導數(shù)應(yīng)用例題

1、精選文檔導數(shù)應(yīng)用舉例導學案（一）知識說明1.如何利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性y=f(x)在(a,b)上可導，若f(x)0，則f(x)為增函數(shù)，若f(x)0，則f(x)為減函數(shù)利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性需注意以下幾個問題(1)確定函數(shù)的定義域，解決問題的過程中，只能在函數(shù)的定義域內(nèi)，通過討論導數(shù)的符號，來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(2)在對函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時，除了必須確定使導數(shù)等于0的點外，還要注意定義區(qū)間內(nèi)的不連續(xù)點或不可導點(3)注意在某一區(qū)間內(nèi)f(x)>0(或f(x)<0)是函數(shù)f(x)在該區(qū)間上為增(或減)函數(shù)的充分不必要條件2.若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增，那么一定有f(x)&g

2、t;0嗎？f(x)>0是否是f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增的充要條件？函數(shù)f(x)在(a，b)上是增函數(shù)，則f(x)0，f(x)>0是f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增的充分不必要條件例函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍。簡析：則單調(diào)遞增，但在一些孤立點處成立并不妨礙函數(shù)的單調(diào)性。如：有，但函數(shù)在R上單調(diào)遞增。答案。 函數(shù)的導數(shù)與其單調(diào)性之間的關(guān)系可以從以下三個方面理解：在某個區(qū)間(a，b)上，若f(x)0，則f(x)在這個區(qū)間上單調(diào)遞增；若f(x)0，則f(x)在這個區(qū)間上單調(diào)遞減；若f(x)0恒成立，則f(x)在這個區(qū)間上為常數(shù)函數(shù)；若f(x)的符號不確定，則f(x)不是單調(diào)函數(shù)若

3、函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增，則f(x)0，其逆命題不成立，因為f(x)0包括f(x)0或f(x)0，當f(x)0時，函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增，當f(x)0時，f(x)在這個區(qū)間內(nèi)為常數(shù)函數(shù)；同理，若函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞減，則f(x)0，其逆命題不成立使f(x)0的離散的點不影響函數(shù)的單調(diào)性f(x)在a,b上的最值求法（步驟）：求出f(x)在(a,b)內(nèi)的極值；將f(x)的各極值與f(a),f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.(1)設(shè)函數(shù)f(x)在點x0及其附近有定義，如果對x0附近的所有點，都有f(x)<f(x0)，我

4、們說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個_極大值_，記作_y極大值f(x0)_；如果對x0附近的所有點，都有f(x)>f(x0)，就說f(x0)是f(x)的一個_極小值_，記作_ y極小值f(x0)_ 極大值與極小值統(tǒng)稱為_極值(2)判別f(x0)是極值的方法一般地，當函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)時：如果在x0附近的左側(cè)f(x)>0，右側(cè)f(x)<0，那么f(x0)是_極大值_如果在x0附近的左側(cè)f(x)<0，右側(cè)f(x)>0，那么f(x0)是_極小值_ 4.有人說極大值一定比極小值大，你認為呢？極值是一個局部性概念，一個函數(shù)在其定義域內(nèi)可以有許多個極大值和極小值，在某一

5、點的極小值也可能大于另一點的極大值，即函數(shù)的極大值不一定比極小值大，極小值也不一定比極大值小，也就是說極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系 5.求可導函數(shù)f(x)的極值的步驟：(1)求導數(shù)f(x)；(2)求方程f(x)0的根；(3)檢驗f(x)在方程f(x)0的根的左右的符號：如果在根的左側(cè)附近為正，右側(cè)附近為負，那么函數(shù)yf(x)在這個根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負，右側(cè)附近為正，那么函數(shù)yf(x)在這個根處取得極小值 6.導數(shù)為零的點一定是極值點嗎？對于可導函數(shù)來說，函數(shù)在某點x0的導數(shù)為0是函數(shù)在該點處取得極值的必要不充分條件，即yf(x)在x0處取得極值必有f(x0)0，但反過來不

6、成立，即導數(shù)為0的點不一定是極值點例如f(x)x3，則f(x)3x2，f(0)0，但x0不是f(x)x3的極值點，事實上f(x)x3在R上單調(diào)遞增?？蓪Ш瘮?shù)f(x)在點x0處取得極值的充要條件是f(x0)0，且在x0的左側(cè)與右側(cè)的f(x)的符號不同不可導的點也可能是極值點7.你能利用函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)有極值的條件判斷函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)的單調(diào)性嗎？，若f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)遞增或遞減的函數(shù)沒有極值 8.函數(shù)的極值與最值有什么區(qū)別和聯(lián)系函數(shù)的最值：函數(shù)f(x)在a，b上必有最值的條件：如果在區(qū)間a，b上函數(shù)yf(x)

7、的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值極值與最值的區(qū)別和聯(lián)系：(1)函數(shù)的極值表示函數(shù)在一點附近的情況，是在局部范圍對函數(shù)值的比較；函數(shù)的最值是表示函數(shù)在一個區(qū)間上的情況，是對函數(shù)在整個區(qū)間上的函數(shù)值的比較(2)函數(shù)的極值不一定是最值，需對極值和區(qū)間端點的函數(shù)值進行比較，或者考查函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性(3)如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個極值，那么極大值就是最大值，極小值就是最小值(4)可導函數(shù)的極值點導數(shù)為零，但是導數(shù)為零的點不一定是極值點，如函數(shù)yx3在x0處導數(shù)為零，但x0不是極值點 在求實際問題中的最大值或最小值時，一般先設(shè)自變量、因變量，建立函數(shù)關(guān)系式，并確定其定義

8、域，利用求函數(shù)最值的方法求解，注意結(jié)果應(yīng)與實際情況相符合用導數(shù)求解實際問題中的最大(小)值時，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，那么根據(jù)實際意義該極值點也就是最值點 f(x)在a,b上的最值求法（步驟）：求出f(x)在(a,b)內(nèi)的極值；將f(x)的各極值與f(a),f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值. 求閉區(qū)間a,b上的最值，除了要比較(a,b)內(nèi)的所有極值外，還要比較f(x)在a,b的端點值f(a)，f(b). 如果忽視了f(a),f(b)，那么可能得到的答案是錯誤的. 比如下面的這個函數(shù)f(x)。最小值為f(c)，它是極小值之一，但f(a)為最大值，它是區(qū)間的端點函數(shù)

9、值 求在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導的函數(shù)的最值時，可將過程簡化，即不用判斷使f(x)0成立的點是極大值點還是極小值點，直接將極值點與端點處的函數(shù)值進行比較，就可判定最大(小)值 小結(jié)1當時，是增函數(shù)；當時，是減函數(shù)用導數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性比用定義法更加簡便，是導數(shù)幾何意義在研究曲線變化規(guī)律時的一個重要應(yīng)用，它充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的基本思想因此，必須重視對數(shù)學思想方法進行歸納提煉，提高應(yīng)用數(shù)學思想方法解決問題的熟練程度，達到優(yōu)化解題思想、簡化解題過程的目的2利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，一般要先確定定義域，只能在函數(shù)的定義域內(nèi)，通過討論導數(shù)的符號，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間同時還要注意的是，在

10、單調(diào)區(qū)間的劃分時，應(yīng)去掉定義區(qū)間內(nèi)的不連續(xù)點和不可導點3或僅是在某區(qū)間上為增函數(shù)或減函數(shù)的充分條件在某區(qū)間內(nèi)可導函數(shù)單調(diào)遞增（減）的充要條件是（）在該區(qū)間上恒成立4本專題易錯點主要有：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是定義域的子集，因此求解關(guān)于函數(shù)單調(diào)區(qū)間問題時，應(yīng)先求函數(shù)的定義域；求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間實際上是不等式（）對應(yīng)的解集；但如果問題是已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增（或減）時，問題的實質(zhì)是解決不等式（或）恒成立問題（二）導數(shù)應(yīng)用導數(shù)的應(yīng)用包括以下幾個方面:(1)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間; (2)利用導數(shù)研究函數(shù)極值與最值;(3)利用導數(shù)研究曲線的切線問題; (4)利用導數(shù)研究不等式的證明問題;(5)利用

11、導數(shù)研究函數(shù)的零點; (6)利用導數(shù)求參數(shù)的取值范圍等.一般來說,利用導數(shù)解決的問題,其所涉及的函數(shù)往往具有明顯的特征,例如:三次函數(shù)等高次函數(shù),非常規(guī)函數(shù)(由基本初等函數(shù)構(gòu)成)等,這些函數(shù)尤其適合利用導數(shù)解決.一、極值、最值例1：函數(shù)在閉區(qū)間-3，0上的最大值、最小值分別是 .例2在曲線y=x3x上有兩個點O(0，0)、A(2，6)，求弧OA上點P的坐標，使AOP的面積最大.極點與極值：曲線在極值點處切線的斜率為0，極值點處的導數(shù)為0；曲線在極大值點左側(cè)切線的斜率為正，右側(cè)為負；曲線在極小值點左側(cè)切線的斜率為負，右側(cè)為正；最值：在區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)f在a，b上必有最大值與最小值。但在開區(qū)

12、間（a，b）內(nèi)連續(xù)函數(shù)f（x）不一定有最大值，例如。（1）函數(shù)的最大值和最小值是一個整體性的概念，最大值必須是整個區(qū)間上所有函數(shù)值中的最大值，最小值必須在整個區(qū)間上所有函數(shù)值中的最小值。（2）函數(shù)的最大值、最小值是比較整個定義區(qū)間的函數(shù)值得出來的，函數(shù)的極值是比較極值點附件的函數(shù)值得出來的。函數(shù)的極值可以有多有少，但最值只有一個，極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值，極值可能成為最值，最值只要不在端點處必定是極值。例3. 設(shè)函數(shù)，已知是奇函數(shù)。（）求、的值。 （）求的單調(diào)區(qū)間與極值。例4. 已知f（x）=在x=1，x=時，都取得極值。（1）求a、b

13、的值。（2）若對，都有恒成立，求c的取值范圍。例5、已知函數(shù)其中（1） 當時，求曲線處的切線的斜率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2） 當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 本小題主要考查導數(shù)的幾何意義、導數(shù)的運算、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識，考查運算能力及分類討論的思想方法。滿分12分。例6若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求實數(shù)的取值范圍. 例7已知函數(shù)若在區(qū)間2，2.上的最大值為20.(1)求實數(shù)的值;(2)是否存在實數(shù),使得對于,總存在,都有成立?若存在,求出實數(shù)的取值范圍;若不存在,說明理由. 例8.設(shè)函數(shù).()試問函數(shù)能否在x= 1時

14、取得極值？說明理由；（)若a= 1，當x-3,4時，函數(shù)與的圖像有兩個公共點，求c的取值范圍. 二、導數(shù)用于證明不等式例1. 已知x（0，），求證：sinxxtanx。這個三角不等式在相關(guān)教材中是用幾何方法證明的。這里是構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來證明，簡單、快捷。例2將函數(shù)的圖象按向量平移得到函數(shù)的圖象,求證:當時,.例2.函數(shù)。（1）證明：；（2）若對所有都有，求的范圍。例3.設(shè)函數(shù)，其中。證明：當時，函數(shù)沒有極值點；當時，函數(shù)有且只有一個極值點，并求出極值。例4.已知函數(shù)，其中是的導函數(shù)。（1）對滿足的一切的值，都有，求實數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)，若函數(shù)的圖象與直線只有一個公共點，求實數(shù)的

15、取值范圍。例5.已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)，其中。設(shè)兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同。（1）用表示，并求的最大值；（2）求證：（）。例6.已知函數(shù)，且對任意的實數(shù)均有，。 （1）求函數(shù)的解析式； （2）若對任意的，恒有，求的取值范圍。例7.設(shè)函數(shù)。（1）求的最小值；（2）若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍。例8.函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)各有一個極值點。（1）求的最大值； （2）當時，設(shè)函數(shù)在點處的切線為，若在點處穿過函數(shù)的圖象（即動點在點附近沿曲線運動，經(jīng)過點時，從的一側(cè)進入另一側(cè)），求函數(shù)的表達式。三、利用導數(shù)解決實際問題例1某銀行準備新設(shè)一種定期存款業(yè)務(wù)，經(jīng)預(yù)測：存款量與存款利率的平方成正比，比例系

16、數(shù)為，貸款的利率為4.8%，又銀行吸收的存款能全部放貸出去，試確定當存款利率定為多少時，銀行可獲取最大收益？例2、請您設(shè)計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐（如右圖所示）。試問當帳篷的頂點O到底面中心的距離為多少時，帳篷的體積最大？導數(shù)應(yīng)用舉例（一）知識說明1.如何利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性y=f(x)在(a,b)上可導，若f(x)0，則f(x)為增函數(shù)，若f(x)0，則f(x)為減函數(shù)利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性需注意以下幾個問題(1)確定函數(shù)的定義域，解決問題的過程中，只能在函數(shù)的定義域內(nèi)，通過討論導數(shù)的符號，來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(2)在對函數(shù)劃分單調(diào)

17、區(qū)間時，除了必須確定使導數(shù)等于0的點外，還要注意定義區(qū)間內(nèi)的不連續(xù)點或不可導點(3)注意在某一區(qū)間內(nèi)f(x)>0(或f(x)<0)是函數(shù)f(x)在該區(qū)間上為增(或減)函數(shù)的充分不必要條件2.若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增，那么一定有f(x)>0嗎？f(x)>0是否是f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增的充要條件？函數(shù)f(x)在(a，b)上是增函數(shù)，則f(x)0，f(x)>0是f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增的充分不必要條件例函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍。簡析：則單調(diào)遞增，但在一些孤立點處成立并不妨礙函數(shù)的單調(diào)性。如：有，但函數(shù)在R上單調(diào)遞增。答案。 函數(shù)的導數(shù)

18、與其單調(diào)性之間的關(guān)系可以從以下三個方面理解：在某個區(qū)間(a，b)上，若f(x)0，則f(x)在這個區(qū)間上單調(diào)遞增；若f(x)0，則f(x)在這個區(qū)間上單調(diào)遞減；若f(x)0恒成立，則f(x)在這個區(qū)間上為常數(shù)函數(shù)；若f(x)的符號不確定，則f(x)不是單調(diào)函數(shù)若函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增，則f(x)0，其逆命題不成立，因為f(x)0包括f(x)0或f(x)0，當f(x)0時，函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增，當f(x)0時，f(x)在這個區(qū)間內(nèi)為常數(shù)函數(shù)；同理，若函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞減，則f(x)0，其逆命題不成立使f(x)0的離散的點不影響函數(shù)的單調(diào)性

19、f(x)在a,b上的最值求法（步驟）：求出f(x)在(a,b)內(nèi)的極值；將f(x)的各極值與f(a),f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.(1)設(shè)函數(shù)f(x)在點x0及其附近有定義，如果對x0附近的所有點，都有f(x)<f(x0)，我們說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個_極大值_，記作_y極大值f(x0)_；如果對x0附近的所有點，都有f(x)>f(x0)，就說f(x0)是f(x)的一個_極小值_，記作_ y極小值f(x0)_ 極大值與極小值統(tǒng)稱為_極值_ (2)判別f(x0)是極值的方法一般地，當函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)時：如果在x0附近的左側(cè)f(x)>

20、;0，右側(cè)f(x)<0，那么f(x0)是_極大值_如果在x0附近的左側(cè)f(x)<0，右側(cè)f(x)>0，那么f(x0)是_極小值_ 4.有人說極大值一定比極小值大，你認為呢？極值是一個局部性概念，一個函數(shù)在其定義域內(nèi)可以有許多個極大值和極小值，在某一點的極小值也可能大于另一點的極大值，即函數(shù)的極大值不一定比極小值大，極小值也不一定比極大值小，也就是說極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系 5.求可導函數(shù)f(x)的極值的步驟：(1)求導數(shù)f(x)；(2)求方程f(x)0的根；(3)檢驗f(x)在方程f(x)0的根的左右的符號：如果在根的左側(cè)附近為正，右側(cè)附近為負，那么函數(shù)yf(x)在這

21、個根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負，右側(cè)附近為正，那么函數(shù)yf(x)在這個根處取得極小值 6.導數(shù)為零的點一定是極值點嗎？對于可導函數(shù)來說，函數(shù)在某點x0的導數(shù)為0是函數(shù)在該點處取得極值的必要不充分條件，即yf(x)在x0處取得極值必有f(x0)0，但反過來不成立，即導數(shù)為0的點不一定是極值點例如f(x)x3，則f(x)3x2，f(0)0，但x0不是f(x)x3的極值點，事實上f(x)x3在R上單調(diào)遞增?？蓪Ш瘮?shù)f(x)在點x0處取得極值的充要條件是f(x0)0，且在x0的左側(cè)與右側(cè)的f(x)的符號不同不可導的點也可能是極值點7.你能利用函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)有極值的條件判斷函數(shù)f(

22、x)在(a，b)內(nèi)的單調(diào)性嗎？，若f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)遞增或遞減的函數(shù)沒有極值 8.函數(shù)的極值與最值有什么區(qū)別和聯(lián)系函數(shù)的最值：函數(shù)f(x)在a，b上必有最值的條件：如果在區(qū)間a，b上函數(shù)yf(x)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值極值與最值的區(qū)別和聯(lián)系：(1)函數(shù)的極值表示函數(shù)在一點附近的情況，是在局部范圍對函數(shù)值的比較；函數(shù)的最值是表示函數(shù)在一個區(qū)間上的情況，是對函數(shù)在整個區(qū)間上的函數(shù)值的比較(2)函數(shù)的極值不一定是最值，需對極值和區(qū)間端點的函數(shù)值進行比較，或者考查函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性(3)如果連續(xù)函數(shù)在

23、區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個極值，那么極大值就是最大值，極小值就是最小值(4)可導函數(shù)的極值點導數(shù)為零，但是導數(shù)為零的點不一定是極值點，如函數(shù)yx3在x0處導數(shù)為零，但x0不是極值點 在求實際問題中的最大值或最小值時，一般先設(shè)自變量、因變量，建立函數(shù)關(guān)系式，并確定其定義域，利用求函數(shù)最值的方法求解，注意結(jié)果應(yīng)與實際情況相符合用導數(shù)求解實際問題中的最大(小)值時，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，那么根據(jù)實際意義該極值點也就是最值點 f(x)在a,b上的最值求法（步驟）：求出f(x)在(a,b)內(nèi)的極值；將f(x)的各極值與f(a),f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值. 求閉區(qū)間

24、a,b上的最值，除了要比較(a,b)內(nèi)的所有極值外，還要比較f(x)在a,b的端點值f(a)，f(b). 如果忽視了f(a),f(b)，那么可能得到的答案是錯誤的. 比如下面的這個函數(shù)f(x)。最小值為f(c)，它是極小值之一，但f(a)為最大值，它是區(qū)間的端點函數(shù)值 求在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導的函數(shù)的最值時，可將過程簡化，即不用判斷使f(x)0成立的點是極大值點還是極小值點，直接將極值點與端點處的函數(shù)值進行比較，就可判定最大(小)值 小結(jié)1當時，是增函數(shù)；當時，是減函數(shù)用導數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性比用定義法更加簡便，是導數(shù)幾何意義在研究曲線變化規(guī)律時的一個重要應(yīng)用，它充分體現(xiàn)

25、了數(shù)形結(jié)合的基本思想因此，必須重視對數(shù)學思想方法進行歸納提煉，提高應(yīng)用數(shù)學思想方法解決問題的熟練程度，達到優(yōu)化解題思想、簡化解題過程的目的2利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，一般要先確定定義域，只能在函數(shù)的定義域內(nèi)，通過討論導數(shù)的符號，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間同時還要注意的是，在單調(diào)區(qū)間的劃分時，應(yīng)去掉定義區(qū)間內(nèi)的不連續(xù)點和不可導點3或僅是在某區(qū)間上為增函數(shù)或減函數(shù)的充分條件在某區(qū)間內(nèi)可導函數(shù)單調(diào)遞增（減）的充要條件是（）在該區(qū)間上恒成立4本專題易錯點主要有：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是定義域的子集，因此求解關(guān)于函數(shù)單調(diào)區(qū)間問題時，應(yīng)先求函數(shù)的定義域；求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間實際上是不等式（）對應(yīng)的解集；但如果問題是已知函數(shù)在

26、區(qū)間上單調(diào)遞增（或減）時，問題的實質(zhì)是解決不等式（或）恒成立問題（二）導數(shù)應(yīng)用導數(shù)的應(yīng)用包括以下幾個方面:(1)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間;(2)利用導數(shù)研究函數(shù)極值與最值;(3)利用導數(shù)研究曲線的切線問題;(4)利用導數(shù)研究不等式的證明問題;(5)利用導數(shù)研究函數(shù)的零點;(6)利用導數(shù)求參數(shù)的取值范圍等.一般來說,利用導數(shù)解決的問題,其所涉及的函數(shù)往往具有明顯的特征,例如:三次函數(shù)等高次函數(shù),非常規(guī)函數(shù)(由基本初等函數(shù)構(gòu)成)等,這些函數(shù)尤其適合利用導數(shù)解決.一、極值、最值例1：函數(shù)在閉區(qū)間-3，0上的最大值、最小值分別是 .解析：由=0，得，當時，>0，當時，<0，當時，

27、>0，故的極小值、極大值分別為， 而故函數(shù)在-3，0上的最大值、最小值分別是3、-17。例2在曲線y=x3x上有兩個點O(0，0)、A(2，6)，求弧OA上點P的坐標，使AOP的面積最大.解：解法一:因為kOA=3，所以過弧OA上點P的直線的斜率k=kOA=3.所以k=y=3x21=3.所以3x2=4.所以x=或x= (舍去).所以x=,y=，即P(，).解法二:設(shè)P(a,a3a),O(0,0)、A(2,6),直線OA的方程為3xy=0.點P到它的距離為d=|a34a|,0a2,4aa3.d= (4aa3).(d)= (43a2),令43a2=0,得a=或a=.0a2,x=a=時取最大值

28、，此時y=()3=.P(，). 極點與極值：曲線在極值點處切線的斜率為0，極值點處的導數(shù)為0；曲線在極大值點左側(cè)切線的斜率為正，右側(cè)為負；曲線在極小值點左側(cè)切線的斜率為負，右側(cè)為正；最值：在區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)f在a，b上必有最大值與最小值。但在開區(qū)間（a，b）內(nèi)連續(xù)函數(shù)f（x）不一定有最大值，例如。（1）函數(shù)的最大值和最小值是一個整體性的概念，最大值必須是整個區(qū)間上所有函數(shù)值中的最大值，最小值必須在整個區(qū)間上所有函數(shù)值中的最小值。（2）函數(shù)的最大值、最小值是比較整個定義區(qū)間的函數(shù)值得出來的，函數(shù)的極值是比較極值點附件的函數(shù)值得出來的。函數(shù)的極值可以有多有少，但最值只有一個，極值只能在區(qū)間內(nèi)

29、取得，最值則可以在端點取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值，極值可能成為最值，最值只要不在端點處必定是極值。例3. 設(shè)函數(shù)，已知是奇函數(shù)。（）求、的值。 （）求的單調(diào)區(qū)間與極值。解：（），。從而是 一個奇函數(shù)，所以得，由奇函數(shù)定義得；（）由（）知，從而，由此可知，和是函數(shù)是單調(diào)遞增區(qū)間；是函數(shù)是單調(diào)遞減區(qū)間；在時，取得極大值，極大值為，在時，取得極小值，極小值為。例4. 已知f（x）=在x=1，x=時，都取得極值。（1）求a、b的值。（2）若對，都有恒成立，求c的取值范圍。解：（1）由題意f/（x）=的兩個根分別為1和 由韋達定理，得：1=， 則，（2）由（1），有f（x）=，f/（x

30、）= 當時，當時，當時，當時，有極大值， 當，的最大值為 對，都有恒成立， 解得或例5、已知函數(shù)其中（3） 當時，求曲線處的切線的斜率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （4） 當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 本小題主要考查導數(shù)的幾何意義、導數(shù)的運算、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識，考查運算能力及分類討論的思想方法。滿分12分。解：（I）（II） w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 以下分兩種情況討論。（1），則.當變化時，的變化情況如下表：+00+極大值極小值 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2），則，當變化時，的變化情況如

31、下表：+00+極大值極小值 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 例6若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求實數(shù)的取值范圍. 解：.因為函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間,所以有解.又因為函數(shù)的定義域為,則應(yīng)有的解.(1)當時,為開口向上的拋物線,總可以找到的解;(2)當時,為開口向下的拋物線,要使總有大于0的解,則且方程至少有一個正根,此時.(3)當時,顯然符合題意.綜上所述,實數(shù)的取值范圍是.例7已知函數(shù)若在區(qū)間2，2.上的最大值為20.(1)求實數(shù)的值;(2)是否存在實數(shù),使得對于,總存在,都有成立?若存在,求出實數(shù)的取值范圍;若不存在,說明理由. 解：（1）令,解得或所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為遞增區(qū)間是.又因為

32、,所以因為在上,所以在單調(diào)遞增,又由于在上單調(diào)遞減,因此和分別是在區(qū)間上的最大值和最小值.于是有,解得(2)由(1)知因此即函數(shù)在區(qū)間上的值域為,20,由于,所以當時,因此當時,為減函數(shù),從而當時,.又因為,即當時若對于,總存在,都有,則應(yīng)有,即,解得:但由于,故不存在這樣的實數(shù).例8.設(shè)函數(shù).()試問函數(shù)能否在x= 1時取得極值？說明理由；（)若a= 1，當x-3,4時，函數(shù)與的圖像有兩個公共點，求c的取值范圍. 解：() 由題意=x2-2ax-a，假設(shè)在x=-1時取得極值，則有=1+2a-a=0,a=-1 4分而此時,=x2+2x+1=(x+1)20，函數(shù)在R上為增函數(shù)，無極值. 這與在x

33、=-1有極值矛盾，所以在x=-1處無極值. 6分（)設(shè)=，則有x3-x2-3x-c=0，c=x3-x2-3x,設(shè)=x3-x2-3x, =c，令=x2-2x-3=0,解得x1=-1或x=3.列表如下：x-3(-3,-1)-1(-1,3)3(3,4)4+0-0+-9增來源:Zxxk.Com減-9增-由此可知:在(-3,-1)、(3,4)上是增函數(shù)，在(-1,3)上是減函數(shù).10分當x=-1時，取得極大值；當x=3時，取得極小值=-9，而. 如果函數(shù)與的圖像有兩個公共點，則函數(shù)與有兩個公共點，所以或c=-9.二、導數(shù)用于證明不等式例1. 已知x（0，），求證：sinxxtanx。證明；構(gòu)造函數(shù)f（x

34、）=xsinx，g（x）=tanxx， x（0，），則f'（x）=1cosx0，g'（x）=sec2x10。所以f（x），g（x）在（0，）內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，故f（x）f（0）=0，g（x）g（0）=0，即xsinx，tanxx，故sinxxtanx。這個三角不等式在相關(guān)教材中是用幾何方法證明的。這里是構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來證明，簡單、快捷。例2將函數(shù)的圖象按向量平移得到函數(shù)的圖象,求證:當時,.解：將函數(shù)的圖象按向量平移得到函數(shù).令,則,因為,所以,即函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù),于是有,即,因此有當時, 例2.函數(shù)。（1）證明：；（2）若對所有都有，求的范圍。證明：（1）

35、的導數(shù)，由于，故，（當且僅當時，等號成立）。（2）令，則，（）若，當時，故在上為增函數(shù)，所以，時，即。（）若，方程的正根為，此時，若，則，故在該區(qū)間為減函數(shù)所以，時，即，與題設(shè)相矛盾 綜上，滿足條件的的取值范圍是。例3.設(shè)函數(shù)，其中。證明：當時，函數(shù)沒有極值點；當時，函數(shù)有且只有一個極值點，并求出極值。證明：因為，所以的定義域為當時，如果在上單調(diào)遞增；如果在上單調(diào)遞減。所以當時，函數(shù)沒有極值點。當時若時，函數(shù)有且只有一個極小值點，極小值為若時，函數(shù)有且只有一個極大值點，極大值為。綜合問題例4.已知函數(shù)，其中是的導函數(shù)。（1）對滿足的一切的值，都有，求實數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)，若函數(shù)的圖象與直線只有一個公共點，求實數(shù)的取值范圍。解：（1）由題意， 令，對，恒有，即 即，解得故時，對滿足的一切的值，都有（2）。當時，的圖象與直線只有一個公共點當時，列表可得，又的值域是，且在上