高級(jí)中學(xué)常見(jiàn)分段函數(shù)題型歸納

1、*它是一個(gè)函數(shù),f(x)例1.已知函數(shù)分段函數(shù)常見(jiàn)題型及解法分段函數(shù)是指自變量在兩個(gè)或兩個(gè)以上不同的范圍內(nèi)，有不同的對(duì)應(yīng)法則的函數(shù),非幾個(gè)函數(shù)；它的定義域是各段函數(shù)定義域的并集，其值域也是各段函數(shù)值域的并集與分段函數(shù)有關(guān)的類型題的求解，在教材中只出現(xiàn)了由分段函數(shù)作出其圖象的題型，并未作深入說(shuō)明,因此，對(duì)于分段函數(shù)類型的求解不少同學(xué)感到困難較多，現(xiàn)舉例說(shuō)明其求解方法.1 .求分段函數(shù)的定義域和值域2x 2 x 1,0; f(x) 1x x (0,2);例1.求函數(shù)3 x 2,"的定義域、值域.解析：作圖，利用“數(shù)形結(jié)合”易知 f(x)的定義域?yàn)?)，值域?yàn)?-1, 2U 3.(A &g

2、t;0)劃=4 3例2.求函數(shù)(彳二 口)的值域.解析：因?yàn)楫?dāng)xno時(shí)，x2+1>l；當(dāng)x<0時(shí)，-x2<0.所以，原函數(shù)的值域是2 .求分段函數(shù)的函數(shù)值|x 1| 2,(|x| 1)11 x2,(|x| 1)求 ffG)解析：因?yàn)閒(2) 11 1| 23 HF)凡所以f( 1)1 ( 1)2413.或)依1圈】X例2.已知函數(shù)L -(/ < 0),(。工"D，(,求 f聯(lián)a) (a<0)的值.分析：求此函數(shù)值關(guān)鍵是由內(nèi)到外逐一求值,即由a<0, f(a)=2a ,又 0<2a<1,7(V3) = 10gl = -7VU D3 &qu

3、ot; ，所以，注：求分段函數(shù)值的關(guān)鍵是根據(jù)自變量的取值代入相應(yīng)的函數(shù)段.g(x)練1.設(shè)ex, x 0.lnx,x 0.則1以町)(x 2).則 ff(2)f(x)練2.設(shè)x 12e (x 2),.2log 3(x 1)3 .求分段函數(shù)的最值4x 3 (x 0)f(x) x 3 (0 x 1)fmax(x)f(1) 4當(dāng)x 1時(shí),例1.求函數(shù)x 5 (x 1)的最大值.解析：當(dāng)x 。時(shí)，fmax(x)f3,當(dāng)0 x 1時(shí)4,綜上有fmax (x)例2.設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=x 2+|x-a|+1,x £ R,求f(x)的最小值 分析：因?yàn)樵瘮?shù)可化為/十二一口十1所以，只要分別

4、求出其最小值，再取兩者較小者即可鏟 * 葉：f 2解：當(dāng)x<a時(shí)，函數(shù)f(x)=x2-x+a+1 乙3十厘十一4a < -所以若 2 ,則函數(shù)f(x)在(-8,a止單調(diào)遞減，從而f(x)在(-8,a止的最小值為f(a)=a2+1.-2 ,則函數(shù)f(x)在(-°0,a止的最小值為一3十口4 ，且/ (a) =+ x- a-l = (x + )J當(dāng)x>a時(shí)，函數(shù)20 + 4; 3八一 0 =ja八一三”2 4，且 2a若 2 ,則函數(shù)f(x)在a,+的最小值為f(a)=a2+1.綜上，當(dāng) 2時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值是4當(dāng) 22時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值是a ,則函數(shù)f(x

5、)在a,+ 8t的最小值為+1 ；、1 3 a > a 當(dāng) 2時(shí)，函數(shù)造)的最小值是4.注：分段函數(shù)最值求解方法是先分別求出各段函數(shù)的最值，再進(jìn)行大小比較，從而達(dá)到求解的目的4 .求分段函數(shù)的解析式例1.在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y f(x)和y g(x)的圖象關(guān)于直線y x對(duì)稱，現(xiàn)將 y g(x)的圖象沿x軸向左平移2個(gè)單位，再沿y軸向上平移1個(gè)單位，所得的圖象是由兩條線段組成的折線(如圖所示)則函數(shù)f(x) 的表達(dá)式為()A. f(x)2x 2 ( 1 x 0) 2x 2(0 x 2)B. f(x)2x 2x 22 2(1x0)(0 x 2)C. f(x)2x 2 (1 x 2)2

6、 1(2 x 4)D. f(x)2x 6 (1 x 2)2 3(2 x 4)解析：當(dāng)x 2，0時(shí),y 2x 1將其圖象沿x軸向右平移2個(gè)單位，再與&y軸向下平移1個(gè)單位，得解析式為y 12(x 2) 1 11x 1,所以 f(x) 2x 2 (x 1,0)當(dāng) x 0,1時(shí),y 2x 1將其圖象沿x軸向右平移2個(gè)單位,再沿y軸向下平移1個(gè)單位，得解析式y(tǒng) 2(x 2) 1 1 2x 4 所以 f(x) x 2 (x 0,2)綜上可得f(x)2x 2 ( 1 x 0)(0x 2)故選A.2月1日起的300天內(nèi)，西紅柿售價(jià)與上市時(shí)例2.某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場(chǎng)行情得知，從間的關(guān)系用圖

7、1的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時(shí)間的關(guān)系用圖2的拋物線段表示:(I)寫出圖l表示的市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式P=f(t),寫出圖2表示的種植成本與上市時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式Q=g(t) ; (II)認(rèn)定市面上售價(jià)減去種植成本為純收益，問(wèn)何時(shí)上市的西紅柿純收益最大？解析:(I)由圖l可得市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的關(guān)系為(0< 200)(200 <2 £30。)由圖2可得種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為13上 UU(0<t<30 0(II)設(shè)t時(shí)間的純收益為 h(t),由題意得?+ (。工 E 420022_L產(chǎn) 二”丹里£3。0)一h(t)=f(t)-g(t)20

8、022再求h(t)的最大值即可。注：觀察圖1,知f(t)應(yīng)是一個(gè)關(guān)于t的一次分段函數(shù)，觀察圖 2可知g(t)是關(guān)于t的二次函數(shù)，可設(shè) 為頂點(diǎn)式，即設(shè) g(t)=a(t-150) 2+100。5 .作分段函數(shù)的圖像11nxi例i.函數(shù)ye |x 11的圖像大致是()D例2.已知函數(shù)f(x)=|x2-2x-3的圖象與直線 解：f(x)=|(x-1) 2-4|=|(x+1)(x-3)|,y=a有且僅有3個(gè)交點(diǎn)，求a的值.所以(工 > 3)由圖象易知a=4.注：此題可以根據(jù)函數(shù)圖像的對(duì)稱性直接畫出函數(shù)圖像，再根據(jù)數(shù)形結(jié)合的方法求出，不用寫出函數(shù) 解析式，更簡(jiǎn)單.例3.已知函數(shù)f(x)=|x2-2

9、x-3的圖象與直線y=a有且僅有3個(gè)交點(diǎn)，求a的值.解：f(x)=|(x-1)2-4|=|(x+1)(x-3)|,由圖象易知a=4.(TK 3),S >3).注：此題可以根據(jù)函數(shù)圖像的對(duì)稱性直接畫出函數(shù)圖像，再根據(jù)數(shù)形結(jié)合的方法求出，不用寫出函數(shù) 解析式，更簡(jiǎn)單.6 .求分段函數(shù)得反函數(shù)例1.求函數(shù)”0)(天)°)的反函數(shù).解：: f(x)在R上是單調(diào)減函數(shù),1. f(x)在R上有反函數(shù).y=x2+1(x w 0兩反函數(shù)是 y - 一J' 一1 (x > 1),y=1-x(x>0)的反函數(shù)是 y=1-x(x<1),函數(shù)f(x)的反函數(shù)是gl),5 &l

10、t; 1).注：求分段函數(shù)的反函數(shù)只要分別求出其反函數(shù)即可例2.已知y f(x)是定義在R上的奇函數(shù)且當(dāng) x 0時(shí)，f(x)3x 1設(shè)f(x)得反函數(shù)為y g(x), 求g(x)的表達(dá)式.解析：設(shè)xx0,則 x 0,所以 f( x) 31又因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)所以f( x)f(x),且 f(0)0,所以 f(x) 1 3因此3x1(x0)f(x)0(x0)g(x)13 x(x0),從而可得例 3.已知 f(x) l0g3(x + 1)(x>6)3x-6(x<6)log3(x 1) (x 0)0(x 0)log3(1 x) (x 0),若記f 1(x)為f (x)的反函數(shù)

11、，且1 1(9),f(a 4)7 .判斷分段函數(shù)的奇偶性f (x)例1.判斷函數(shù)2 ,/、，x (x 1) (x2x (x 1)(x0)0)的奇偶性.解析：當(dāng)x 0時(shí),f( 0)f(0) 0,當(dāng) x 0意 x R都有 f ( x) f(x),所以f (x)為偶函數(shù).22 ,x 0, f( x) ( x) ( x 1) x (x 1) f(x),當(dāng) x 0時(shí)注：分段函數(shù)奇偶性必須對(duì)8.判斷分段函數(shù)的單調(diào)性x值分類，從而比較f(-x)與f(x)的關(guān)系，得出f(x)是否是奇偶函數(shù)結(jié)論3xf (x)2例1.判斷函數(shù)x解一：x (x 0)(x 0)的單調(diào)性.分析：由于xCR,所以對(duì)于設(shè)x1>x2必

12、須分成三類:1.當(dāng) x>x2>0 時(shí)，貝U f(x1)-f(x 2)=+1 (勺 +1) =(x1-x2)(x1+x2)>0 ；2.當(dāng)0”1>x2時(shí)，則八a-7區(qū))=-1；-(-君)=工廠硝區(qū)f)o；3.當(dāng)x1>0>x2時(shí),則以川-區(qū))=工： C$l>0 一綜上所述：xCR,且 x1>x2 時(shí),有 f(x 1)-f(x 2)>0。所以函數(shù)f(x)是增函數(shù).注：分段函數(shù)的單調(diào)性的討論必須對(duì)自變量的值分類討論'2解二：顯然f(x)連續(xù).當(dāng)x 0時(shí)，f (x) 3x 1 1恒成立,所以f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)x 0 時(shí)，f(x) 2x

13、0 恒成立，f(x)也是單調(diào)遞增函數(shù)，所以f(x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù)；或畫圖易知f(x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù).例2.寫出函數(shù)f(x) |1 2x| |2x|的單調(diào)減區(qū)間.解析:f(x)3x 1 (x3 x (3x1 (x2)2 x2)2),畫圖知單調(diào)減區(qū)間為9.解分段函數(shù)的方程例1.設(shè)函數(shù)解析：若21x 814,解得例2.設(shè)函數(shù)解析：若21x 814,解得f(x)f(x)log81 x(1,)log81 x，則2 x3 (1,)練1:函數(shù)f(x)=A.a<0(1,1) 升f (x) ,則滿足方程2,得x 2 (,1,所以所以x 3即為所求.x的值為(舍去)，若log81x1”,則(,1

14、(1,) ,則滿足方程f(x)2,得x 2 (，1,所以所以x 3即為所求.,1 x2(|x| 1) |x|(|x| 1)B.0<a<1,如果方程f(x)=a有且只有C.a=14的x的值為x 2 (舍去)，若 10g81 x個(gè)實(shí)根，那么a滿足D.a>1f (x)練2:設(shè)定義為R的函數(shù)lg x 1 , x 1,0,x 0.則關(guān)于x的方程f2(x)bf (x) c 0有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)解的充要條件是()A. b 0 且 C 0 b. b 0且 C 0C. b 0且 C 0 d. b 0且 c 0練3:設(shè)函數(shù)f (x)在()上滿足 f(2 x) f(2 x), f(7 x)f(7 x

15、),且在閉區(qū)間0,7上，只有 f f(3) 0.(I)試判斷函數(shù)y f(x)的奇偶性;(n)試求方程f (x)0在閉區(qū)間10.解分段函數(shù)的不等式2005,2005上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論f(x)設(shè)函數(shù)2 x1x21 (x(x0)0),若f(x0) 1,則x0得取值范圍是()A.( 1,1) C.(, D.(,b.( 1,2) (0,1) (1,解一首先畫出f(x)和f(%) 1時(shí),所對(duì)應(yīng)的x0的取值范圍是的大致圖像，,1)(1,解二:因?yàn)閒 (x0)1 ,當(dāng) x00時(shí)，2x011,解得 x01 ,當(dāng) x00時(shí),1 x021,解得x01,綜上x0的取值范圍是,1)(1,) .故選D.C.例2

16、:解析:f(x) 1f(x)設(shè)函數(shù)2 0,102 1,10當(dāng)x 1時(shí),(xf(x)0 x 10,故選A項(xiàng).1)2.x 1(x(xB.D.1 (x1)1),22,01)21則使得f(x)0,11,1010,所以11的自變量x的取值范圍為0,所以x2或0 xx 10,綜上所述，x當(dāng)x 1時(shí),f (x)例3:設(shè)函數(shù)(x 1)2 (x 1)則使得f(x) 1的自變量x的取值范圍為(4,x 1 (x 1)A. (,2 0,10B. (, 2 0,1C. (, 2 1,10D. 2,01,102,解析：當(dāng) x 1 時(shí)，f(x) 1 (x 1)1x2或x 0,所以x2或0 x 1,當(dāng)x 1時(shí),x 10所以1 x 10,綜上所述,f(x)練1 :已知1 (x 0)0 x 10,故選A項(xiàng).1 (x 0),則不等式 x (x 2)f(x 2) 5的解集是練 2:設(shè) f(x)=x 12e , x10g 3(x22,1),x 2,則不等式f(x)>2的解集為(A) (1, 2)(3, +8)(B) (。10 , +oo)(C) (1, 2)(T10 , +oo)(D) (1, 2)1 (以；有理數(shù))練