分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

1、分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用李煥煥合肥市永和學(xué)校 398179292qq 摘 要：在解數(shù)學(xué)問題時(shí)，應(yīng)用分類討論思想，通過正確分類，可以使復(fù)雜的問題得到清晰，完整，嚴(yán)密的解答 關(guān)鍵詞：分類討論思想；初中數(shù)學(xué)；正確分類；解題；應(yīng)用 Abstract: In solutions mathematics problem Shi, application classification discussion thought, through correctly classification, can makes complex of problem get clear, full, closely

2、of answers. 引 言:數(shù)學(xué)思想方法是人們對數(shù)學(xué)理論和內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識，是數(shù)學(xué)的精髓和靈魂，因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透是極其重要的。初中數(shù)學(xué)中常見的思想方法有函數(shù)與方程的思想方法，化歸轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法，分類討論的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想方法，整體的思想方法等。、分類討論思想1. 含義及意義在研究和解答某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，會遇到許多種不同的情況，有些問題無法用同一種形式解決，有些問題的結(jié)論不是唯一確定的。因此，我們需要把所要研究的問題根據(jù)題目的特點(diǎn)和要求，選定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，將其劃分成幾個(gè)能用不同形式解決的小問題，然后再將這些小問題一一解決，最后綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問題的答案。這就是

3、我們常說的分類討論法，而運(yùn)用這種方法的思想就是分類討論思想。分類討論思想，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種邏輯方法，同時(shí)又是一種重要的解題策略分類討論思想具有較高的邏輯性及很強(qiáng)的綜合性，有利于提高學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性，縝密性，科學(xué)性，所以在數(shù)學(xué)解題中占有重要的位置2. 分類討論的要求、原那么及其意義分類討論的要求：正確應(yīng)用分類討論思想，是完整解題的根底應(yīng)用分類討論思想解決問題，必須保證分類科學(xué)，統(tǒng)一，不重復(fù)，不遺漏，在此根底上減少分類，簡化分類討論過程 為了分類的正確性，分類討論必需遵循一定的原那么進(jìn)行，在初中階段，我們經(jīng)常用到的有以下四大原那么: 1同一性原那么 分類應(yīng)按

4、照同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行，即每次分類不能同時(shí)使用幾個(gè)不同的分類根據(jù)2 互斥性原那么 分類后的每個(gè)子項(xiàng)應(yīng)當(dāng)互不相容，即做到各個(gè)子項(xiàng)相互排斥，分類后不能有些元素既屬于這個(gè)子項(xiàng)，又屬于另一個(gè)子項(xiàng) 3相稱性原那么 分類應(yīng)當(dāng)相稱，即劃分后子項(xiàng)外延的總和并集，應(yīng)當(dāng)與母項(xiàng)的外延相等4層次性原那么 分類有一次分類和屢次分類之分，一次分類是對被討論對象只分類一次；屢次分類是把分類后的所有的子項(xiàng)作為母項(xiàng)，再次進(jìn)行分類，直到滿足需要為止分類討論的意義：在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，對于因?yàn)榇嬖谝恍┎淮_定因素?zé)o法解答或者結(jié)論不能給予統(tǒng)一表述的數(shù)學(xué)問題，我們往往將問題按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)劃分為假設(shè)干類或假設(shè)干個(gè)局部問題來解決，通過正確的分類，能夠克服

5、思維的片面性，可以使復(fù)雜的問題得到清晰，完整，嚴(yán)密的解答。3. 優(yōu)勢及劣勢運(yùn)用分類討論思想解題的優(yōu)勢是可將復(fù)雜的問題分解成假設(shè)干個(gè)簡單的問題，便于解答；恰當(dāng)?shù)姆诸愑懻摽煞乐箒G值漏解，從而提高全面考慮問題的能力，養(yǎng)成周密嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)教養(yǎng)。運(yùn)用分類討論思想解題的劣勢是容易將一些問題的解答變得繁瑣，消耗大量的時(shí)間；容易形成一種思維定勢，不易于培養(yǎng)創(chuàng)新、有效的解題能力。二、運(yùn)用分類討論思想解題正確運(yùn)用分類討論思想，是完整解題的根底。但運(yùn)用分類討論思想解決問題，必須遵循一定的原那么，明確如何進(jìn)行分類，知道引起分類討論的原因，明白解題的一般步驟，才能保證解答的正確性。運(yùn)用分類討論思想解題的原那么主要表達(dá)在如

6、何進(jìn)行分類上。在對分類對象進(jìn)行劃分時(shí)，我們應(yīng)該遵循以下四個(gè)原那么：劃分應(yīng)是相稱的，劃分后子項(xiàng)的總和應(yīng)與母項(xiàng)相等；劃分標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，對分類的對象應(yīng)按照統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行劃分，不能同時(shí)用幾種依據(jù)去劃分；劃分的子項(xiàng)必須相互排斥，進(jìn)行分類后，有些元素不能既屬于這個(gè)子項(xiàng)，又屬于另一個(gè)子項(xiàng)；劃分不能越級，要按層次一級一級進(jìn)行分類。運(yùn)用分類討論思想解題，必須明白解題的一般步驟。首先，明確是否需要分類；然后確定分類討論的對象；接著，進(jìn)行合理的分類；逐步逐級分類討論，得到階段性成果；最后，歸納總結(jié)，綜合得出結(jié)論。3 分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用1. 分類討論思想在運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、定義題中的應(yīng)用有些數(shù)學(xué)定義、數(shù)學(xué)概

7、念是分類給出的，如絕對值、圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的概念等。例1、假設(shè)，求的值。4 分析：這道題考查學(xué)生對絕對值定義的掌握、運(yùn)用情況。由于絕對值的定義是分類給出的， 所以a,b分別有兩個(gè)值，這個(gè)時(shí)候，求a+b的值就需要進(jìn)行分類討論。解：因?yàn)?所以 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，2. 分類討論思想在運(yùn)算性質(zhì)、運(yùn)算要求限制下的應(yīng)用在解題過程中，往往將式子變形或轉(zhuǎn)化為另外一個(gè)式子來進(jìn)行解題和運(yùn)算，很多變形和運(yùn)算是受條件限制的。 例2、甲數(shù)的絕對值是乙數(shù)絕對值的3倍，且在數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)的兩側(cè)，兩點(diǎn)之間的距離為8，求這兩個(gè)數(shù)；假設(shè)數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)同側(cè)呢？2 分析：從題目中尋找關(guān)鍵

8、的解題信息，“數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)的兩側(cè)意味著甲乙兩數(shù)符號相反，即一正一負(fù)。那么究竟誰是正數(shù)誰是負(fù)數(shù)，我們應(yīng)該用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決這一問題。解：設(shè)甲數(shù)為x，乙數(shù)為y由題意得： ， 1數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)兩側(cè)：假設(shè)x在原點(diǎn)左側(cè)，y在原點(diǎn)右側(cè)，即 x<0，y>0，那么 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6假設(shè)x在原點(diǎn)右側(cè)，y在原點(diǎn)左側(cè)，即 x>0，y<0，那么 -4y=8 ，所以y=-2,x=6 2數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)同側(cè)：假設(shè)x、y在原點(diǎn)左側(cè)，即 x<0，y<0，那么 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12假設(shè)x、y在原點(diǎn)右側(cè)，即

9、x>0，y>0，那么 2y=8 ，所以y=4,x=123. 分類討論思想在數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)、公式限制下的應(yīng)用有些定理或公式本身具有限制條件。如，有些函數(shù)的單調(diào)性具有增減兩種可能，遇到時(shí)就要進(jìn)行分類討論。例3. 函救ym-1x2m-2x1m是實(shí)數(shù)。如果函數(shù)的圖象和x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求m的值。4分析：這里從函數(shù)分類的角度討論，分 m1=0 和 m10 兩種情況來研究解決問題。解：當(dāng)ml 時(shí)函數(shù)就是一個(gè)一次函數(shù)yx1，它與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)-1，0。當(dāng) m-10時(shí)，函數(shù)就是一個(gè)二次函數(shù)ym1x2m2x1當(dāng)m22+4m1=0，得 m=0。拋物線 y=x22x1，的頂點(diǎn)1，0在x軸上。4. 分類

10、討論思想在參數(shù)不確定的題中的應(yīng)用有時(shí)方程、不等式、函數(shù)式中所含參數(shù)取不同的值時(shí)，會導(dǎo)致結(jié)果不同，因此需要進(jìn)行分類討論。例4、。7分析：這是一個(gè)含參數(shù)a的不等式，它不一定是一個(gè)二次不等式，故首先對二次項(xiàng)系數(shù)a分類：1a0，2a=0，對于2，不等式易解；對于1，又需再次分類：a>0或a<0，因?yàn)樵谶@兩種情形下，不等式的解集形式是不同的，不等式的解集可能是在兩根之外，也可能是在兩根之間。當(dāng)確定這一點(diǎn)后，又會遇到1與-1誰大誰小的問題，因而又需作一次分類討論。故解題時(shí)，需要作三級分類。 解： 綜上所述，得原不等式的解集為；例5、關(guān)于的函數(shù)的圖像與軸總有交點(diǎn)，求的取值范圍。8分析：函數(shù)中最高

11、項(xiàng)的系數(shù)是含字母的不確定代數(shù)式，所以它的取值有多種可能性，這時(shí)我們就需要進(jìn)行分類討論。題目說函數(shù)圖象與軸總有交點(diǎn)，并沒有說明有幾個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)有可能是一次函數(shù)，有可能是二次函數(shù)。所以未知數(shù)最高項(xiàng)的系數(shù)要分類討論。解：1當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)為一次函數(shù)，圖像與軸有一個(gè)交點(diǎn)； 2當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)為二次函數(shù)， ，解得，所以當(dāng) 且時(shí)，函數(shù)圖像與軸有交點(diǎn)綜合12，當(dāng)時(shí)，圖像與軸總有交點(diǎn)。5. 分類討論思想在圖形不確定的題中的應(yīng)用由于題目未明確給出圖形的所有元素，所以會導(dǎo)致圖形不確定，引起分類討論。例6、如果三角形的兩邊長分別是23cm和10cm，第三邊的長與其中一邊的長度相等，那么第三邊的長是多少？9 分析：由

12、于題中所求的第三邊與其中一邊相等, 但是不明確具體是與哪條邊相等，因此需分兩種情況討論。假設(shè)不作兩種情況的分類討論，可能會出現(xiàn)漏解或錯(cuò)解。 解：1當(dāng)?shù)谌叺拈L為 23cm 時(shí)，其三邊長分別為23cm、23cm、10cm,它們滿足三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊。因此，這三邊能構(gòu)成三角形，所以第三邊的長為23cm； 2當(dāng)?shù)谌叺拈L為10cm時(shí)，其三邊長分別為10cm、10cm、23cm。因?yàn)?，所以它不能?gòu)成三角形，故第三邊長不能為 10cm。綜上所述，第三邊的長為 23cm。 例7. 兩圓的半徑分別是5cm和4cm，公共弦長為6cm，那么這兩圓的圓心距為 。分析：由圓的對稱性，兩圓的公共弦可在

13、兩圓心之間，也可以在兩圓心同旁。答案：4+根號7和4-根號76. 分類討論思想在排列組合問題中的應(yīng)用分類討論思想在排列組合問題中的應(yīng)用也比較常見，尤其是解含有約束條件的排列組合問題時(shí)，運(yùn)用分類討論的方法可以把復(fù)雜的問題簡單化。例8、在正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中，12條棱的中點(diǎn)，6個(gè)面的中心及正方體的中心共27個(gè)點(diǎn)中，共線的三點(diǎn)組的個(gè)數(shù)是多少？9解：依題意，共線的三點(diǎn)組可以分為三類：1兩端點(diǎn)皆為頂點(diǎn)的共線三點(diǎn)組，共有個(gè)；2兩端點(diǎn)皆為面的中心的共線三點(diǎn)組，共有個(gè)；3兩端點(diǎn)皆為各棱中點(diǎn)的共線三點(diǎn)組，共有個(gè)； 所以總共有個(gè)。7. 分類討論思想在實(shí)際問題中的應(yīng)用近幾年來，考試命題中出現(xiàn)了大量的實(shí)際應(yīng)用題。這種應(yīng)

14、用題，往往需要運(yùn)用分類討論思想才能順利解決。例9、某超市春節(jié)期間舉行促銷優(yōu)惠活動，方案一：憑50元錢購置會員卡，憑會員卡購置超市內(nèi)商品享受八折優(yōu)惠；方案二：假設(shè)不購置會員，那么購置超市內(nèi)商品只能享受九折優(yōu)惠。1假設(shè)按照方案一購置商品應(yīng)付款額為y1元，假設(shè)按照方案二購置商品應(yīng)付款額為y2元，購置商品的價(jià)格為x元，請用含有x的代數(shù)式表示y1和y2；2購置商品的價(jià)格在什么范圍內(nèi)，如何選擇購置方案更劃算？8解：1y1=50+0.8x，y2=0.9x。 2當(dāng)y1y2時(shí)，50+0.8x0.9x，解得x500；當(dāng)y1=y2時(shí)，50+0.8x=0.9x，解得x=500；當(dāng)當(dāng)y1y2時(shí)，50+0.8x0.9x，

15、解得x500；所以當(dāng)購置商品的價(jià)格小于500元時(shí)，選擇方案二更劃算，當(dāng)購置商品的價(jià)格等于500元時(shí)，選擇兩種方案一樣劃算，當(dāng)購置商品的價(jià)格大于500元時(shí)，選擇方案一更劃算。四 、如何簡化分類討論 分類討論是一種重要的解題策略，但他不是萬能的，不是唯一的，對于分類討論的問題，在熟悉和掌握分類討論的同時(shí)，要注意克服盲目討論的思維定勢，要認(rèn)真審查題目的特點(diǎn)，充分挖掘題中潛在的特殊性和簡單性，盡可能防止分類討論，簡化分類討論過程，從而提高分類討論的效果五、 總結(jié) 通過以上的例子，可以發(fā)現(xiàn)分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用是非常廣泛的。通過探討分類討論思想在初中數(shù)學(xué)中集合，

16、函數(shù)，不等式，排列組合等中的應(yīng)用，我們應(yīng)用正確的分類討論思想，對不同情況進(jìn)行分類研究，使問題化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整，從而使復(fù)雜的問題得到清晰，完整，嚴(yán)密的解答它能使許多看似復(fù)雜的問題簡單化，也能全面地解答一個(gè)問題。在使用分類討論思想解題時(shí)，首先需要明白為何要進(jìn)行分類討論，再者要遵循一定的原那么，合理分類，對全體對象的分類要按照同一標(biāo)準(zhǔn)，做到不重不漏。但是在解題過程中，不能盲目或機(jī)械地進(jìn)行分類討論。有的題目雖然含有分類因素，但對問題作深入研究，會發(fā)現(xiàn)題目中各定量或變量存在一定的關(guān)系。因此，對于需要分類討論的問題，在熟悉和掌握分類討論思想的同時(shí)，要注意克服盲目討論的思維定勢，認(rèn)真審查題目的特點(diǎn)，充分挖掘題中潛在的特殊性和簡單性，盡可能防止分類討論，簡化分類討論過程，使解題更簡單、更輕松。參考文獻(xiàn)： 1 皇甫月紅.淺談初中數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)J.課程教育研究，2021(33). 2 陳新娟.分類討論思想在解題中的應(yīng)用J.考試周刊，2021(17)：111-112.3 楊朗兵.