初三數(shù)學(xué)相似三角形典型例題（附含答案）

1、 初三數(shù)學(xué)相似三角形（一）相似三角形是初中幾何的一個(gè)重點(diǎn)，同時(shí)也是一個(gè)難點(diǎn)，本節(jié)復(fù)習(xí)的目標(biāo)是：1. 理解線段的比、成比例線段的概念，會(huì)根據(jù)比例線段的有關(guān)概念和性質(zhì)求線段的長(zhǎng)或兩線段的比，了解黃金分割。2. 會(huì)用平行線分線段成比例定理進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算、證明，會(huì)分線段成已知比。3. 能熟練應(yīng)用相似三角形的判定和性質(zhì)解答有關(guān)的計(jì)算與證明題。4. 能熟練運(yùn)用相似三角形的有關(guān)概念解決實(shí)際問(wèn)題本節(jié)的重點(diǎn)容是相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理以及平行線分線段成比例定理。本節(jié)的難點(diǎn)容是利用判定定理證明兩個(gè)三角形相似以及相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用。相似三角形是平面幾何的主要容之一，在中考試題中時(shí)常與四邊形、圓的知識(shí)相結(jié)合構(gòu)

2、成高分值的綜合題，題型常以填空、選擇、簡(jiǎn)答或綜合出現(xiàn)，分值一般在10%左右，有時(shí)也單獨(dú)成題，形成創(chuàng)新與探索型試題；有利于培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)。（二）重要知識(shí)點(diǎn)介紹：1. 比例線段的有關(guān)概念：12 / 12在比例式abc(a： bc：d )中， a、 d叫外項(xiàng)， db、c叫項(xiàng)，a、c叫前項(xiàng)，b、d叫后項(xiàng)， d叫第四比例項(xiàng)，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中項(xiàng)。2把線段 AB分成兩條線段AC和 BC，使 AC=ABBC，叫做把線段AB黃金分割，C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)。2. 比例性質(zhì)：基本性質(zhì)：acbd合比性質(zhì)：acbdadbcabcd bd等比性質(zhì)：acbdm(bdnn 0)acma bdnb

3、3. 平行線分線段成比例定理：定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，如圖：l 1 l 2l 3 。AB則 BCDE ， AB EFACDE ， BC DFACEF，DF推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。4. 相似三角形的判定：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角形相似平行于三角形一

4、邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似5. 相似三角形的性質(zhì)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比相似三角形面積的比等于相似比的平方【典型例題】例 1.（1）在比例尺是1：8000000的中國(guó)行政區(qū)地圖上，量得A、B兩城市的距離是7.5 厘米，那么A、B兩城市的實(shí)際距離是千米。（2）小芳的身高是1.6m，在某一時(shí)刻，她的影子長(zhǎng)2m，此刻測(cè)得某建筑物的影長(zhǎng)是18米，則此建筑物的高是米。解： 這是兩道與比例有關(guān)的

5、題目，都比較簡(jiǎn)單。（1）應(yīng)填 600（2）應(yīng)填14.4。例 2.如圖，已知DEBC，EFAB，則下列比例式錯(cuò)誤的是：A. ADAEABACCEEAB.CFFBC. DEADBCBDD. EFCFABCB分析： 由DEBC，EFAB可知，A、B、D都正確。而不能得到DEBCAD ，BD故應(yīng)選 C。利用平行線分線段成比例定理及推論求解時(shí)，一定要分清誰(shuí)是截線、誰(shuí)是被截線， C中DE很顯然是兩平行線段的比，因此應(yīng)是利用三角相似后對(duì)應(yīng)邊成比BC例這一性質(zhì)來(lái)寫結(jié)論，即DEBCADAEABAC例 3.如圖，在等邊ABC中，P為BC上一點(diǎn)， D為AC上一點(diǎn)，且APD=60，BP1，CD2，求3ABC的邊長(zhǎng)解：

6、 ABC是等邊三角形 C= B=60又 PDC= 1+ APD=1+60 APB= 1+ C= 1+60PDC=APBPDCAPB PCCDABPB設(shè) PC=x， 則 AB=BC=1+x2x1x3，x2，1 AB=1+x=3。ABC的邊長(zhǎng)為3。例 4.如圖：四邊形ABEG、GEFH、HFCD都是邊長(zhǎng)為a的正方形，（ 1）求證： AEF CEA（ 2）求證： AFB+ ACB=45分析： 因?yàn)?AEF、 CEA有公共角 AEF故要證明 AEF CEA只需證明兩個(gè)三角形中，夾AEF、CEA的兩邊對(duì)應(yīng)成比例即可。證明：（1）四邊形ABEG、GEFH、HFCD是正方形 AB=BE=EF=FC=，aAB

7、E=90AE2a，EC2a AEEF2a2，EC2a2aAE2a AEECEFAE又 CEA= AEF CEA AEF（ 2） AEF CEA AFE= EAC四邊形ABEG是正方形ADBC，AG=G，E AGGEACB=CAD，EAG=45AFB+ACB=EAC+CAD=EAG AFB+ ACB=45例 5.已知：如圖，梯形ABCD中，ADBC，AC、BD交于點(diǎn)O，EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)O且和兩底平行， 交 AB 于 E， 交CD于 F求證： OE=OF證明： AD EFBCOE BCAE， OEEBABADABOEADAEABEBABABAB11AD 1OE 11BCADOF OEBC1BC同理：11

8、OEOF1 OE=OF從本例的證明過(guò)程中，我們還可以得到以下重要的結(jié)論：ADEFBC111ADBCOEADEFBCOEOF1 EF2ADEFBC11112即112ADBCOE1EFOF2ADBCEF這是梯形中的一個(gè)性質(zhì)，由此可知，在AD、BC、EF中，已知任何兩條線段的長(zhǎng)度，都可以求出第三條線段的長(zhǎng)度。例 6.已知：如圖，ABC中，ADBC于D，DEAB于E，DFAC于F求證：AEACAFAB分析： 觀察 AE、AF、AC、 AB在圖中的位置不宜直接通過(guò)兩個(gè)三角形相似加以解決。因此可根據(jù)圖中直角三角形多，因而相似三角形多的特點(diǎn)，可設(shè)法尋求中間量進(jìn)行代換，通過(guò)ABDADE，可得：ABADAD ，

9、于是得到AEAD2AEAB，同理可得到AD 2AFAC，故可得：AEABAFAC，即AEACAFAB證明： 在 ABD和 ADE中，ADB=AED=90BAD=DAE ABD ADE ABADADAE2 AD=AEAB同理： ACD ADF2可得：AD=AFAC AEAB=AFAC AEACAFAB例 7.如圖，D為ABC中BC邊上的一點(diǎn)， CAD=B，若 AD=6，AB=8，BD=7，求 DC的長(zhǎng)。分析： 本題的圖形是證明比例中項(xiàng)時(shí)經(jīng)常使用的“公邊共角”的基本圖形，我們可以由基本圖形中得到的相似三角形，從而得到對(duì)應(yīng)邊成比例，從而構(gòu)造出關(guān)于所求線段的方程，使問(wèn)題得以解決。解： 在 ADC和 B

10、AC中CAD=B，C=CADCBAC ADDCAC ABACBC又 AD=6， AD=8， BD=7 DCACAC37DC4DC3即AC4AC3解得： DC=97DC4例 8.如圖，在矩形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，BEAC于F，過(guò)F作FGAB交AE于G，2求證：AG=AFFC證明： 在矩形ABCD中， AD=BC，ADC=BCE=90又 E 是 CD的中點(diǎn)， DE=CE RtADERtBCE AE=BE FGAB AEAGBEBF AG=BF在 Rt ABC中， BF AC于 F RtBFCRtAFB AFFBBFFC2 BF=AFFC2 AG=AFFC例 9.如圖，在梯形ABCD中，ADB

11、C，若 BCD的平分線CHAB于點(diǎn) H，BH=3AH，且四邊形 AHCD的面積為21，求HBC的面積。分析： 因?yàn)閱?wèn)題涉及四邊形AHCD，所以可構(gòu)造相似三角形。把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相似三角形的面積比而加以解決。解： 延長(zhǎng) BA、CD交于點(diǎn) P CHAB， CD平分 BCD CB=CP，且BH=PH BH=3AH PA：AB=1：2 PA：PB=1：3 ADBC PAD PBCS PAD ：SPBC1：9SPCH12 SPBCSPADS四邊形AHCD2：7S四邊形AHCD21SPAD6 SPBCS HBC541S2PBC27a2b9一、填空題1. 已知2ab5 ， 則a：b2. 若三角形三邊之比為3：5

12、：7，與它相似的三角形的最長(zhǎng)邊是21cm，則其余兩邊之和是cm3. 如圖， ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)， BC=6，則 DE=；ADE與ABC的面積之比為：。4. 已知線段a=4cm，b=9cm，則線段a、b的比例中項(xiàng)c為cm。5. 在ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，DEBC，如果AD=8，DB=6，EC=9，那么AE=6. 已知三個(gè)數(shù)1，2，3，請(qǐng)你添上一個(gè)數(shù)，使它能構(gòu)成一個(gè)比例式，則這個(gè)數(shù)是7. 如圖，在梯形ABCD中，ADBC，EFBC，若AD=12cm，BC=18cm，AE：EB=2：3，則 EF=8. 如圖，在梯形 ABCD中，ADBC，A=90，BDCD，AD=

13、6，BC=10，則梯形的面積為：二、選擇題1. 如果兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比是3：4，那么它們的對(duì)應(yīng)高的比是A. 9：16B.3：2C.3：4D. 3 ：72. 在比例尺為1：m的某市地圖上，規(guī)劃出長(zhǎng)a厘米，寬b厘米的矩形工業(yè)園區(qū)，該園區(qū)2的實(shí)際面積是米104 mA.ab104 m2B.ababmC.104abm2D.1043. 已知，如圖，DEBC，EFAB，則下列結(jié)論：AEBEECFCADAB BFBC EFDEABBCCEEACFBF其中正確的比例式的個(gè)數(shù)是A. 4個(gè)B. 3個(gè)C.2個(gè)D. 1個(gè)4. 如圖，在 ABC中，AB=24，AC=18，D是 AC上一點(diǎn)， AD=12，在 AB上取

14、一點(diǎn)E， 使A 、D、E三點(diǎn)為頂點(diǎn)組成的三角形與ABC相似，則AE的長(zhǎng)是 A.16B. 14C.16或 14D.16或95. 如圖，在RtABC中， BAC=90 ，D是 BC的中點(diǎn)， AEAD，交 CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E， 則下列結(jié)論正確的是A. AEDACBB. AEBACDC.BAE ACED. AECDAC三、解答題：1.如圖，ADEGBC，AD=6，BC=9，AE：AB=2：3，求GF的長(zhǎng)。2. 如圖， ABC中，D是AB上一點(diǎn)，且AB=3AD，B=75，CDB=60 ，求證： ABC CBD。3. 如圖， BE為ABC的外接圓O的直徑，CD為ABC的高，求證：ACBC=BECD4. 如

15、圖， Rt ABC中， ACB=90， AD平分 CAB交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作CEAD于E，CE的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作EG BC交AB于點(diǎn)G，AEAD=16，AB45，（1）求證： CE=EF（2）求 EG的長(zhǎng) 參考答案 一、填空題：1.19：132.243. 3 ；1：44.65.126.只要是使得其中兩個(gè)數(shù)的比值等于另外兩個(gè)數(shù)的比值即可，如：22、2 等 。27.14.48.166二、選擇題：1.C2.D3.C4.D5.C三、解答題：1. 解： ADEG BCEGAE在ABC中，有BCABEFBE在ABD中，有ADABAE： AB=2：3BE： AB=1：3EG23BC，EF1 AD3BC=9，AD=6EG=6，EF=2GF=EGEF=42. 解： 過(guò)點(diǎn) B作 BE CD于點(diǎn) E， CDB=60 ，CBD=75 DBE=30，CBE=CBDDBE=75 30=45 CBE是等腰直角三角形。AB=3AD，設(shè) AD=k，則AB=3k， BD=2kDE=k，BE3k BC6k BD2k2，BC6k3BC6k2AB3k3BDBCBCAB ABC CBD3. 連 結(jié) EC，BCBC E= A又