有限長(zhǎng)螺線管串聯(lián)等效電感的計(jì)算

1、有限長(zhǎng)螺線管串聯(lián)等有限長(zhǎng)螺線管串聯(lián)等效電感的計(jì)算效電感的計(jì)算芮雪芮雪4系系2001級(jí)級(jí)摘摘 要要對(duì)于長(zhǎng)為L(zhǎng)，體積為V，單位長(zhǎng)度上匝數(shù)為n的螺線管，其自感: 而兩個(gè)順接串聯(lián)的螺線管L=L1+L2+2M，其中M為兩螺線管互感。這兩式均已經(jīng)證明，但若同時(shí)使用這兩式進(jìn)行計(jì)算時(shí)，將出現(xiàn)矛盾。經(jīng)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，其根本原因在于有限長(zhǎng)螺線管內(nèi)部磁場(chǎng)的計(jì)算方法上。本文將從有限長(zhǎng)螺線管內(nèi)部磁場(chǎng)的計(jì)算出發(fā)，根據(jù)磁場(chǎng)的疊加性原理，唯一性定理及鐵磁性材料的特性，重新計(jì)算M,L的表達(dá)式，并證明L=L1+L2+2M的正確性。SLnL20引 言考慮如圖的螺線管，其自感系數(shù) 若從P點(diǎn)剪斷，再接合。即視為AP，PB兩螺線管的串聯(lián)，則

2、VnL20MLMBpsnApsnMLLLBpsnLApsnLBPAPBpAP22220202020 K為耦合系數(shù)。若有鐵芯，AP，PB應(yīng)耦合的很好。即便沒(méi)有鐵芯，兩螺線管靠的如此之近，M不應(yīng)為零。則 直觀上理解，這是同一個(gè)螺線管應(yīng)有L=L。這便出現(xiàn)了矛盾。BpApLLKM LL 正 文準(zhǔn)備工作在本文中，討論的螺線管參數(shù)如下：L:螺線管長(zhǎng)度n:螺線管單位長(zhǎng)度上匝數(shù)I:線圈上電流強(qiáng)度S:螺線管截面積R:螺線管截面半徑1.圓線圈載流軸線上磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小圓線圈載流軸線上磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小線圈半徑為R，通以電流I，則其軸線上點(diǎn)Z處2322202ZRIRBz2.沒(méi)有鐵芯時(shí)有限長(zhǎng)密繞螺線管軸線上磁沒(méi)有鐵芯時(shí)

3、有限長(zhǎng)密繞螺線管軸線上磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小感應(yīng)強(qiáng)度的大小.沒(méi)有鐵芯時(shí)有限長(zhǎng)密繞螺線管軸線上磁感應(yīng)強(qiáng)度120coscos2nIBp3.沿軸向均勻磁化的有限長(zhǎng)磁棒軸線上磁沿軸向均勻磁化的有限長(zhǎng)磁棒軸線上磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小感應(yīng)強(qiáng)度的大小.設(shè)介質(zhì)磁化強(qiáng)度為M,磁化引起的附加磁感應(yīng)強(qiáng)度計(jì)算如下:磁化宏觀效果相當(dāng)于在介質(zhì)棒側(cè)面引起環(huán)行磁化電流.單位長(zhǎng)度電流i=M,這也就相當(dāng)于一個(gè)螺線管,i相當(dāng)于nI. 所以對(duì)軸線上一點(diǎn)P有:120120coscos2coscos2MiBp4.一個(gè)假設(shè)一個(gè)假設(shè)一般地說(shuō),對(duì)于螺線管,LR,在R較小的情況下,在螺線管內(nèi)取一小回路ABMN,則：BMNdl+BANdh+BABdl+BBM

4、dh=0 dhR,且螺線管內(nèi)部即使沒(méi)有鐵芯,磁力線也比較平行,垂直Z軸的分量很小,所以：BMANBMANBBdlBdlB00 對(duì)于有鐵芯的情況更是這樣.因此,在下面的計(jì)算中,將以軸線上一點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度近似代替這點(diǎn)處垂直Z軸的面上的磁感應(yīng)強(qiáng)度. 螺線管沒(méi)有鐵芯時(shí)的情況螺線管沒(méi)有鐵芯時(shí)的情況120coscos2nIBp221222coscosRxxRxlxlBsndxdRRlIsndxRxxRxlxlIsndl220202222202RRlsnIL2202可見(jiàn)，當(dāng)為無(wú)限長(zhǎng)情況時(shí)VnslnLRl0202對(duì)于有限長(zhǎng)螺線管串聯(lián)的情況對(duì)于有限長(zhǎng)螺線管串聯(lián)的情況如圖l=l1+l21. 對(duì)于L1管(xl1)

5、2112010coscoscoscos2PPpBBnIB是l1在其自身處(xl1)產(chǎn)生的B大小0101coscos2InBp1202coscos2InBp是l2在l1處(xR,l1R,l2R RRlRlRlIsnl221222220222RRlRlRlsnM221222220221202210221lllsnM2.對(duì)于對(duì)于L2,仿上計(jì)算仿上計(jì)算2112010coscoscoscos2PPpBBnIB為l1在l2處產(chǎn)生的B大小為l2在自身處產(chǎn)生的B大小coscos21202InBpcoscos20101InBp220222coscosRxxRxlxl22111cosRxlxlBsndxd2122

6、122222222022211222122221120222llllRRlRlRlRRlIsndxRxlxlRxlxldxRxxRxlxlIsnd為l2在自身處產(chǎn)生的磁通量，則其自感L2為：RRlIsnl222022RRlsnL222022為l1在l2處產(chǎn)生的磁通量，則互感M為：可見(jiàn)M12=M21RRlRlRlIsnl221222220212RRlRlRlsnM2212222202122由順接串聯(lián)的螺線管等效自感計(jì)算公式LRRlsnRRlRlRlsnRRlsnRRlsnMLLL22022222212202222022210221222兩者完全吻合。有鐵芯的情況有鐵芯的情況鐵磁性材料性質(zhì)十分復(fù)雜

7、，這兒只能做一個(gè)簡(jiǎn)單討論。 螺線管內(nèi)磁場(chǎng)變化較小，鐵芯在其中可視作均勻磁化。于是，可按沿軸向均勻磁化的有限長(zhǎng)磁棒計(jì)算其軸線上磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小。 假設(shè)M與H成線性關(guān)系，這在H較小時(shí)是可以的，或者，我們可以用H點(diǎn)對(duì)應(yīng)的r。由介質(zhì)磁化規(guī)律，I=rI0。所以,有鐵芯存在時(shí)，螺線管內(nèi)B近似等于沒(méi)有鐵芯時(shí)B的r倍。與前文的計(jì)算完全相同，可以證明式子L=L1+L2+2M的正確性。出現(xiàn)矛盾結(jié)果的原因及分析討論出現(xiàn)矛盾結(jié)果的原因及分析討論出現(xiàn)矛盾結(jié)果的原因我認(rèn)為有出現(xiàn)矛盾結(jié)果的原因我認(rèn)為有4 4個(gè)方面：個(gè)方面：1.以無(wú)限長(zhǎng)代替有限長(zhǎng)的情況。 實(shí)際上，由于此時(shí)V已為無(wú)窮大，導(dǎo)致L也為無(wú)窮大，討論已無(wú)意義。2.本文

8、中所討論的情況，即兩螺線管串聯(lián)本文中所討論的情況，即兩螺線管串聯(lián)時(shí)，其位形與兩線圈疊繞不同時(shí)，其位形與兩線圈疊繞不同，21LLM 3. 磁介質(zhì)對(duì)磁介質(zhì)對(duì)M，L的影響的影響 考慮位于磁介質(zhì)中的兩線圈L1，L2，分別載有電流I1，I2。由于磁介質(zhì)的存在，I1在I2處產(chǎn)生的磁場(chǎng)應(yīng)是磁介質(zhì)由于I1存在引起的磁化電流及I1共同在I2處產(chǎn)生的磁場(chǎng)。而磁介質(zhì)的磁化情況與I1，I2都有關(guān)系。就本文而言就本文而言, , 由于使用的是鐵芯，鐵作由于使用的是鐵芯，鐵作為典型的鐵磁性材料，為典型的鐵磁性材料，M M與與H H已不是線性已不是線性關(guān)系關(guān)系。 I1，I2同時(shí)存在時(shí)磁介質(zhì)的磁化情況已不是I1，I2單獨(dú)存在情

9、況的簡(jiǎn)單疊加。同時(shí)，不一樣的I2對(duì)磁介質(zhì)影響不同，使I1在I2處引起的磁場(chǎng)也不同。這樣一來(lái)，磁通量也不同，導(dǎo)致互感M與I2也有了關(guān)系。 4. 4. 鐵磁性材料對(duì)磁力線束縛情況鐵磁性材料對(duì)磁力線束縛情況, ,這是最為主要的原因。這是最為主要的原因。 鐵磁性材料，理想情況下，它會(huì)將磁力線束于其內(nèi)而幾乎不穿出。但這有條件，條件就是磁路。 當(dāng)鐵芯的磁導(dǎo)率均勻且填滿磁場(chǎng)的某個(gè)閉合的磁力線管（磁力線管指的是一束磁感應(yīng)線組成的管狀區(qū)域，其中的磁感應(yīng)線與管壁平行。）時(shí)，由磁場(chǎng)的唯一性定理，合磁場(chǎng)的磁力線位形將與原外磁場(chǎng)完全一致。以至這樣安排的閉合鐵芯的確構(gòu)成一個(gè)理想磁路。要構(gòu)成一個(gè)磁路，首先鐵芯必須閉合。對(duì)于

10、密繞的螺繞環(huán)。環(huán)管本身正好是磁力線管。當(dāng)其內(nèi)部為均勻圓環(huán)狀鐵芯填滿時(shí)就構(gòu)成理想磁路。此時(shí)B=nrI.無(wú)限長(zhǎng)螺線管可視為半徑為無(wú)窮大的螺繞環(huán)，因此其內(nèi)B=nrI.氣隙對(duì)磁路有很大影響。氣隙的存在，即使是很小的氣隙，都會(huì)使磁路中B大大下降。對(duì)有限長(zhǎng)螺線管而言，它就相當(dāng)于一個(gè)有很大氣隙的磁路，此時(shí)的漏磁已非常嚴(yán)重，不能視之為理想情況而將鐵芯中B認(rèn)為還是nrI，是一勻強(qiáng)磁場(chǎng)。否則，將會(huì)出現(xiàn)下面的矛盾：如圖，繞在同一鐵芯上的兩組線圈M，N單位長(zhǎng)度上的匝數(shù)均為n，長(zhǎng)為l，若仍認(rèn)為理想磁路B=nrI，且理想束磁，M中B=nrI，N中B=nrI，考慮M中一點(diǎn)P處，M在P處產(chǎn)生的B為Bm=nrI，N在自身處B=nrI，由于鐵芯良好束磁，Bn=B=nrI，則由磁場(chǎng)疊加原理，Bp=Bn+Bm=2nrI，但這實(shí)際上可視作一個(gè)長(zhǎng)為2L，單位長(zhǎng)度上匝數(shù)為n的螺線管，從而Bp=nrI。這個(gè)矛盾也就是文中開頭所提出的矛盾的根源?？梢?jiàn)，有限長(zhǎng)的帶鐵芯螺線管，在這兒，必須按照磁介質(zhì)的磁化規(guī)律，按部就班的計(jì)算，不能簡(jiǎn)單的視作理想情況處理。從能量的角度出發(fā)考慮從能量的角度出發(fā)考慮N個(gè)載流線圈系統(tǒng)磁能：2,2121iniikinkikiikmILIIMW對(duì)于兩個(gè)順接串聯(lián)的螺線管 M21=M12=M，則22212212122121ILILIMIMWm222212212121LIILILMIWm同樣可以得到MLLL22