初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)之不等關(guān)系

1、初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料不等關(guān)系內(nèi)容提要1. 不等式三個(gè)基本性質(zhì)： 不等式兩邊都加上(或減去)同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變。 不等式兩邊都乘(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變。 不等式兩邊都乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變。2. 一元一次不等式組的解集：幾個(gè)一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的一元一次不等式組的解集。 設(shè)a>b,不等式組的解集是x>a 的解集是x<b的解集是 b<x<a 的解集是空集3. 幾何中證明線段或角的不等關(guān)系常用以下定理 三角形任意邊兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊。 三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰

2、的兩個(gè)內(nèi)角和。 在一個(gè)三角形中，大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊。直角三角形中，斜邊大于任一直角邊。 有兩組邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形中 如果這兩邊的夾角大，那么第三邊也大；如果第三邊大，那么它所對(duì)的角也大。任意多邊形的每一邊都小于其他各邊的和例題例1. 已知：x2，求下列代數(shù)式的取值范圍：73x,解：x2，兩邊乘以3，得3x6兩邊加上7，得73x7673x1設(shè)y, x+1=xy, (y1)x=1x=2，在兩邊乘以y1時(shí)，根據(jù)不等式基本性質(zhì)2和3，得不等式組：或或y1.5或y<1即1.5或1例2.設(shè)實(shí)數(shù)a,b滿足不等式，試決定a,b的符號(hào)。(1995年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)解：不等式兩邊都是非負(fù)數(shù)，兩邊

3、平方不等號(hào)方向不變兩邊平方得，a22(a+b)+(a+b)2<a22a(a+b)+(a+b)2化簡(jiǎn)，得（a+b）>a， 可知a0，a+b0兩邊除以得，a+b>顯然不等式要成立，只有， 故a<0由此得a+b>， 顯然只有a+b>0,又a<0, 故b>0a,b的符號(hào)是：a<0, b>0例3.已知：O是ABC內(nèi)的一點(diǎn)求證：1分析：本題實(shí)質(zhì)是要證明2（OAOAOC）ABBCCA且OAOBOCABBCCA證明：OAOBABOBOCBCOCOACA2（OAOBOC）ABBCCA延長(zhǎng)BO交AC于D，ABADOBOD，ODDCOCABACOBOC，同

4、理ABBCOAOC，BCCAOAOB即2（ABBCCA）2（OAOBOC）1例4.求證直角三角形兩條直角邊的和，小于斜邊與斜邊上的高的和已知：ABC中，ACBRt，CDAB于D求證：CACBABCD證明：設(shè)CDh,a,b,c是A，B，C的對(duì)邊根據(jù)勾股定理，a2+b2=c2,a2+b2c2h2 根據(jù)三角形面積公式ab=ch 2ab2ch ：（a+b）2<(c+h)2 a+b>0, c+h>0 a+b<c+h 又證明：（用求差法）假設(shè)同上 由ab=ch,得 h= (a+b)(c+h)=a+b c c>0, ac<0, cb>0 (直角三角形中斜邊大于任一直

5、角邊) (a+b)(c+h)0 (a+b)(c+h) 再證明：學(xué)完四點(diǎn)共圓后，可證CACDABCB在AB上截取BEBC，在AC上取CFCD，兩等腰BCE和CDF頂角B=DCF底角21四邊形CDEF是圓內(nèi)接四邊形EFACDERtAF<AE ，即AFCF<ABBE ， ACCD<ABCBCACBABCD例5.已知：ABC中，D，E分別在BC，AC上，B12如果ABC，ADC，EBD的周長(zhǎng)依次為m,n,p求證：（1989年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）證明：設(shè)BCa，ACb，ABc12，DEAC，ABCEBDDAC，即DCBDBCDCa=，例6.已知：ABC中，ABAC，D是三角形內(nèi)的一點(diǎn)，

6、ADBADC求證：DBCDCB分析：為使已知條件ADBADC集中在一起，把ABD繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使AB和AC重合，即作ABD的全等三角形ACE證明：作CAEABD，使AEAD，連結(jié)CE，DE那么ACEABD，ACEBD，ACEADBADCADEAED，DECEDC，DEDCCE，即DCBDDBCDCBBC練習(xí)371. 已知a，那么96a的值是2. 已知b= , 當(dāng)a3時(shí)，b的取值范圍是3. 已知a<0,且 則x的取值范圍是（1991泉州市初中數(shù)學(xué)雙基賽題）4.四邊形ABCD中，AB=2，BC=4，CD=7，則AD的適合范圍是5.等邊ABC的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)P是三角形內(nèi)一點(diǎn)求證1.5PAPBPC

7、2（1989年泉州市初二數(shù)學(xué)雙基賽題）6.已知梯形ABCD中，ABCD，AD>BC， 求證 A<B7.已知ABC中，三條角平分線AD，BE，CF相交于一點(diǎn)O，作OHBC于H， 求證 COH>CAO8.已知：AD，BE，CF三條高相交于一點(diǎn)H，求證：9.已知：ABC中，A>90，AB<AC，邊AB，AC的中垂線，分別交BC于D和E求證：BD<CE10四邊形ABCD中，AB=CD，C>B，則A>D11.在ABC中， 若AD是中線，則DAC>DAB 若AD是角平分線，則AB+CD>AC+BD12.已知：ABC 中AB=AC，點(diǎn)這點(diǎn)P是三角形

8、內(nèi)的一點(diǎn)，PBC>PCB求證：PAB<PAC APB>APC13.已知：ABC中M是BC的中點(diǎn)，D，E分別在AB，AC上，DME=Rt 求證 ：BD+CEDE14.ABC中，AC2AB，則B>2C15.已知：正有理數(shù)a1是.的一個(gè)近似值，設(shè)a2=1+ 求證 ：介于a1和a2之間提示：設(shè)> a1證<a2 ； 再設(shè)>a2證<a11. 兩邊乘以6，再加上9得96a12. 仿例1，a<13. x>-2 4. 1<AD<135. 由PA+PB>AB,PB+PC>BC,PC+PA>AC得PAPBPC1.5過(guò)點(diǎn)P作EFBC，AEPAFPAPE，PAAEPBBEEP，