高等數學微積分課件721 二重積分計算(直角坐標)

1、The Type I RegionDabxxyO12( , )|,( )( )Dx yaxbxyx 2yx 1yxabDabDType IRecall Finding the volume (slice) The area of cross section( ) ()A xaxbThen the volume( ) baVA x dxabx( )A xabD2( )yx1( )yxx( , )zf x y( )A x2010()0()(, )xxf xy dy0 xxy( , )zf x y2( )x1( )x21( )( )( )( , )xxA xf x y dyx “constant”x

2、x( )A x21( )( )( , )xxf x y dy()axb( , )Df x y dxdyV( ) baA x dx21( )( )( , ) bxaxf x y dy dx 21( )( )( , )bxaxdxf x y dyIterated integral( , )Df x y dxdy21( )( )( , )bxaxdxf x y dyIntegration with respect y first ：“constant”abD2( )yx1( )yx( , )Df x y dxdy21( )( )( , )bxaxdxf x y dyabD2( )yx1( )yxWi

3、th respect to y, x can be regarded as a constant in the first integral solution),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy Ddxdyyx)(222()xxxy dy2xy 2yx Type, with respect to y firstyx10dx22()xxxy dydxxxxxx)(21)(42102 .14033 10dx22212xxx yy10 dxAlternative solution Ddxdyyx)(222()yyxy dx3162201()()3yyyyy dy.14033 2xy 2y

4、x Type II2313yyxxyType II region, with respect to x firstxy10dy10 dyThe Type II RegionDcdyxyO12( , )|,( )( )Dx ycydyxy 1xy 2xyExampleFind22DxdxdyySolutiongraphs1yx2y DyxIntersection points：(1, 1)quxian:=implicitplot(y=1/x,x=0.1.2.22,y=0.2.2,thickness=3,scaling=constrained):x_axis:=implicitplot(y=0,x

5、=-0.4.2.55,y=-0.1.0.1,thickness=3,scaling=constrained,color=black): y_axis:=implicitplot(x=0,x=-0.1.0.1,y=-0.1.2.2,thickness=3,scaling=constrained,color=black):display(quxian,x_axis,y_axis);(1/2, 2)(2, 2)22221xxdxdyy276422Dxdxdyy122DxdxdyyEvaluate two integrals1yx2y yx2D1D1212222Dxdxdyy2121122xxdxdy

6、yIf type I22Dxdxdyy1yx2y yx22121yyxdydxyType II121xyxy27641322113yyxdyy25111()3ydyyIn this case, easier21202yxdxe dyChange the order of integrationSketch the region of integration, then Write an equivalent with the order of Integration reversed. 22200yydye dx224220011|244yyyee dye例例 改變積分改變積分 xdyyxfd

7、x1010),(的積分次序的積分次序. 解解1100( , )xdxf x y dy1yx X型區(qū)域型區(qū)域DDY型區(qū)域型區(qū)域1100( , )ydyf x y dx1xy Sketch the region of integration D將將D視為另視為另一類型的一類型的區(qū)域區(qū)域重新定限重新定限100( , )ydyf x y dx改變積分次序：改變積分次序：2210( , )ydyf x y dx1D01y0 xy2:D12y02xy2D12xyxy1:D1201D2D12xyxy1202yxyx1120DY型區(qū)域型區(qū)域X型區(qū)域型區(qū)域2( , )xxf x y dy原積分原積分合并合并10

8、dx21202yxdxe dy計算二次積分計算二次積分解解若先積分若先積分222yxe dy則則“積不出積不出”原函數不是初等函數原函數不是初等函數常見的常見的“積不出積不出”的積分：的積分：2xe dx2xedxsin xdxx2sin x dx2cosx dx1lndxxxedxx在二重積分中在二重積分中不要先去碰這不要先去碰這些積分些積分21202yxdxe dy怎么辦？怎么辦？改變積分次序，避開這個改變積分次序，避開這個“積不出積不出”的積分的積分21202yxdxe dy2yx2y 12yx 2X型型Y型型22200yydye dx22200yye dydx22012yye dy22

9、2014ye dy41(1)4e這下好辦了！這下好辦了！視為常數！視為常數！baab22ybx22yax例例1D2D3D( , )Df x y dxdy1( , )Df x y dxdy2( , )Df x y dxdy3( , )Df x y dxdy220abxbdxfdy2222abxaaxdxfdy220bbxadxfdy圓環(huán)區(qū)域用圓環(huán)區(qū)域用直角坐標定直角坐標定限十分復雜限十分復雜EndX型型&Y型型X型，非型，非Y型型非非X型，非型，非Y型型D1D2D3D4D劃分為若干劃分為若干X型區(qū)域型區(qū)域(1) X型區(qū)域上的二重積分型區(qū)域上的二重積分( , )0zf x y( , )x

10、yD:D,axb12( )( )xyxX型區(qū)域型區(qū)域求二重積分求二重積分( , )Df x y dxdyabD2( )yx1( )yx(2) Y型區(qū)域上的二重積分型區(qū)域上的二重積分( , )0zf x y( , )x yD:D,cyd12( )( )yxyY型區(qū)域型區(qū)域求二重積分求二重積分( , )Df x y dxdycd1( )xy2( )xyD( , )zf x y21( )( )( )( , )yyA yf x y dxyyycd2( )xy1( )xyx( , )zf x y2( )y1( )yy 視為常數視為常數21( )( )( )( , )yyA yf x y dxyy()cy

11、d( , )Df x y dxdyV( ) dcA y dy21( )( )( , ) dycyf x y dx dy 21( )( )( , )dycydyf x y dx二次積分二次積分21( )( )( )( , )yyA yf x y dx積分次序：先積分次序：先 x 后后 y21( )( )( , )dycydyf x y dx( , )Df x y dxdy視視為為常常數數cd1( )xy2( )xy積分次序：積分次序：先先 x 后后 y 21( )( )( , )dycydyf x y dx( , )Df x y dxdycd1( )xy2( )xy第一次積分中，第一次積分中，將

12、將 y 視為常數，視為常數，對對 x 積分積分（偏積分）（偏積分）矩形區(qū)域矩形區(qū)域abcdD( , )|, Dx y a x b c y d ( , )Df x y dxdy( , )Df x y dxdy先先 y 后后 x先先 x 后后 y(3) 矩形區(qū)域上的二重積分矩形區(qū)域上的二重積分( , )bdacdxf x y dy( , )dbcadyf x y dxFubinis Theoremabx( , )Df x y dxdy( , )bdacdxf x y dyFubinis Theoremcd特別地，如果特別地，如果( )( )dbcag y dyh x dx( , )( ) ( )f

13、 x yg y h xabcdD即分別計算兩個定積分，再相乘即分別計算兩個定積分，再相乘( ) ( )Dg y h x dxdy（3）定限：確定兩次定積分的上限和下限， 將二重積分化為二次積分；計算二重積分的步驟計算二重積分的步驟（1）作圖：作圖：作出積分區(qū)域作出積分區(qū)域 D 的圖形；的圖形；（2）確定積分次序：確定積分次序：根據根據 D 的類型，的類型， 選擇方便、可行的積分次序：選擇方便、可行的積分次序：X型：先型：先 y 后后 xY型：先型：先 x 后后 yX型型&Y型：選擇方便、可行的次序型：選擇方便、可行的次序（4）計算：計算：計算二次積分。計算二次積分。222023x yx

14、yExampleFind2(26)Dxxy dxdy: 14 , 02Dxy 解解 利用公式利用公式2(26)Dxxy dxdy42DO1421(412 )xx dx17442210(26)dxxxy dy第一次積分中，第一次積分中，將將 x 視為常數，視為常數，對對 y 積分積分41dx3241233xx y另解另解解解 2(26)Dxxy dxdy42DO120(4245 )y dy17424201(26)dyxxy dx第一次積分中，第一次積分中，將將 y 視為常數，視為常數，對對 x 積分積分20dy視視D為為Y型區(qū)域：先型區(qū)域：先 x 后后 y例例 2 2. .2 2 求求 Ddxd

15、yyx)(2，其其中中D是是由由拋拋物物線線2xy 和和2yx 所所圍圍平平面面閉閉區(qū)區(qū)域域. 解解兩兩曲曲線線的的交交點點),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy Ddxdyyx)(222()xxxy dy2xy 2yx X型區(qū)域型區(qū)域yx10dx22()xxxy dydxxxxxx)(21)(42102 .14033 10dx22212xxx yy10 dx另解另解 Ddxdyyx)(222()yyxy dx3162201()()3yyyyy dy.14033 2xy 2yx Y型區(qū)域型區(qū)域2313yyxxy將將D視為視為Y型區(qū)域：型區(qū)域：xy10dy10 dy例例計算計算Dxyd

16、xdy解解2126yxyx24作圖作圖( 1, 2) (5,4)求交點：求交點：D226yx1yxDxydxdy24D226yx1yx 宜按宜按Y型區(qū)域定限型區(qū)域定限1xy2132xy241232yydyxydx242123212yyx ydy242221(1)(3) 22yy ydy36.改變積分次序改變積分次序將已知二次積分的積分次序將已知二次積分的積分次序改變成另一積分次序改變成另一積分次序Reversing the order of integration改變積分次序的步驟改變積分次序的步驟 根據所給的二次積分上、下限畫根據所給的二次積分上、下限畫出積分區(qū)域出積分區(qū)域 D 的圖形的圖形

17、；2. 將將 D 視為另一類型的區(qū)域，重視為另一類型的區(qū)域，重新定限新定限例例 改變積分改變積分 xdyyxfdx1010),(的積分次序的積分次序. 解解1100( , )xdxf x y dy1yx X型區(qū)域型區(qū)域DDY型區(qū)域型區(qū)域1100( , )ydyf x y dx1xy 根據所給的二根據所給的二次積分上下限次積分上下限畫出積分區(qū)域畫出積分區(qū)域D的圖形的圖形將將D視為另視為另一類型的一類型的區(qū)域區(qū)域重新定限重新定限100( , )ydyf x y dx改變積分次序：改變積分次序：2210( , )ydyf x y dx1D01y0 xy2:D12y02xy2D12xyxy1:D120

18、1D2D12xyxy1202yxyx1120DY型區(qū)域型區(qū)域X型區(qū)域型區(qū)域2( , )xxf x y dy原積分原積分合并合并10dx21202yxdxe dy計算二次積分計算二次積分解解若先積分若先積分222yxe dy則則“積不出積不出”原函數不是初等函數原函數不是初等函數常見的常見的“積不出積不出”的積分：的積分：2xe dx2xedxsin xdxx2sin x dx2cosx dx1lndxxxedxx在二重積分中在二重積分中不要先去碰這不要先去碰這些積分些積分21202yxdxe dy怎么辦？怎么辦？改變積分次序，避開這個改變積分次序，避開這個“積不出積不出”的積分的積分21202

19、yxdxe dy2yx2y 12yx 2X型型Y型型22200yydye dx22200yye dydx22012yye dy222014ye dy41(1)4e這下好辦了！這下好辦了！視為常數！視為常數！baab22ybx22yax例例1D2D3D( , )Df x y dxdy1( , )Df x y dxdy2( , )Df x y dxdy3( , )Df x y dxdy220abxbdxfdy2222abxaaxdxfdy220bbxadxfdy圓環(huán)區(qū)域用圓環(huán)區(qū)域用直角坐標定直角坐標定限十分復雜限十分復雜利用積分區(qū)域的對稱性和被積函數的奇偶性計算二重積分回憶：回憶：00, if (

20、 ) is odd ( ) 2( ), if ( ) is even aaaf xf x dxf x dxf x120AA1212AAA1A2Aaa1A2Aaa二重積分有類似的結論二重積分有類似的結論( , )Df x y dxdy若若D關于關于 y 軸軸 (x = 0) 對稱對稱當當 f(x, y) 關于關于 x 為奇函數為奇函數當當 f(x, y) 關于關于 x 為偶函數為偶函數 022( , )Df x y dxdy(, )( , )fx yf x y (, )( , )fx yf x yf(x, y) 關于關于 x 為奇函數：為奇函數：f(x, y) 關于關于 x 為偶函數：為偶函數：

21、( , )|02Dx yD xD2D則則( , )Df x y dxdy若若D關于關于 x 軸軸 (y = 0) 對稱對稱當當 f(x,y) 關于關于 y 為奇函數為奇函數當當 f(x, y) 關于關于 y 為偶函數為偶函數 022( , )Df x y dxdy( ,)( , )f xyf x y ( ,)( , )f xyf x yf(x, y) 關于關于 y 為奇函數：為奇函數：f(x, y) 關于關于 y 為偶函數：為偶函數：( , )|02Dx yD yD2D則則( , )Df x y dxdy若若D關于關于 x 軸軸 和和 y 軸都對稱軸都對稱且且 f(x, y) 關于關于 x 和和 y 均為偶函數均為偶函數( ,