高中數(shù)學(xué)說課獲獎稿---等差數(shù)列

1、課題：等差數(shù)列的前n項和（一）一、教材透視（一）教材地位與作用等差數(shù)列前n項和是數(shù)列一章中的重要知識點(diǎn)，是后繼數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)。推證等差數(shù)列前n項和公式的“倒序相加法”是數(shù)列求和的一種常用方法。本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程將涉及“特殊到一般的思想”、“轉(zhuǎn)化思想”、“方程思想”、“數(shù)形結(jié)合”等眾多數(shù)學(xué)思想方法的靈活和綜合應(yīng)用。因此學(xué)好本節(jié)課對于后繼數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和提升數(shù)學(xué)能力都有十分重要的意義。（二）教學(xué)目標(biāo)根據(jù)本課內(nèi)容的特點(diǎn)及課標(biāo)要求，結(jié)合學(xué)生已有的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”和認(rèn)知特點(diǎn)，我將本課教學(xué)目標(biāo)定位為：（1）知識與技能：理解等差數(shù)列前n項和公式的推證方法；掌握公式的運(yùn)用。（2）過程與方法：在觀察、思考、嘗試等數(shù)學(xué)活

2、動中履歷公式的探究推證過程，體會“數(shù)形結(jié)合”、“特殊到一般”等數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)解題中的巧妙運(yùn)用。（3）情感、態(tài)度與價值觀：在觀察、探究、應(yīng)用、反思中體會數(shù)學(xué)的思想美和方法美，感悟人類智慧的神奇和偉大，在師生、生生的交流合作中體驗(yàn)學(xué)習(xí)和成功的樂趣。（三）教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)本節(jié)課是一堂公式教學(xué)課，我認(rèn)為這類課的教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)是引導(dǎo)學(xué)生歷經(jīng)公式的探究推證過程和公式的應(yīng)用過程，于是我把本課的教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)確定為：教學(xué)重點(diǎn)：等差數(shù)列前n項和公式推證和應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：等差數(shù)列前n項和公式推證思路的探求。二、學(xué)情分析學(xué)生已有“等差數(shù)列初步知識”的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，部分學(xué)生還可能聽過或看過高斯小時候解決“”的故事，但“倒序

3、相加法”學(xué)生未接觸過，需要教師有意識的引導(dǎo)和點(diǎn)撥。直接套用公式學(xué)生應(yīng)無障礙，但變式應(yīng)用還需教師引導(dǎo)。鑒于此，在學(xué)法上我打算從以下兩方面給予指導(dǎo)：（1）學(xué)會借助幾何直觀誘發(fā)思維、探究方法本質(zhì)；善于從特殊入手，然后將結(jié)論或方法遷移到一般。（2）注意公式的各種變式并學(xué)會合理選擇公式。三、教法（一）教學(xué)方法選取數(shù)學(xué)教育學(xué)家波利亞曾經(jīng)說過：“學(xué)習(xí)任何知識的最佳途徑即是由自己去發(fā)現(xiàn)，因?yàn)檫@種發(fā)現(xiàn)理解最深刻，也最容易掌握其中的內(nèi)在規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系?！备鶕?jù)高二學(xué)生的認(rèn)識特點(diǎn)和知識水平，為落實(shí)重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，我打算采用實(shí)踐嘗試法、啟發(fā)探究法、練習(xí)鞏固法等教學(xué)方法進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生在自主探索中學(xué)習(xí)知識，掌握方法，提

4、高能力。（二） 教學(xué)媒體利用為了加大課堂容量和學(xué)生的思維活動量，根據(jù)現(xiàn)代教學(xué)理論，本課采用多媒體課件進(jìn)行教學(xué)，將抽象數(shù)學(xué)問題直觀化、具體化、形象化，通過數(shù)形結(jié)合，圖表并用，讓學(xué)生在生動具體的情境中感悟知識的發(fā)生和發(fā)展過程，優(yōu)化學(xué)生對知識的理解和掌握。四、程序預(yù)設(shè)為了提高教學(xué)的有效性，全面達(dá)成教學(xué)目標(biāo)，本課我預(yù)設(shè)了如下七個教學(xué)環(huán)節(jié)：（一）創(chuàng)設(shè)情景，引入課題播放投影：泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世紀(jì)莫臥兒帝國皇帝沙杰罕為紀(jì)念其愛妃所建，她宏偉壯觀，純白大理石砌建而成的主體建筑叫人心醉神迷，是世界七大奇跡之一。陵寢以寶石鑲飾，圖案之細(xì)致令人叫絕。傳說陵寢中有一個三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾

5、而成，共有100層（見左圖），奢靡之程度，可見一斑。提出問題：問題1：從第1層到第100層共有多少顆寶石？設(shè)計意圖:數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，它的內(nèi)容、思想、方法和語言與現(xiàn)代文明息息相關(guān)。將文化內(nèi)涵濃厚的“古跡”融入課堂，使枯燥抽象的數(shù)學(xué)變得生動形象，饒有趣味，可以激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高教學(xué)的有效性。問題1實(shí)際上就是求 ，部分學(xué)生可能在小學(xué)時就聽過或看過高斯解決此題的故事,知道應(yīng)用“首尾配對”的方法求解，因此設(shè)置問題1具有誘發(fā)學(xué)生聯(lián)想回憶的作用。旁白實(shí)際教學(xué)中，一位同學(xué)主動與大家分享了高斯解決此題的故事，還將具體過程呈現(xiàn)在黑板上。 這位同學(xué)的講解激活了整個課堂氣氛，同時誘發(fā)了其它同學(xué)對高

6、斯方法的興趣。視頻1在本課的教學(xué)設(shè)計中，我估計學(xué)生對高斯方法的認(rèn)識依然屬于記憶、模仿的階段，還沒有觸及方法本質(zhì)，因此，我預(yù)計了問題2：問題2：從第1層到第91層共有多少顆寶石？問題二是求前奇數(shù)個正整數(shù)和的問題，它不能簡單模仿前偶數(shù)個正整數(shù)和的辦法。我預(yù)計學(xué)生當(dāng)中可能有不同的解法，可能還有錯解。旁白實(shí)際教學(xué)過程中，證明了我的估計。學(xué)生先分組討論，再由各組代表板書其解法，結(jié)果果真如此。主要出現(xiàn)了以下三種不同的解法： 視頻2解法一： 解法二： 解法三： 用解法一的學(xué)生誤認(rèn)為從1到91共有90項導(dǎo)致求解錯誤；用解法二和解法三的學(xué)生則認(rèn)識到這是個求奇數(shù)個項的和的問題，需先找到中間項，再求解。至此，學(xué)生發(fā)

7、現(xiàn)用高斯“首尾配對求法”需分奇數(shù)個項和偶數(shù)個項求解，然而有奇數(shù)個項時，中間項不易確定，思維易受阻。于是為了進(jìn)一步認(rèn)識“高斯法”的本質(zhì)，我設(shè)置了問題3：問題3：有無更簡單的方法？讓學(xué)生思考片刻后，根據(jù)學(xué)生的反應(yīng)通過多媒體適時展示右圖進(jìn)行啟發(fā)。旁白借助幾何直觀, 學(xué)生悟出了“把三角形倒置與原圖補(bǔ)成平行四邊形”的方法本質(zhì),得到了第四種解法：。至此，“倒序相加法”出現(xiàn)已水到渠成。設(shè)計意圖幾何直觀能啟迪思維，誘發(fā)聯(lián)想，認(rèn)識本質(zhì)，降低思維難度，它是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和理解數(shù)學(xué)的重要方法。 作為方法的應(yīng)用和問題的一般化，我再趁勢給出問題4：問題4： 設(shè)計意圖:問題4是為推證等差數(shù)列前n項和公式作鋪墊的。（二）嘗試活動

8、、獲得新知1交流討論、推導(dǎo)公式學(xué)生自主探究1：如何求等差數(shù)列前n項和？由于前面的鋪墊，我估計學(xué)生容易作出如下推證過程：設(shè)計意圖:通過層層遞進(jìn)的探究過程，我認(rèn)為學(xué)生完全能自主完成公式的推證，難點(diǎn)自然突破。值得說明的是，在教材處理上我沒有沿用教材方法，而是利用等差數(shù)列的性質(zhì)簡化了求前n項和的過程，我認(rèn)為這樣做能使公式推證過程更簡單，更自然，更符合學(xué)生的實(shí)際。為了深化對公式的認(rèn)識，我引導(dǎo)學(xué)生對公式進(jìn)行變式：學(xué)生自主探究2：2類比反思，強(qiáng)化記憶為了幫助學(xué)生記憶和認(rèn)識公式，我又增設(shè)了引導(dǎo)學(xué)生類比梯形面積公式的這一教學(xué)環(huán)節(jié)（多媒體展示）。設(shè)計意圖: 等差數(shù)列公式涉及的量比較多,學(xué)生剛接觸不易記憶,類比梯形

9、面積公式，能使學(xué)生更形象、深刻理解記憶公式。這里對圖形進(jìn)行了割、補(bǔ)兩種處理，對應(yīng)著等差數(shù)列前項和的兩個公式，數(shù)與形和諧統(tǒng)一，數(shù)學(xué)美油然而生。（三）初步運(yùn)用，熟悉公式我們常說，學(xué)習(xí)的目的在于應(yīng)用。為此我設(shè)計例1。例1（1）如圖1，某電影院有20排座位，第一排有16個座位，后一排比前排多2個座位，問這個劇場共有多少個座位？（2）如圖2，表示堆放的鋼管，共堆放了8層。請你計算鋼管的總數(shù)。設(shè)計意圖 本例是由課本例1改成的兩個簡單的生活實(shí)例，其目的有二：一是讓學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)是有用，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值；二是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會選擇適當(dāng)?shù)墓接嬎?，并熟悉五個基本量間的關(guān)系。（四）例題練評，內(nèi)化新知為了強(qiáng)化公式的應(yīng)用，

10、內(nèi)化新知，我設(shè)置了例2和變式練習(xí)1、2。例等差數(shù)列10，6，2，2，的前多少項的和為54？變式練習(xí)1 變式練習(xí)2在等差數(shù)列中，已知，求及。設(shè)計意圖:通過本例及變式練習(xí)，可以深化對等差數(shù)列中“知三求二”問題的理解和掌握，其解答過程體現(xiàn)了“方程思想”的應(yīng)用。 （五）嘗試練習(xí)，提升能力1課本： 第2題。2。設(shè)計意圖:練習(xí)1選自課本，是檢查學(xué)習(xí)質(zhì)量的評價性練習(xí)。通過本練習(xí)教師可及時準(zhǔn)確獲得源于學(xué)生的教學(xué)信息，發(fā)現(xiàn)教與學(xué)的不足，增強(qiáng)教學(xué)的針對性和有效性。“倒序相加法”是數(shù)列中的重要數(shù)學(xué)方法，為了加深對此方法的理解和掌握，我增設(shè)了練習(xí)2以提高學(xué)生的知識遷移能力。（六）反思小結(jié)，優(yōu)化認(rèn)知要完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

11、，提高學(xué)習(xí)質(zhì)量，“反思小結(jié)”必不可少，我引導(dǎo)學(xué)生從以下幾方面反思：一種方法：倒序相加求和法。兩個公式：,幾種思想：從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化等。設(shè)計意圖: 通過師生共同小結(jié)與反思，豐富和完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使知識與技能內(nèi)化為學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。（七）作業(yè)回饋，落實(shí)目標(biāo)1課本 第3題2選做題：（1）。（2）已知定理：“定義在上的函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱”的充要條件是“對任意，都有”。若函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，求的值。 設(shè)計意圖: 針對學(xué)生能力和水平的差異，進(jìn)行分層訓(xùn)練，在所有學(xué)生獲得共同知識基礎(chǔ)和基本能力的同時，讓學(xué)有余力的學(xué)生將學(xué)習(xí)從課堂延伸到課外，獲得更大的能力提升，這體現(xiàn)了新課標(biāo)理念

12、，也是因材施教的教學(xué)原則的具體運(yùn)用。五、板書設(shè)計等差數(shù)列的前n項和 例題板書 引入?yún)^(qū) 多媒體演示 一 公式的推導(dǎo) 學(xué)生互動區(qū)二 公式現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)觀和新課改要求教學(xué)能從“讓學(xué)生學(xué)會”向“讓學(xué)生會學(xué)”轉(zhuǎn)變、從“教教材”向“用教材教”轉(zhuǎn)變，使數(shù)學(xué)教學(xué)真正成為數(shù)學(xué)活動的教學(xué)。所以，本節(jié)課我認(rèn)為并不僅僅是單純的傳授知識，而更應(yīng)該重視對數(shù)學(xué)思想方法的滲透。我從泰姬陵的傳說入手，從熟悉的知識出發(fā)，學(xué)生在自主探索、合作交流中經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過程，這樣既激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又分化突破了難點(diǎn)。教學(xué)過程中，我不斷設(shè)問，不斷變式，給每個學(xué)生提供思考、創(chuàng)造、表現(xiàn)的機(jī)會，意在培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力，逐步滲透從特殊

13、到一般、數(shù)形結(jié)合及方程的思想。實(shí)踐證明，本教學(xué)設(shè)計科學(xué)、高效，教學(xué)目標(biāo)達(dá)成度良好。等差數(shù)列的前n項和（二）（一）教學(xué)目標(biāo)1知識與技能:通過實(shí)例，理解等差數(shù)列的概念；探索并掌握等差數(shù)列的通項公式；能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題；體會等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系。2.過程與方法:通過對歷史有名的高斯求和的介紹，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的第k項與倒數(shù)第k項的和等于首項與末項的和這個規(guī)律；由學(xué)生建立等差數(shù)列模型用相關(guān)知識解決一些簡單的問題，進(jìn)行等差數(shù)列通項公式應(yīng)用的實(shí)踐操作并在操作過程中，通過類比函數(shù)概念、性質(zhì)、表達(dá)式得到對等差數(shù)列相應(yīng)問題的研究。3情態(tài)與價值：培養(yǎng)學(xué)生利

14、用學(xué)過的知識解決與現(xiàn)實(shí)有關(guān)的問題的能力。（二）教學(xué)重、難點(diǎn)重點(diǎn)：探索并掌握等差數(shù)列的前n項和公式；學(xué)會用公式解決一些實(shí)際問題，體會等差數(shù)列的前n項和與二次函數(shù)之間的聯(lián)系。難點(diǎn)：等差數(shù)列前n項和公式推導(dǎo)思路的獲得，靈活應(yīng)用等差數(shù)列前n項公式解決一些簡單的有關(guān)問題（三）學(xué)法與教學(xué)用具學(xué)法：講練結(jié)合教學(xué)用具：投影儀 （四）教學(xué)設(shè)想創(chuàng)設(shè)情景等差數(shù)列在現(xiàn)實(shí)生活中比較常見，因此等差數(shù)列求和就成為我們在實(shí)際生活中經(jīng)常遇到的問題。在200多年前，歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”的高斯就曾經(jīng)上演了迅速求出等差數(shù)列這么一出好戲。那時，高斯的數(shù)學(xué)老師提出了下面的問題：1+2+3+100=？當(dāng)時，當(dāng)其他同

15、學(xué)忙于把100個數(shù)逐項相加時，10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案：（1+100）+（2+99）+（50+51）=101×50=5050高斯的算法實(shí)際上解決了求等差數(shù)列1，2，3，n，前100項的和的問題。今天我們就來學(xué)習(xí)如何去求等差數(shù)列的前n項的和。探索研究 我們先來看看人們由高斯求前100個正整數(shù)的方法得到了哪些啟發(fā)。人們從高斯那里受到啟發(fā)，于是用下面的這個方法計算1，2，3，n，的前n項的和：由 1 + 2 + + n-1 + n n + n-1 + + 2 + 1 （n+1）+（n+1）+ +（n+1）+（n+1）可知上面這種加法叫“倒序相加法”請同學(xué)們觀察思考一下：

16、高斯的算法妙在哪里？高斯的算法很巧妙，他發(fā)現(xiàn)了整個數(shù)列的第k項與倒數(shù)第k項的和與首項與尾項的和是相等的這個規(guī)律并且把這個規(guī)律用于求和中。這種方法是可以推廣到求一般等差數(shù)列的前n項和的。等差數(shù)列求和公式的教學(xué)一般地，稱為數(shù)列的前n項的和，用表示，即1、 思考：受高斯的啟示，我們這里可以用什么方法去求和呢？思考后知道，也可以用“倒序相加法”進(jìn)行求和。我們用兩種方法表示： 由+，得 由此得到等差數(shù)列的前n項和的公式對于這個公式，我們知道：只要知道等差數(shù)列首項、尾項和項數(shù)就可以求等差數(shù)列前n項和了。2、 除此之外，等差數(shù)列還有其他方法（讀基礎(chǔ)教好學(xué)生要介紹）當(dāng)然，對于等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)，也可以有其

17、他的推導(dǎo)途徑。例如： = = = =這兩個公式是可以相互轉(zhuǎn)化的。把代入中，就可以得到引導(dǎo)學(xué)生思考這兩個公式的結(jié)構(gòu)特征得到：第一個公式反映了等差數(shù)列的任意的第k項與倒數(shù)第k項的和等于首項與末項的和這個內(nèi)在性質(zhì)。第二個公式反映了等差數(shù)列的前n項和與它的首項、公差之間的關(guān)系，而且是關(guān)于n的“二次函數(shù)”，可以與二次函數(shù)進(jìn)行比較。這兩個公式的共同點(diǎn)都是知道和n，不同點(diǎn)是第一個公式還需知道，而第二個公式是要知道d，解題時還需要根據(jù)已知條件決定選用哪個公式。 公式運(yùn)用（課本52頁練習(xí)1、2）1、 根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列的前n項和S. 例題分析例1、2000年11月14日教育部下發(fā)了關(guān)于在中小

18、學(xué)實(shí)施“校校通”工程的統(tǒng)治.某市據(jù)此提出了實(shí)施“校校通”工程的總目標(biāo)：從2001年起用10年時間，在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng).據(jù)測算，2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)為500萬元.為了保證工程的順利實(shí)施，計劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元.那么從2001年起的未來10年內(nèi)，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？、先閱讀題目；、引導(dǎo)學(xué)生提取有用的信息，構(gòu)件等差數(shù)列模型；、寫這個等差數(shù)列的首項和公差，并根據(jù)首項和公差選擇前n項和公式進(jìn)行求解。解：根據(jù)題意，從2001-2010年，該市每年投入“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)都比上一年增加50萬元.所以，可以建立一個等差數(shù)列，表示從2001年起

19、各年投入的資金，其中 ， d=50.那么，到2010年（n=10），投入的資金總額為 （萬元）答：從20012010年，該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬元. 例2已知一個等差數(shù)列前10項的和是310，前20項的和是1220.由這些條件能確定這個等差數(shù)列的前n項和的公式嗎？ 引導(dǎo)學(xué)生分析得到：等差數(shù)列前n項和公式就是一個關(guān)于的方程。若要確定其前n項求和公式，則要確定的關(guān)系式，從而求得。分析：將已知條件代入等差數(shù)列前n項和的公式后，可得到兩個關(guān)于與d的二元一次方程，由此可以求得與d，從而得到所求前n項和的公式. 解：由題意知 ， 將它們代入公式 得到 解這個關(guān)于與d的方程組，得到=4，d

20、=6， 所以另解： 得 所以 -，得， 所以 代入得： 所以有 例題評述：此例題目的是建立等差數(shù)列前n項和與解方程之間的聯(lián)系.已知幾個量，通過解方程，得出其余的未知量. 例3 已知數(shù)列的前n項為，求這個數(shù)列的通項公式.這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項與公差分別是什么？解：根據(jù) 與 可知，當(dāng)n1時， 當(dāng)n=1時， 也滿足式. 所以數(shù)列的通項公式為. 由此可知，數(shù)列是一個首項為，公差為2的等差數(shù)列。 這個例題還給出了等差數(shù)列通項公式的一個求法.已知前n項和，可求出通項（n1） 用這種數(shù)列的來確定的方法對于任何數(shù)列都是可行的，而且還要注意不一定滿足由求出的通項表達(dá)式，所以最后要驗(yàn)證首項是否滿足已求出的.思考：結(jié)合例3，思考課本51頁“探究”：一般地，如果一個數(shù)列的前n項和為其中p、q、r為常數(shù)，且p0，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項與公差分別是什么？引導(dǎo)分析得出：觀察等差數(shù)列兩個