知識講解_集合與函數綜合_ 基礎

1、. 集合與函數綜合編稿：丁會敏 審稿：王靜偉 【學習目的】1.集合1理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；2理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集；3理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集；4能使用Venn圖表達集合的關系及運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用.2.函數1會用集合與對應的語言刻畫函數；會求一些簡單函數的定義域和值域，初步掌握換元法的簡單運用.2能正確認識和使用函數的三種表示法：解析法，列表法和圖象法理解每種方法的優(yōu)點在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法表示函數；3求簡單分段函數的解析式；理解分段函數及其簡單應用；4

2、理解函數的單調性、最大小值及其幾何意義；集合詳細函數理解奇偶性的含義；5能運用函數的圖象理解和研究函數的性質.【知識網絡】【要點梳理】一、集合1集合含義與表示1某些指定的對象集在一起就成為一個集合，簡稱集其中每個對象叫做元素集合中的元素具有確定性、互異性和無序性2集合常用的表示方法有：列舉法、描繪法、圖示法它們各有優(yōu)點，要根據詳細需要選擇恰當的方法2集合間的關系1假設集合中A的任何元素都是集合B的元素，那么稱集合A是集合B的子集，記為“AB或“BA2假設AB，且B中至少存在一個元素不是A的元素，那么A是B的真子集，記為“AB或“BA3假設兩個集合的元素完全一樣，那么這兩個集合相等，記為“A=B

3、判斷集合相等還可以用下面兩種方法：且A=B；要點詮釋：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集換言之，任何集合至少有一個子集3集合的根本運算1由所有屬于集合A或屬于集合B的元素構成的集合，叫A與B的并集，記作“AB用數學語言表示為AB=x|xA，且xB2由所有屬于集合A且屬于集合B的元素構成的集合，叫A與B的交集，記作“AB用數學語言表示為AB=x|xA，且xB3假設全集U，A是U的子集，那么由所有U中不屬于A的元素構成的集合稱為集合A在U中的補集記作“用數學語言表示為要點詮釋：二、函數及其表示1兩個函數相等的條件用集合與對應的語言刻畫函數，與初中的“用變量的觀點描繪函數本質上是一致的函數

4、有三要素定義域、值域、對應關系，它們是不可分割的一個整體當且僅當兩個函數的三要素完全一樣時，這兩個函數相等2函數的常用表示方法函數的常用表示方法有：圖象法、列表法、解析法注意領會在實際情境中根據不同的需要選擇恰當的方法表示函數3映射設A、B是兩個非空集合，假如按某一個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個元素x原象，在集合B中都有唯一確定的元素象與之對應，那么就稱對應f：AB為從集合A到集合B的一個映射由映射定義知，函數是一種特殊的映射，即函數是兩個非空的數集間的映射三、函數的性質1函數的單調性1假如對于定義域I內某個區(qū)間D上的任意兩個自變量x1，x2，當x1x2時，都有，那么就說函數在區(qū)

5、間D上是增函數2假如對于定義域I內某個區(qū)間D上的任意兩個自變量x1，x2，當x1x2時，都有，那么就說函數在區(qū)間D上是減函數3假設函數在某個區(qū)間上總是遞增或遞減的，那么該區(qū)間是函數的一個單調增或減區(qū)間假設函數在整個定義域上總是遞增或遞減的，那么稱該函數為單調增或減函數2函數的奇偶性1假設一個函數具有奇偶性，那么它的定義域一定關于原點對稱，假如一個函數的定義域不關于原點對稱，那么它就失去了是奇函數或是偶函數的條件，即這個函數既不是奇函數也不是偶函數2假設奇函數的定義域內有零，那么由奇函數定義知，即，所以3奇、偶性圖象的特點假如一個函數是奇函數，那么這個函數的圖象是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖

6、形；反之，假如一個函數的圖象是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形，那么這個函數是奇函數假如一個函數是偶函數，那么它的圖象是以y軸為對稱軸的對稱圖形；反之，假如一個函數的圖象是y軸為對稱軸的軸對稱圖形，那么這個函數是偶函數【典型例題】類型一：集合的關系及運算例1全集U=R，集合M=x|2x12和N=x|x=2k1，k=1，2，的關系的韋恩Venn圖如下圖所示，那么陰影部分所示的集合的元素區(qū)有 A3個 B2個 C1個 D無窮多個【答案】B【解析】 陰影部分為MN=x|2x12x|x=2k1，k=1，2，=x|1x3x|x=2k1，k=1，2，=1，3，陰影部分所示的集合的元素區(qū)有2個，應選B項【總

7、結升華】詳細集合給出或可以求得元素的集合的交、并、補運算，以及集合間關系的斷定、子集的個數問題是每年高考重點考察的對象，因此也是高考命題的熱點舉一反三：【高清課堂：集合與函數性質綜合377492例4】【變式1】設全集為，求及 【答案】=；=.例2設非空集合滿足：當xS時，有x2S.給出如下三個命題：假設m=1，那么S=1；假設，那么l1；，那么其中正確命題的個數是 A0 B1 C2 D3【思路點撥】根據題中條件：“當xS時，有x2S對三個命題一一進展驗證即可：對于m=1，得，對于，那么，對于假設，那么，最后解出不等式，根據解出的結果與四個命題的結論對照，即可得出正確結果有幾個【答案】D【解析】

8、 假設m=1，那么x=x2，可得x=1或x=0舍去，那么S=1，因此命題正確；假設，當時，故，當時，那么，可得或舍去，故，因此命題正確；假設，那么，得，因此命題正確類型二：映射例3設集合，f是A到B的映射，并滿足1求B中元素3，4在A中的原象；2試探究B中有哪些元素在A中存在原象；3求B中元素a，b在A中有且只有一個原象時，a，b所滿足的關系式【思路點撥】本例是一道與方程綜合的題目，關鍵是將題目轉化為我們所熟悉的映射的知識【解析】1設x，y是3，4在A中的原象，于是，解得或，3，4在A中的原象是1，3或3，12設任意a，bB在A中有原象x，y，應滿足由可得y=xb，代入得x2bx+a=0 當且

9、僅當=b24a0時，方程有實根只有當B中元素滿足b24a0時，才在A中有原象3由以上2的解題過程知，只有當B中元素滿足b2=4a時，它在A中有且只有一個原象【總結升華】高考對映射考察較少，考察時只涉及映射的概念，因此我們必須準確地把握映射的概念，并靈敏地運用它解決有關問題舉一反三：【變式1】 a，b為兩個不相等的實數，集合，表示把M中的元素x映射到集合N中仍為x，那么a+b等于 A1 B2 C3 D4【答案】 D 【解析】 由可得M=N，故，a、b是方程x24x+2=0的兩根，故a+b=4類型三：函數的概念及性質例 【高清課堂：集合與函數性質綜合377492 例2】例4設定義在R上的函數y=

10、fx是偶函數,且fx在，0為增函數假設對于，且，那么有 A B C D 【答案】D 【解析】因為，且，所以，畫出y= fx的圖象，數形結合知，只有選項D正確 【總結升華】對函數性質的綜合考察是高考命題熱點問題這類問題往往涉及函數單調性、奇偶性、函數圖象的對稱性，以及題目中給出的函數性質解決這類問題的關鍵在于“各個擊破，也就是涉及哪個性質，就利用該性質來分析解決問題 舉一反三：【變式1】 定義在R上的偶函數f x，對任意x1，x20，+x1x2，有，那么 A BC D【答案】A【解析】由題知，為偶函數，故，又知x0，+時，為減函數，且321，即應選A例5設偶函數滿足，那么 Ax|x2或x4 Bx

11、|x0或x4Cx|x0或x6 Dx|x2或x2【答案】 B 【解析】 當x0時，x0，又是偶函數，或解得x4或x0，應選B例6設函數的定義域為，假設所有點 構成一個正方形區(qū)域，那么的值為 A2 B4 C8 D不能確定【答案】 B【解析】 依題意，設關于x的不等式ax2+bx+c0a0的解集是x1，x2x1x2，且，的最大值是依題意，當sx1，x2的取值一定時，取遍中的每一個組，相應的圖形是一條線段；當s取遍x1，x2中的每一個值時，所形成的圖形是一個正方形區(qū)域即相當于將前面所得到的線段在坐標平面內平移所得，因此有，又a0，因此a=4，選B項舉一反三：【變式1】假設函數的定義域是0，2，那么函數

12、的定義域是 A0，1 B0，1 C0，11，4 D0，1【答案】 B 【解析】 要使有意義，那么，解得0x1，故定義域為0，1，選B例7函數的最大值為M，最小值為m，那么的值為 A B C D【答案】 C 【解析】 函數的定義域為3，1又而，4y28又y0，m=2應選C項舉一反三：【變式1】1函數xR的值域是_【答案】0，1【解析】1注意到x20，故可以先解出x2，再利用函數的有界性求出函數值域由，得，解之得0y1故填0，1例8設函數1畫出函數的圖象；2假設不等式的解集非空，求a的取值范圍【解析】 1由于，那么函數的圖象如下圖2由函數與函數y=ax的圖象可知，當且僅當或a2時，函數與函數y=a

13、x的圖象有交點故不等式的解集非空時，a的取值范圍為舉一反三：【變式1】 直線y=1與曲線y=x2|x|+a有四個交點，那么a的取值范圍是_【答案】 【解析】 如圖，作出y=x2|x|+a的圖象，假設要使y=1與其有四個交點，那么需滿足，解得例9. 函數x0，常數aR1討論函數的奇偶性，并說明理由；2假設函數在x2，+上為增函數，求a的取值范圍【思路點撥】1對進展分類討論，然后利用奇函數的定義去證明即可。2由題意知，任取2x1x2，那么有恒成立，即可得的取值范圍?！窘馕觥?1當a=0時，對任意x，00，+，為偶函數當a0時，a0，x0，取x=±1，得，函數既不是奇函數，也不是偶函數2解法一：設2x1x2，要使函數在x2，+上為增函數，必須恒成立x1x20，x1 x24，即ax1 x2 x1+ x2恒成立又x1+ x24，x1x2x1+ x216a的取值范圍是，16解法二：當a=0時，顯然在2，+上為增函數當a0時，反