第3講-主應(yīng)力及主切應(yīng)力

1、金屬塑性變形理論Theory of metal plastic deformation 第五講第五講Lesson Five張貴杰張貴杰Zhang GuijieTel-Mail： 河北理工大學(xué)金屬材料與加工工程系Department of Metal Material and Process EngineeringHebei Polytechnic University, Tangshan 0630092022-3-82第十章 應(yīng)力狀態(tài)分析主要內(nèi)容Main Contento 應(yīng)力狀態(tài)基本概念應(yīng)力狀態(tài)基本概念 o 斜面上任一點應(yīng)力狀態(tài)分析斜面上任一點應(yīng)力狀態(tài)分析 o 求

2、和約定和應(yīng)力張量求和約定和應(yīng)力張量 o 主應(yīng)力及主切應(yīng)力主應(yīng)力及主切應(yīng)力 o 球應(yīng)力及偏差應(yīng)力球應(yīng)力及偏差應(yīng)力 2022-3-8310.4 主應(yīng)力及主切應(yīng)力主應(yīng)力及主切應(yīng)力o10.4.1 主應(yīng)力的概念主應(yīng)力的概念o 通過坐標變換可以找到只有正應(yīng)力的通過坐標變換可以找到只有正應(yīng)力的坐標面，此坐標軸稱為主軸，此應(yīng)力坐標面，此坐標軸稱為主軸，此應(yīng)力稱為稱為主應(yīng)力主應(yīng)力，該坐標面為，該坐標面為主平面主平面。 2022-3-842022-3-852022-3-86主應(yīng)力的求解主應(yīng)力的求解o 如果取微分面如果取微分面ABC為主為主微分面，即該微分面上微分面，即該微分面上只有主應(yīng)力而沒有切應(yīng)只有主應(yīng)力而沒有

3、切應(yīng)力。這時，作用在此面力。這時，作用在此面上的全應(yīng)力就是主應(yīng)力。上的全應(yīng)力就是主應(yīng)力。用用 表示主應(yīng)力，則它表示主應(yīng)力，則它在各坐標軸上的投影為在各坐標軸上的投影為 nSmSlSnznynx2022-3-87o 代入到斜面應(yīng)力方程中有代入到斜面應(yīng)力方程中有nmlnSnmlmSnmllSzyzxznzzyyxynyzxyxxnx 000nmlnmlnmlzyzxzzyyxyzxyxx整理后可得整理后可得又有又有1222nml（*）（*）2022-3-88o 由上面四個方程可求出主應(yīng)力由上面四個方程可求出主應(yīng)力 及其方向余及其方向余弦弦l、m、n。顯然，前三個方程構(gòu)成一個齊。顯然，前三個方程構(gòu)成

4、一個齊次方程組，顯然不能有次方程組，顯然不能有l(wèi) = m = n = 0這樣的這樣的解。如要方程組有其他解時，必須取該方程解。如要方程組有其他解時，必須取該方程組的系數(shù)行列式為零，即組的系數(shù)行列式為零，即 0zyzxzzyyxyzxyxx2022-3-89o 展開此行列式，得展開此行列式，得2)(zyx3)(1zyxI )(222zxyzxyxzzyyx02222xyzzxyyzxzxyzxyzyx令令)(2222zxyzxyxzzyyxI22232xyzzxyyzxzxyzxyzyxI則有則有032213III2022-3-810o 三次方程式稱為三次方程式稱為應(yīng)力狀態(tài)特征方程應(yīng)力狀態(tài)特征方

5、程。此方程。此方程的三個根就是三個主應(yīng)力，而這三個主應(yīng)力的三個根就是三個主應(yīng)力，而這三個主應(yīng)力均為實根。由因式分解可知均為實根。由因式分解可知 0321 032113322123213由代數(shù)學(xué)可知，具有相同的根的方程是全等方由代數(shù)學(xué)可知，具有相同的根的方程是全等方程，因此該式與應(yīng)力狀態(tài)特征方程全等。有程，因此該式與應(yīng)力狀態(tài)特征方程全等。有展開后得展開后得2022-3-811應(yīng)力張量不變量應(yīng)力張量不變量zyxI13212222zxyzxyxzzyyxyzzxyyzxzxyzxyzyxI321 對同一點應(yīng)力狀態(tài)，三個主應(yīng)力的數(shù)值是一定的，而對同一點應(yīng)力狀態(tài)，三個主應(yīng)力的數(shù)

6、值是一定的，而與過該點的坐標系的選擇無關(guān)，不管應(yīng)力分量怎樣隨坐與過該點的坐標系的選擇無關(guān)，不管應(yīng)力分量怎樣隨坐標系改變。那么標系改變。那么I1、I2、I3 是不隨坐標系改變的，分別稱是不隨坐標系改變的，分別稱為為一次、二次和三次應(yīng)力常量一次、二次和三次應(yīng)力常量，或稱為，或稱為應(yīng)力張量不變量應(yīng)力張量不變量。2022-3-812主應(yīng)力的特點主應(yīng)力的特點o 三個主應(yīng)力所作用的主微分面是相互垂直的三個主應(yīng)力所作用的主微分面是相互垂直的o 將主應(yīng)力將主應(yīng)力 1代入（代入（*）式中的任何兩個方程，）式中的任何兩個方程，并與（并與（*）式聯(lián)立，可以求解出主應(yīng)力）式聯(lián)立，可以求解出主應(yīng)力 1的的方向余弦方向余

7、弦l1、m1、n1，同理，可以求解出主，同理，可以求解出主應(yīng)力應(yīng)力 2及及 3的方向余弦的方向余弦l2、m2、n2及及l(fā)3、m3、n3 。o 每兩個主應(yīng)力的方向余弦之間滿足以下關(guān)系每兩個主應(yīng)力的方向余弦之間滿足以下關(guān)系0212121nnmml l0323232nnmmll0131313nnmmll2022-3-813o 三個主應(yīng)力均為實根三個主應(yīng)力均為實根 o 主應(yīng)力具有極值性質(zhì)主應(yīng)力具有極值性質(zhì)o 三個主應(yīng)力中的最大值賦給三個主應(yīng)力中的最大值賦給 1，最小值賦給，最小值賦給 3，并按大小順序排列，并按大小順序排列 1 2 3，則過該，則過該點任意微分斜面上的正應(yīng)力中，點任意微分斜面上的正應(yīng)力

8、中， 1為最大值，為最大值， 3為最小值。為最小值。 2022-3-814主坐標系主坐標系o 因為三個主應(yīng)力兩兩相互垂直，若取坐標軸因為三個主應(yīng)力兩兩相互垂直，若取坐標軸與主應(yīng)力方向一致，則構(gòu)成與主應(yīng)力方向一致，則構(gòu)成主坐標系主坐標系，其坐，其坐標軸稱為標軸稱為主軸主軸。 2 12(y)3(z)1(x) 32022-3-815o 在主坐標系下斜面上的應(yīng)力為在主坐標系下斜面上的應(yīng)力為nnmlSmnmlSlnmlSnnn333222111000000nmlSSSnnn321321000000或或232221nmln正應(yīng)力正應(yīng)力321000000T為主應(yīng)力張量為主應(yīng)力張量2022-3-81610.4

9、.2 主切應(yīng)力和最大切應(yīng)力主切應(yīng)力和最大切應(yīng)力 o 主切應(yīng)力主切應(yīng)力o 任意微分斜面上的切應(yīng)力也有極大值和最大值。任意微分斜面上的切應(yīng)力也有極大值和最大值。極值切應(yīng)力又稱為主切應(yīng)力。極值切應(yīng)力又稱為主切應(yīng)力。 o 在主坐標系下，任意微分斜面上的切應(yīng)力在主坐標系下，任意微分斜面上的切應(yīng)力o 上式中消去上式中消去n，得到，得到 n與與l、m的函數(shù)關(guān)系的函數(shù)關(guān)系 2221322232222212lnnmmln 2 32322312322322223212 mlmln 2022-3-817o 當微分面轉(zhuǎn)動時，切應(yīng)力隨之變化。我們所求當微分面轉(zhuǎn)動時，切應(yīng)力隨之變化。我們所求的是，當?shù)氖?，當l、m、n為何

10、值時，微分面上的切應(yīng)為何值時，微分面上的切應(yīng)力取極值。由二元函數(shù)力取極值。由二元函數(shù)f(x,y)求極值的方法可求求極值的方法可求得微分面上的切應(yīng)力的極值。得微分面上的切應(yīng)力的極值。 0 2 0 2 32323223123223132322312321mmlmmflmlllf2 32322312322322223212 ),(mlmlmlfn2022-3-818對此方程組求解分不同情況對此方程組求解分不同情況o 當當 1 2 3時，時，1） ，此解指主微分面上切應(yīng)力為零，此解指主微分面上切應(yīng)力為零2） 時，時， 3） 時，時， 4） 時，此種情況不可能成立。時，此種情況不可能成立。 5）若方程中消去若方程中消去m，則有，則有1 , 0nml0 , 0ml21 0 21nml0 , 0ml 21 21 0nml0 , 0ml 0 21 21 nml2022-3-819l0m0n02022-3-820o 當當 1 2 3時，時，則切應(yīng)力在通過該點的任則切應(yīng)力在通過該點的任何微分面上為零。何微分面上為零。o 主切應(yīng)力主切應(yīng)力 o 最大切應(yīng)力最大切應(yīng)力22112232232311323113max2022-3-821l000m000n000切應(yīng)力切應(yīng)