公路匝道坐標的通用公式

1、摘要：本文利用復化辛普森公式導證的計算公路匝道坐標的通用公式。利用FX-4500P計算器編程計算放樣點位坐標。關鍵詞：復化辛普森公式公路匝道編程坐標計算一、引言匝道是組成高等與公路立交的根本單元，其形式千變?nèi)f化，就線形而言，也是由直線段、盤旋曲線段、圓曲線段組成。但是，組成立交的匝道涉與線形的曲率變化特點，利用復化辛普森公式導證了 計算公路匝道點位坐標的通用公式。并利用卡西歐FX-4500P計算器編程計算公路匝道點位坐標。二、公路匝道點位坐標計算1. 公路匝道中線形式公路匝道中線是由直線一盤旋曲線一圓曲線R1盤旋曲線一圓曲線R2盤旋曲線一直線的順序組成的，其中R1 F2o2. 盤旋曲線上點位坐

2、標方位角的計算如圖1,設盤旋曲線起點 A的曲率為5,其里程為DKA;盤旋曲線終點 B的曲率為，其 里程為DKB, AxC y C為以A為坐標原點，以 A點切線為x C軸的局部坐標系；AXY為線路坐 標系。由此盤旋曲線上各點曲率半徑為R和該點離曲線起點的距離 ？ i成反比，故此任意點的曲率為廣=R o為常數(shù)1由式1可知，盤旋曲線任意點的曲率按線性變化，由此盤旋曲線上里程為DK點的曲率為j ' '-'j - r : S S : 'i：( 2)當曲線右偏時，取正；當曲線左偏時 V.1 取負。在圖1中有將式2代入式3得flr=屮 p嚴 2駐-DK JxlSO Ijt假設

3、盤旋曲線起點 A在線路坐標系下切線坐標方位角a a,那么里程為Dk點切線坐標方位角為將式4代入式5得蟲空$ +金斗-x!80 fn(6)對于式，當：亠一，丄一 時，一，那么' a =3a,式6變成計算直線段 上任意點切線坐標方位角計算公式；當：，.1，:時，- , ，那么式6代表圓曲線上任意點切線坐標方位角計算公式?？梢?，假設曲線段起點和終點的曲率與起點的切線坐標方位角，式6便能計算任意線型點位切線坐標方位角。3、盤旋曲線點位坐標計算由圖1可得盤旋曲線上點位在坐標系下坐標計算公式：&& '=說妙#j話廠=甬#1 7刃汰"述刃=陽I 8設盤旋曲線起點 A

4、在線路坐標系下的坐標為將式6替代式8中的，便得盤旋曲線上任意點在線路坐標系下的坐標：7-1；win tx動(9)對于式9的解算，由于后半局部是定積分，我們引入復化辛普森公式對其進行解算。首先將積分區(qū)間DKa, DK劃分為n等份，步長為H=( DK-DKA)/n，分點里程DXK=DK+KHK=0, 1, 2,xxx, n,記子區(qū)間DXk, DXK+i的里程為 DXK+i/2，貝U DXK+i/2= (DX+DXK+i) /2 ,K=0, 1, 2,xxx, n-1。由此式(9)用復化辛普森公式表示為n-1 n-1X=Xa+H/6 '(cosaA+4刀 cosa K+1/2 +2E cos

5、a k +cosa i)n-1 n-1Y=Ya+H/6 ' (sin a a+4 刀 sina K+1/2 +2刀sina k +sina i)(10)K=0 k=1式中：aA為盤旋曲線起點 A的切線方位角；aK+2為里程DXK+i/2點切線方位角；aK為里程DXK點切線方位角；ai為里程DK點切方位角。對于式(10)，雖然是由盤旋曲線導出的，但該式也適用直線段和圓曲線段。日呼就7右36=4360.冋碼他XS/ NJT-721139M51 1 j2XMBLTmT=T211260IM3?<?T7T-72OCL176I：4LKJT=TI1JLI8三、復化辛普森公式的使用說明為滿足點位

6、坐標計算精度，經(jīng)驗算取n=2。無論是直線段、圓曲線段、盤旋曲線段，只要將各曲線段中的起點、終點的曲率和里程以與解求點里程Dki和各分點里程代入式(2)、(6)、(10)便可獲得待求點 Dki的坐標。在計算時，要注意曲線的偏向。四、公路匝道坐標計算源程序L1 Lbl0 : T “XT' U “Y1 C “AT' D “ PA' E “PB' A “CH0 B “CHN G “X0' 1“ Y0':M Lbl1 :N=0: P=0: 0=0: Q=0 S=0: J : J “CHI'L2 Lbl2 : N=N+1: H=2( J-A) /M:

7、 F=NH/2+A R=C+180/p'(D+( E-D) 12 (B-A)'(F-A)(F-A):Int ( N/2) =N/2=>O=O+cosR P=P+sinR： 1 >Q=Q+ cosR S=S+ sinRDL3 N=M=>Goto3: 1 >Goto2DLbl3 : X=G+H/6'(cosC+4Q+2O-cosR Y=l+H/6/(sinC+4S+2P-sinR ): X： “X="u Y: “ 丫仝。Pol ( X-T, Y-U: VuW<0=>W=W+3601 >WU DGotolX1-測站點X坐標Y

8、1-測站點Y坐標AT-曲線起點方位角PA-曲線起點曲率 當曲線右偏時，P A取正；當曲線左偏時 p A取負。)PB-曲線終點曲率 當曲線右偏時，P B取正；當曲線左偏時 p B取負。)CH0-曲線起點里程CHN-曲線終點里程X0-曲線起點X坐標Y0-曲線起點Y坐標M-求和累積次數(shù)n的2倍CH-曲線待測點里程X-曲線待測點X坐標Y-曲線待測點Y坐標V-測站至待測點間的距離W-測站至待測點間的方位角其中 R=C+180/p' ( D+(E-D) 12 (B-A) ' ( F-A)( F-A )為(2 )、( 6)式的合并 式，計算切線坐標方位角；O=O+cosR P=P+sinR、

9、Q=Q+ cosR S=S+ sinR、X=G+H/6'(cosC+4Q+2O-cosR Y=I+H/6 ' (sinC+4S+2P-sinR )計算點位坐標。由于累計時 O=O+cosR P=P+sinR分別多累加了一個 cosR、sinR ,所以在程序中(10)式最后一項前為負號。五、坐標計算算例利用萬家寨水利樞紐工程左岸上壩公路一段曲線驗證復化辛普森公式坐標計算程序的正確性。如圖 2: 0+488.80+552.74 為直線段，0+552.740+577.74 與 0+693.170+718.17 為 緩和曲線段，緩和曲線長 為L0=25M 0+577.740+693.1

10、7為圓曲線段，R=85M在計算器中找到該程序，先輸入直線段的起算數(shù)據(jù)，以里程0+488.8為起點，求得0+500.0點的坐標，然后分別以里程 0+552.74、0+577.74為起點計算驗證緩和曲線與圓曲 線上各點的坐標。與分別運用直線段、緩和曲線段、圓曲線段計算坐標的計算公式所計算的結果完全相同。六、結論本文利用的式10是計算公路匝道點位坐標的通用公式。當曲線的設計半徑較小時，為保證點位計算精度，n 即程序中M的1/2倍的取值可適當?shù)拇笮?。利用上例驗算的計算結果可以說明該程序?qū)τ诠返闹本€段、緩和曲線段、圓曲線段均實用。上例在計算圓曲線起點 0+577.74 參數(shù)時，可利用計算緩和曲線終點 0+577.74 坐標后