高等數學2017年最新課件正項級數及其收斂法

1、第二節(jié)第二節(jié) 正項級數及其收斂法正項級數及其收斂法u 正項級數及其收收斂法一、正項級數及其審斂法一、正項級數及其審斂法1.1.定義定義: :，中中各各若若01 nnnuu則稱此級數為則稱此級數為正項級數正項級數. .對對正正項項級級數數，有有2.2.正項級數收斂的正項級數收斂的充分必要充分必要條件條件: :正項級數收斂的正項級數收斂的基本定理基本定理.部部分分和和數數列列有有界界正正項項級級數數收收斂斂 nsss21注：注：正項級數收斂的正項級數收斂的本質本質 un 0 0足夠足夠快。快。. 11nnnnnnvuvu 級級數數，且且為為、正項3.比較審斂法比較審斂法則則 收收斂斂1nnv 發(fā)發(fā)

2、散散1nnu;1收收斂斂 nnu.1發(fā)發(fā)散散 nnv重要參照級數重要參照級數: :等比級數等比級數, , p- -級數。級數。極限形式極限形式: :. lim 11lvuvunnnnnnn 同同上上，且且和和則則 收收斂斂nv;收收斂斂 nu)1(時，時，當當 l 收收斂斂nu;收收斂斂 nv)2(時時，當當 0 l收收斂斂 nu.收收斂斂 nv)3(時時，當當 0 l注注: :須有參照級數須有參照級數. 比較審斂法的不方便比較審斂法的不方便 發(fā)散發(fā)散時時當當收斂收斂時時當當級數級數,1,1ppp結論結論:（2 2）等比級數等比級數( (幾何級數幾何級數) ) )0( a .,1;,10發(fā)散發(fā)

3、散時時當當收斂收斂時時當當qqaqnn nnnaqaqaqaaq20的收斂性的收斂性. . 解解)1(nnnn3131lim nnn11sinlim , 1 發(fā)散發(fā)散.)2(nnn1sinlim nnn311lim , 1 ,nn收收斂斂而而 131故原級數收斂故原級數收斂.5 5. .比比值值審審斂斂法法( (達達朗朗貝貝爾爾判判別別法法) )： 設設 1nnu是是正正項項級級數數, , )(lim1 為為數數或或 nnnuu, , 則則1 時時, ,收收斂斂; ; 6.6.根值審斂法根值審斂法 ( (柯西判別法柯西判別法) )： 設設 1nnu是是正正項項級級數數, , nnnulim)(

4、 為為數數或或 , , 則則1 時時, ,收收斂斂; ; 1 時時, ,發(fā)發(fā)散散. . 由項的比值或根值的極限值確定級數的收斂性由項的比值或根值的極限值確定級數的收斂性. . 比值審斂法、比值審斂法、根值審斂法根值審斂法的優(yōu)點的優(yōu)點: :1 時時, ,發(fā)發(fā)散散. . ( ( 1 時失效時失效) ) （1 時失效）時失效） 注意注意:當當1 時時比比值值（根根值值）審審斂斂法法失失效效。 ,11 npnp 級級數數對對例例nnnuu1 lim 總總有有nnnu lim . 1 例例 5 5 判別收斂性判別收斂性: (1) 1!1nn; 解解!1)!1(11nnuunn 11 n0.收斂收斂1 !

5、1010)!1(11nnuunnnn 101 n.發(fā)發(fā)散散(2) 110!nnn; 解解(3) 11nnn; nnnulim0 nn1lim.收斂收斂解解.)12(21 )4(1 nnn解解)22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn, 1 比值審斂法失效比值審斂法失效.根值審斂法也一定失效根值審斂法也一定失效.改用比較審斂法改用比較審斂法,12)12(12nnn nnnn2) 12(1 lim 2 或或4/1 .收斂收斂第三節(jié)第三節(jié) 任意項級數任意項級數u 交錯級數及其收收斂法u 絕對收斂與條收收收斂一、交錯級數及其審斂法一、交錯級數及其審斂法正、負項相間的級數稱為正、負項

6、相間的級數稱為交錯級數交錯級數. .萊布尼茨定理萊布尼茨定理 如果如果交錯交錯級數滿足條件級數滿足條件: : ( () ) ),3,2,1(|1 nuunn; ; ( () ) 0lim nnu, , 則級數收斂則級數收斂, ,且和的絕對值且和的絕對值 |u|s|1 , ,余項的余項的 絕對值絕對值 |u|rnn1 . . nnSSr稱為級數余項稱為級數余項 nn1) 1(41312111,.)2 , 1( ;111).(1nunnuinn01limlim).(nuiinnn收斂且收斂且S0,使得當使得當 |x|R 時它發(fā)散時它發(fā)散注注:三種收斂情形三種收斂情形:(1) 僅在僅在 x = 0

7、處收斂處收斂;(2) 在在 內處處收斂內處處收斂;),(3) 在在(R,R )內收斂內收斂,端點另外討論端點另外討論收斂區(qū)間收斂區(qū)間R收斂半徑收斂半徑R= 0R= + 2.收斂半徑的求法收斂半徑的求法定理定理21limnnnaaR(證明略證明略)例例 求收斂半徑和收斂域求收斂半徑和收斂域11) 1().1 (nnnnx1limnnnaaR1111limnnnx =1 時時111) 1(nnn收斂收斂； x =1時時)1(1nn收斂域是收斂域是(1，1發(fā)散發(fā)散1limnnnaaR1limnnnaaR1!).3(nnxn0!).2(nnnx0)!1(!limnnn)!1(1!1limnnn 收斂域

8、是收斂域是(，）僅在僅在 x =0 點收斂點收斂11)2() 1().4(nnnnx設設 x2 t ,由由(1)知知11) 1(nnnnt收斂域是收斂域是(1,3收斂域是收斂域是(1,1023).5(nnnx令令2xt 00233nnnnnntx1limnnnaa33131lim1nnnt =3 時時t =3時時11n發(fā)散發(fā)散1) 1(nn發(fā)散發(fā)散收斂域是收斂域是(3,3)收斂域是收斂域是)3,3(0123).6(nnnx缺少偶次項缺少偶次項,無法用公式，可以用無法用公式，可以用比值法比值法求求Rnnnuu1lim212132|3133limxxxnnnnn1時時,發(fā)散發(fā)散.則收斂區(qū)間為則收斂

9、區(qū)間為3x時時,發(fā)散發(fā)散.)3,3(注注:缺少奇次項缺少奇次項,也可以用此方法也可以用此方法.1)2(31).7(nnnnnx31) 1(3213321lim) 1()2(3)2(3lim111nnnnnnnnnnnn.31211)2(3331處發(fā)散所以原級數在點發(fā)散，且時，因為當xnnnxnnnn.31)2(32) 1(,1)2(321) 1(1)2(3)3(311處收斂點都收斂，所以原級數在與且時，由于當xnnnnnxnnnnnnnnnnnnn)3 , 3(, 3收斂區(qū)間為所以收斂半徑為1limnnnuu1R因為三三.冪級數的運算性質冪級數的運算性質1.四則運算性質四則運算性質0)(nnn

10、xgxb)(0 xfxannn設設收斂半徑分別為收斂半徑分別為 和和 ,記記1R2R,min21RRR 則對于任意的則對于任意的 , 有有),(RRx)()()().1 (000 xgxfxbaxbxannnnnnnnnn)()()()().(2(0011000 xgxfxbababaxbxannnnnnnnnnn 利用乘法可以定義除法利用乘法可以定義除法000)()(nnnnnnnnnxcxbxa000nnnnnnnnnxcxbxa則則注意注意,商級數的收斂半徑可能比原來要小得多商級數的收斂半徑可能比原來要小得多2. 分析運算性質分析運算性質)(0 xSxannn設設收斂半徑為收斂半徑為R,

11、 則則(1) S(x) 在收斂域內連續(xù)在收斂域內連續(xù);(2) S(x) 在在(-R,R)內可導內可導,且且0100)()()(nnnnnnnnnxnaxaxaxS即冪級數在即冪級數在(-R,R)內可以逐項求導內可以逐項求導,所得到的冪級數所得到的冪級數收斂半徑不變收斂半徑不變.可推廣到任意階導數可推廣到任意階導數(3) S(x)在在(-R,R)內可積內可積,且且 01000001)(nnnnxnnxnnnxxnadxxadxxadxxS即冪級數在即冪級數在(-R,R)內可以逐項積分內可以逐項積分,所得到的冪級數所得到的冪級數收斂半徑不變收斂半徑不變.注意注意:(2),(3)中端點需要另外討論中端點需要另外討論.例例 求和函數求