S四邊形PACB轉(zhuǎn)化為2倍的SPAC可以有以下多條數(shù)形結(jié)合的思路解方法一從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看問題，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P沿直線3x4y80向左上方或向右下方無窮遠(yuǎn)處運(yùn)動(dòng)時(shí)，直角三角形PAC的面積RtPACPA·ACPA越來越大，從而S四邊形PACB也越來越大

10、；當(dāng)點(diǎn)P從左上、右下兩個(gè)方向向中間運(yùn)動(dòng)時(shí)，S四邊形PACB變小，顯然,當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)一個(gè)最特殊的位置，即CP垂直直線時(shí)，S四邊形PACB應(yīng)有唯一的最小值，此時(shí)PC3，從而PA2.(S四邊形PACB)min2××PA×AC2.方法二利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則PC，由勾股定理及AC1，得PA，從而S四邊形PACB2SPAC2·PA·ACPA，從而欲求S四邊形PACB的最小值，只需求PA的最小值，只需求PC2(x1)2(y1)2的最小值，即定點(diǎn)C(1,1)與直線上動(dòng)點(diǎn)P(x，y)距離的平方的最小值，它也就是點(diǎn)C(1,1)到直線3x4

11、y80的距離的平方，這個(gè)最小值d2()29，(S四邊形PACB)min2.方法三利用函數(shù)思想，將方法二中S四邊形PACB中的y由3x4y80解出，代入化為關(guān)于x的一元二次函數(shù)，進(jìn)而用配方法求最值，也可得(S四邊形PACB)min2.探究提高 本題的解答運(yùn)用了多種數(shù)學(xué)思想方法:數(shù)形結(jié)合思想，運(yùn)動(dòng)變化的思想，等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想以及函數(shù)思想，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，能使數(shù)學(xué)問題快速得以解決變式訓(xùn)練3 圓C的方程為(x2)2y24，圓M的方程為(x25cos )2(y5sin )21 (R)過圓M上任意一點(diǎn)P作圓C的兩條切線PE、PF，切點(diǎn)分別為E、F，則·的最小值是_解由題意，可知圓心M (25cos ，5sin )，設(shè)則可得圓心M的軌跡方程為(x2)2y225，如下圖所示：由圖分析可知，只有當(dāng)P、M、C三點(diǎn)共線時(shí)，才能夠使·最小,此時(shí)PC4,EC2,則PEPF2，且EPF2EPC2×30°60°，故·(2)2×cos 60°6.四、規(guī)律方法總結(jié)1利用數(shù)形結(jié)合解題，只需把圖象大致形狀畫出即可，不需要精確圖象2數(shù)形結(jié)合思想是解決高考數(shù)學(xué)試題的一種常用方法與技