電磁學(xué)中的若干問題的初等數(shù)學(xué)建模解法

1、電磁學(xué)中的若干問題的初等數(shù)學(xué)建模解法大家都知道，解物理題的過程中構(gòu)建模型是關(guān)鍵。選擇好的物理模型不但物理含義清晰，而且解法簡潔。許峰1、求線電荷密度為，長為l的直線帶電體在中垂線上，距離帶電體為d處的場強(qiáng)大小。此題若用微積分解自然非常方便快捷，但用初等模型也可以解決。且物理含義非常明確。AB是關(guān)于中垂線OC對稱，故只要考慮各微元在CO方向的分量即可。dlOCAB我們先來構(gòu)建一圓弧AB。連接OA、OB，以O(shè)C為半徑作圓，交AO于點(diǎn)A，交BO于點(diǎn)B。在AB上任取一微元mn,連接mO,nO，交 于點(diǎn)m、n。過n點(diǎn)作om的垂線，垂足為點(diǎn)h.現(xiàn)考察微元mn在O點(diǎn)處產(chǎn)生的場強(qiáng)在CO方向貢獻(xiàn) ：E 與水平線

2、成角， 不難得出 = BA1E1EdEhnmnmBAOCAB4141admn32sin|再考察mn在O點(diǎn)處產(chǎn)生的場強(qiáng)在CO方向的貢獻(xiàn)根據(jù)相似三角形有得 =我們可以得到 = 。這也就是說mn和mn于O處在CO方向上產(chǎn)生的場強(qiáng)是相等的.從而推出.AB與AB在O點(diǎn)出產(chǎn)生的場強(qiáng)是相等的.這也就是說AB在O點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)完全可以用AB來等效。dEhnmnmBAOCAB2E41admn32sin|2E2E1E特別地 ,當(dāng)AB趨于無限長,此時(shí)對應(yīng)的弧AB是個(gè)半圓,該半圓在圓O處產(chǎn)生的場強(qiáng)與無限長直帶電體在距離d處產(chǎn)生的場強(qiáng)吻合,這也體現(xiàn)這個(gè)等效正確性.然而等效后的AB與AB并不是在空間內(nèi)場強(qiáng)處處等效,確切地說

3、只是在O點(diǎn)而已.所以這里需要注意,不要犯如下錯誤:例如求C點(diǎn)強(qiáng)場,并不是等效成如圖1,而應(yīng)是等效成圖2.始終保持所求點(diǎn)處于等效圓弧的中心. 圖1 圖2ABCBAABCBA2、一無限長均勻帶電圓柱面，半徑為a,面電荷密度為，沿軸線將其切成兩半，求其中一半單位長度所受的斥力。如果說前面一道題目運(yùn)用建模解法只是物理含義比較清晰的話，那么這道題目則將該解法比較與微積分求解的優(yōu)越性體現(xiàn)得淋漓盡致。這也就是說2個(gè)半圓柱面之間的斥力可以等效為2塊無限大面電荷之間的斥力。那么F=取在圓柱取長度l，那么長度為l的半圓柱面，包含電荷Q=S此處S的大小應(yīng)為長度為l的半圓柱面的投影 即S=2al（此處S為什么不是2

4、al請讀者自行思考）代入F得到單位長度所受斥力 Q2lalF23、一帶電殼,面電荷密度為=acos.求距離圓心r處的電場強(qiáng)度.(rR)不難看出,這實(shí)際上電荷極化的模型,如果運(yùn)用電荷計(jì)劃的理論,固然簡潔方便,但卻忽略電荷極化的物理機(jī)理.我們先來看這樣一個(gè)模型:構(gòu)建兩個(gè)均勻帶電球體,體電荷分別為是+、-，且兩個(gè)帶電球重合?，F(xiàn)將兩球拉開一微小距離d那么在該系統(tǒng)的外表面出現(xiàn)薄薄的一層電荷，現(xiàn)考察這層電荷分布規(guī)律。d+-dd+-s放大觀察，取微小面積元s，那么微小體積元V=sd(近似為長方體）,d=dcos V=dscos 假設(shè)該長方體的電荷全等效在s上，有 V=s得到 =d cos 不妨設(shè)d =a得到 =acos 這與次題的題設(shè)是一樣的。這也就是說：這個(gè)雙球模型所得到的系統(tǒng)電荷分布是與題設(shè)一樣，那么空間中的電場分布也是等效的。然而要求兩個(gè)均勻帶電球體在空間中某處的場強(qiáng)是異常簡單的，這里就不多述。總結(jié)：1、與其說構(gòu)建類似模型是為了解決物理問題，倒不如說是在解決過程中的數(shù)學(xué)問題。其功能不外乎是構(gòu)建一些低級模型的組合來避免數(shù)學(xué)上一些高級的運(yùn)算（如積分）。此外，物理模型構(gòu)建還能解決許多數(shù)學(xué)上的問題。如：杠桿方法求解幾何比例問題等。2、此類模型法使用起來簡單明了