第27講圖形的相似

1、第27講圖形的相似考試-目標(biāo)鎖定考綱要求備考指津1.了解比例線段的有關(guān)概念及其性質(zhì)，并會用比例的性質(zhì)解決簡單的問題2.了解相似多邊形，相似三角形的概念，掌握其性質(zhì)和判定并會運(yùn)用3.了解位似變換和位似圖形的概念，掌握并運(yùn)用其性質(zhì).相似多邊形的性質(zhì)是中考考查的熱點，其中以相似多邊形的相似比、面積比、周長比的關(guān)系考查較多相似三角形的判定、性質(zhì)及應(yīng)用是考查的重點，常與方程、圓、四邊形、三角函數(shù)等相結(jié)合，進(jìn)行有關(guān)計算或證明基礎(chǔ)自主導(dǎo)學(xué)考點一比例線段1比例線段的定義：在四條線段a，b，c，d中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，即(或abcd)，那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線段，簡稱比例

2、線段2比例線段的性質(zhì)：(1)基本性質(zhì)：adbc；(2)合比性質(zhì)：；(3)等比性質(zhì)：若(bdn0)，那么.3黃金分割：點C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果，則線段AB被點C黃金分割，點C叫線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比考點二相似多邊形1定義：對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比，相似比為1的兩個多邊形全等2性質(zhì)：(1)相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例；(2)相似多邊形周長的比等于相似比；(3)相似多邊形面積的比等于相似比的平方考點三相似三角形1定義：各角對應(yīng)相等，各邊對應(yīng)成比例的兩個三角形叫做相似三角形2判定：(1)平行于三角

3、形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；(2)兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似；(3)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似；(4)三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似；(5)斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，兩直角三角形相似3性質(zhì)：(1)相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例；(2)相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于相似比；(3)相似三角形周長的比等于相似比；(4)相似三角形面積的比等于相似比的平方考點四圖形的位似1定義：如果兩個圖形僅是相似圖形，而且每組對應(yīng)點所在的直線都經(jīng)過同一個點，那么這兩個圖形叫位似圖形這個點叫做位似中心，這時的相似比稱為位似比2性

4、質(zhì)：位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于位似比3畫位似圖形的步驟(1)確定位似中心點；(2)連接圖形各頂點與位似中心的線段(或延長線)；(3)按位似比進(jìn)行取點；(4)順次連接各點，所得的圖形就是所求圖形1若，則()A B C D2如圖所示的兩個四邊形相似，則的度數(shù)是()A87°B60° C75° D120°3如圖，ABC中，點D在邊AB上，滿足ACDABC，若AC2，AD1，則DB_.4如圖，已知圖中的每個小方格都是邊長為1的小正方形，每個小正方形的頂點稱為格點，若ABC與A1B1C1是位似圖形，且頂點都在格點上，則位似中心的坐標(biāo)是_5如圖，

5、網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小正方形的頂點叫做格點ACB和DCE的頂點都在格點上，ED的延長線交AB于點F.(1)求證：ACBDCE；(2)求證：EFAB規(guī)律-方法探究一、相似圖形的性質(zhì)【例1】 如圖，在長為8 cm、寬為4 cm的矩形中，截去一個矩形，使得留下的矩形(圖中陰影部分)與原矩形相似，則留下矩形的面積是()A2 cm2 B4 cm2 C8 cm2 D16 cm2解析：根據(jù)相似多邊形面積的比等于相似比的平方，得()2，S陰影8(cm2)答案：C相似多邊形的性質(zhì)：對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等，周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方，利用相似多邊形的性質(zhì)可求多邊形的邊長、角、

6、周長或面積二、相似三角形的性質(zhì)與判定【例2】 如圖，在ABC和ADE中，BADCAE，ABCADE.(1)寫出圖中兩對相似三角形(不得添加字母和線)；(2)請分別說明兩對三角形相似的理由解：(1)ABCADE，ABDACE.(2)證明ABCADE.BADCAE，BADDACCAEDAC即BACDAE.又ABCADE.ABCADE.證明ABDACE.ABCADE，又BADCAE，ABDACE.判斷兩三角形相似時，首先看是否存在兩對對應(yīng)角相等；若只有一對對應(yīng)角相等，再看夾這個角的兩邊是否成比例；若無內(nèi)角相等，就考慮三組對應(yīng)邊是否成比例如圖，ABC是等邊三角形，CE是外角平分線，點D在AC上，連結(jié)B

7、D并延長與CE交于點E. (1)求證：ABDCED(2)若AB6，AD2CD，求BE的長三、位似圖形【例3】 如圖，ABC與ABC是位似圖形，點O是位似中心，若OA2AA，SABC8，則SABC_.解析：位似圖形一定是相似圖形，并且對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于位似比OA2AA，.ABC與ABC的位似比是23.()2.SABC8，SABC18.答案：18位似圖形一定是相似圖形，利用相似多邊形的性質(zhì)解決所要求的問題四、相似三角形的應(yīng)用【例4】 問題背景：在某次活動課中，甲、乙、丙三個學(xué)習(xí)小組于同一時刻在陽光下對校園中的一些物體進(jìn)行了測量，下面是他們通過測量得到的一些信息：甲組：如圖(1)，測得一

8、根直立于平地，長為80 cm的竹竿的影長為60 cm.乙組：如圖(2)，測得學(xué)校旗桿的影長為900 cm.丙組：如圖(3)，測得校園景燈(燈罩視為球體，燈桿為圓柱體，其粗細(xì)忽略不計)的高度為200 cm，影長為156 cm.任務(wù)要求：(1)請根據(jù)甲、乙兩組得到的信息計算出學(xué)校旗桿的高度；(2)如圖(3)，設(shè)太陽光線NH與O相切于點M.請根據(jù)甲、丙兩組得到的信息，求景燈燈罩的半徑(友情提示：如圖(3)，景燈的影長等于線段NG的影長；需要時可采用等式156220822602)解：(1)如題圖，ABCDEF，AB80 cm，AC60 cm，DF900 cm，.DE1 200(cm)，即DE12 m.

9、故學(xué)校旗桿的高度是12 m.(2)如題圖(3)，連接OM，設(shè)O的半徑為r cm.與(1)類似得，即.GN208.在RtNGH中，根據(jù)勾股定理得NH2156220822602，NH260.NH切O于M，OMNH.則OMNHGN90°，又ONMHNG.OMNHGN.又ONOIINOI(GNGI)r8，解得r12.景燈燈罩的半徑是12 cm.應(yīng)用相似三角形解決實際問題，首先要建立數(shù)學(xué)模型，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后利用相似三角形對應(yīng)邊成比例或相似三角形的性質(zhì)建立等量關(guān)系求解知能優(yōu)化訓(xùn)練1(2012貴州銅仁)如圖，六邊形ABCDEF六邊形GHIJKL，相似比為21，則下列結(jié)論正確的是()

10、AE2KBBC2HIC六邊形ABCDEF的周長六邊形GHIJKL的周長DS六邊形ABCDEF2S六邊形GHIJKL2(2012重慶)已知，ABCDEF，ABC的周長為3，DEF的周長為1，則ABC與DEF的面積之比為_3(2011浙江湖州)如圖，已知梯形ABCD，ADBC，對角線AC，BD相交于點O，AOD與BOC的面積之比為19，若AD1，則BC的長是_4(2011山東菏澤)如圖，BD為O的直徑，ABAC，AD交BC于點E，AE2，ED4，(1)求證：ABEADB；(2)求AB的長；(3)延長DB到F，使得BFBO，連接FA，試判斷直線FA與O的位置關(guān)系，并說明理由1如圖，小正方形的邊長均為

11、1，則下列圖中的三角形(陰影部分)與ABC相似的是()2如圖，在ABC中，點D，E分別是AB，AC的中點，則下列結(jié)論：BC2DE；ADEABC；，其中正確的有()A3個 B2個 C1個 D0個3如圖，在ABC中，點D，E分別在AB，AC邊上，DEBC，若ADAB34，AE6，則AC等于()A3 B4 C6 D84一張等腰三角形紙片，底邊長15 cm，底邊上的高長22.5 cm.現(xiàn)沿底邊依次從下往上裁剪寬度均為3 cm的矩形紙條，如圖所示已知剪得的紙條中有一張是正方形，則這張正方形紙條是()A第4張 B第5張C第6張 D第7張5已知ABC與DEF相似且對應(yīng)中線的比為23，則ABC與DEF的周長比

12、為_6如圖，12，添加一個條件：_，使得ADEACB7如圖，在正方形ABCD中，E為AB的中點，G，F(xiàn)分別為AD，BC邊上的點，若AG1，BF2，GEF90°，則GF的長為_8張明同學(xué)想利用樹影測量校園內(nèi)的樹高他在某一時刻測得小樹高為1.5 m時，其影長為1.2 m當(dāng)他測量教學(xué)樓旁的一棵大樹影長時，因大樹靠近教學(xué)樓，有一部分影子在墻上經(jīng)測量，地面部分影長為6.4 m，墻上影長為1.4 m，那么這棵大樹高約為_ m.9如圖，直角梯形ABCD中，ADC90°，ADBC，點E在BC上，點F在AC上，DFCAEB(1)求證：ADFCAE；(2)當(dāng)AD8，DC6，點E，F(xiàn)分別是BC，

13、AC的中點時，求直角梯形ABCD的面積參考答案基礎(chǔ)自主導(dǎo)學(xué)自主測試1D2.A334.(9,0)5證明：(1)，.又ACBDCE90°，ACBDCE.(2)ACBDCE，ABCDEC.又ABCA90°，DECA90°.EFA90°，EFAB.規(guī)律方法探究變式訓(xùn)練解：(1)證明：ABC是等邊三角形，BACACB60°，ACF120°，CE是外角平分線，ACE60°，BACACE.又ADBCDE，ABDCED.(2)作BMAC于點M(如圖)，ACAB6，AMCM3，BMAB·sin 60°3.AD2CD，CD2，AD4，MD1.在RtBDM中，BD2.由(1)ABDCED得，即2，ED，BEBDED3.知能優(yōu)化訓(xùn)練中考回顧1B2.913.34解：(1)證明：ABAC，ABCC，CD.ABCD.又BAEEAB.ABEADB.(2)ABEADB，AB2AD·AE(AEED)·AE(24)×212.AB2.(3)直線FA與O相切理由如下：連接OA，BD為O的直徑，BAD90°，BD4，BFBOBD2，AB2，B