函數(shù)的奇偶性

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上函數(shù)的奇偶性 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解函數(shù)的奇偶性定義；2.會(huì)利用圖象和定義判斷函數(shù)的奇偶性；3.掌握利用函數(shù)性質(zhì)在解決有關(guān)綜合問題方面的應(yīng)用.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、函數(shù)的奇偶性概念及判斷步驟1函數(shù)奇偶性的概念偶函數(shù)：若對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)稱為偶函數(shù).奇函數(shù)：若對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)稱為奇函數(shù).要點(diǎn)詮釋：（1）奇偶性是整體性質(zhì)；（2）x在定義域中，那么-x在定義域中嗎？-具有奇偶性的函數(shù)，其定義域必定是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的；（3）f(-x)=f(x)的等價(jià)形式為：， f(-x)=-f(x)的等

2、價(jià)形式為：；（4）由定義不難得出若一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)且在原點(diǎn)有定義，則必有f(0)=0；（5）若f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則必有f(x)=0.2.奇偶函數(shù)的圖象與性質(zhì)（1）如果一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形；反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù).（2）如果一個(gè)函數(shù)為偶函數(shù)，則它的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù).3.用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟（1）求函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則該函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，若關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則進(jìn)行

3、下一步；（2）結(jié)合函數(shù)的定義域，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式；（3）求，可根據(jù)與之間的關(guān)系，判斷函數(shù)的奇偶性.若=-，則是奇函數(shù)；若=，則是偶函數(shù)；若，則既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；若且=-，則既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)要點(diǎn)二、判斷函數(shù)奇偶性的常用方法（1）定義法：若函數(shù)的定義域不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則立即可判斷該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若函數(shù)的定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，再判斷與之一是否相等.（2）驗(yàn)證法：在判斷與的關(guān)系時(shí)，只需驗(yàn)證=0及是否成立即可.（3）圖象法：奇（偶）函數(shù)等價(jià)于它的圖象關(guān)于原點(diǎn)（軸）對(duì)稱.（4）性質(zhì)法：兩個(gè)奇函數(shù)的和仍為奇函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的和仍為偶函數(shù)；兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)

4、的積是偶函數(shù)；一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積是奇函數(shù).（5）分段函數(shù)奇偶性的判斷判斷分段函數(shù)的奇偶性時(shí)，通常利用定義法判斷.在函數(shù)定義域內(nèi)，對(duì)自變量的不同取值范圍，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)叫做分段函數(shù).分段函數(shù)不是幾個(gè)函數(shù)，而是一個(gè)函數(shù).因此其判斷方法也是先考查函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后判斷與的關(guān)系.首先要特別注意與的范圍，然后將它代入相應(yīng)段的函數(shù)表達(dá)式中，與對(duì)應(yīng)不同的表達(dá)式，而它們的結(jié)果按奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行比較.要點(diǎn)三、關(guān)于函數(shù)奇偶性的常見結(jié)論奇函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間a,b和-b，-a上具有相同的單調(diào)性，即已知是奇函數(shù)，它在區(qū)間a,b上是增函數(shù)（減函數(shù)），則在區(qū)間-b，-a上也是增函數(shù)（

5、減函數(shù)）；偶函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間a,b和-b，-a上具有相反的單調(diào)性，即已知是偶函數(shù)且在區(qū)間a,b上是增函數(shù)（減函數(shù)），則在區(qū)間-b，-a上也是減函數(shù)（增函數(shù)）.【典型例題】類型一、判斷函數(shù)的奇偶性例1. 判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)； (2)f(x)=x2-4|x|+3 ；(3)f(x)=|x+3|-|x-3|； (4)； (5)； (6)【思路點(diǎn)撥】利用函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷.【答案】（1）非奇非偶函數(shù)；（2）偶函數(shù)；（3）奇函數(shù)；（4）奇函數(shù)；（5）奇函數(shù)；（6）奇函數(shù)【解析】(1)f(x)的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此f(x)為非奇非偶函數(shù)； (2)對(duì)任意xR，都有-xR，且f(-x)

6、=x2-4|x|+3=f(x)，則f(x)=x2-4|x|+3為偶函數(shù) ；(3)xR，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，f(x)為奇函數(shù)；(4)，f(x)為奇函數(shù)；(5)xR，f(x)=-x|x|+x f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，f(x)為奇函數(shù)；(6)，f(x)為奇函數(shù).【總結(jié)升華】判定函數(shù)奇偶性容易失誤是由于沒有考慮到函數(shù)的定義域.函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件，因此研究函數(shù)的奇偶性必須“堅(jiān)持定義域優(yōu)先”的原則，即優(yōu)先研究函數(shù)的定義域，否則就會(huì)做無用功.如在本例（4）中若不研究定義域，在去

7、掉的絕對(duì)值符號(hào)時(shí)就十分麻煩.舉一反三：【變式1】判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】（1）奇函數(shù)；（2）偶函數(shù)；（3）非奇非偶函數(shù)；（4）奇函數(shù)【解析】(1)的定義域是，又，是奇函數(shù)（2）的定義域是，又，是偶函數(shù)（3），為非奇非偶函數(shù)（4）任取x0則-x0，f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)任取x0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)x=0時(shí)，f(0)=-f(0) xR時(shí)，f(-x)=-f(x) f(x)為奇函數(shù).【高清課堂：函數(shù)的奇偶性例2（1）】【變式

8、2】已知f(x)，g(x)均為奇函數(shù)，且定義域相同，求證：f(x)+g(x)為奇函數(shù)，f(x)g(x)為偶函數(shù).證明：設(shè)F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)g(x)則F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-f(x)+g(x)=-F(x)G(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)-g(x)=f(x)g(x)=G(x)f(x)+g(x)為奇函數(shù)，f(x)g(x)為偶函數(shù).【高清課堂：函數(shù)的奇偶性例2（2）】【變式3】設(shè)函數(shù)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是 （ ）.A+|g(x)|是偶函數(shù) B-|g(x)|是奇函數(shù)C| +g(x)是偶函數(shù)

9、D|- g(x)是奇函數(shù)【答案】A例2.已知函數(shù)，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)都有，判斷的奇偶性.【答案】奇函數(shù)【解析】因?yàn)閷?duì)于任何實(shí)數(shù)，都有，可以令為某些特殊值，得出.設(shè)則，.又設(shè)，則，是奇函數(shù).【總結(jié)升華】判斷抽象函數(shù)的單調(diào)性，可用特殊值賦值法來求解.在這里，由于需要判斷與之間的關(guān)系，因此需要先求出的值才行.舉一反三：【變式1】 已知函數(shù)，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都有，判斷函數(shù)的奇偶性.【答案】偶函數(shù)【解析】令得，令得由上兩式得：，即是偶函數(shù).類型二、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用(求值，求解析式，與單調(diào)性結(jié)合)例3. f(x)，g(x)均為奇函數(shù)，在上的最大值為5，則在（-）上的最小值為 【答案】 -1【解析】考慮到均為奇

10、函數(shù)，聯(lián)想到奇函數(shù)的定義，不妨尋求與的關(guān)系+= ， 當(dāng)時(shí)， 而， 在上的最小值為-1 【總結(jié)升華】本例很好地利用了奇函數(shù)的定義，其實(shí)如果仔細(xì)觀察還可以發(fā)現(xiàn)也是奇函數(shù)，從這個(gè)思路出發(fā)，也可以很好地解決本題過程如下：時(shí)，的最大值為5，時(shí)的最大值為3，時(shí)的最小值為-3，時(shí)，的最小值為-3+2=-1舉一反三：【變式1】已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).【答案】-26【解析】法一：f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=108a-2b=-50 f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-

11、26法二：令g(x)=f(x)+8易證g(x)為奇函數(shù)g(-2)=-g(2) f(-2)+8=-f(2)-8f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.【總結(jié)升華】本題要會(huì)對(duì)已知式進(jìn)行變形，得出f(x)+8= x5+ax3-bx為奇函數(shù)，這是本題的關(guān)鍵之處，從而問題便能迎刃而解.例4. 已知是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的解析式【答案】【解析】是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)， =又奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義，【總結(jié)升華】若奇函數(shù)在處有意義，則必有，即它的圖象必過原點(diǎn)（0，0）舉一反三：【高清課堂：函數(shù)的奇偶性 例3】【變式1】（1）已知偶函數(shù)的定義域是R，當(dāng)時(shí)，求的解析式.（2）已知奇函數(shù)的定義域

12、是R，當(dāng)時(shí)，求的解析式.【答案】（1）；（2）例5. 定義域在區(qū)間2，2上的偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，是單調(diào)遞減的，若成立，求m的取值范圍【思路點(diǎn)撥】根據(jù)定義域知1m，m1，2，但是1m，m在2，0，0，2的哪個(gè)區(qū)間內(nèi)尚不明確，若展開討論，將十分復(fù)雜，若注意到偶函數(shù)的性質(zhì)：，可避免討論【答案】【解析】由于為偶函數(shù)，所以，因?yàn)閤0時(shí)，是單調(diào)遞減的，故，所以，解得故m的取值范圍是【總結(jié)升華】在解題過程中抓住偶函數(shù)的性質(zhì)，將1m，m轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，避免了對(duì)由于單調(diào)性不同導(dǎo)致1m與m大小不明確的討論，從而使解題過程得以優(yōu)化另外，需注意的是不要忘記定義域類型三、函數(shù)奇偶性的綜合問題例6. 已知是偶函數(shù)，且

13、在0，+）上是減函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間【思路點(diǎn)撥】本題考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求法。復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性共同決定，即“同增異減”。【答案】0，1和（，1【解析】 是偶函數(shù)，且在0，+）上是減函數(shù)，在（，0上是增函數(shù)設(shè)u=1x2，則函數(shù)是函數(shù)與函數(shù)u=1x2的復(fù)合函數(shù)當(dāng)0x1時(shí)，u是減函數(shù)，且u0，而u0時(shí)，是減函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，可得是增函數(shù)當(dāng)x1時(shí)，u是增函數(shù)，且u0，而u0時(shí)，是增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，可得是增函數(shù)同理可得當(dāng)1x0或x1時(shí)，是減函數(shù)所求的遞增區(qū)間為0，1和（，1【總結(jié)升華】（1）函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合問題主要有兩類：一類是兩個(gè)性質(zhì)交融在

14、一起（如本例），此時(shí)要充分利用奇偶函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，從而得到其對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性；另一類是兩個(gè)性質(zhì)簡(jiǎn)單組合，此時(shí)只需分別利用函數(shù)的這兩個(gè)性質(zhì)解題（2）確定復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性比較困難，也比較容易出錯(cuò)確定x的取值范圍時(shí)，必須考慮相應(yīng)的u的取值范圍本例中，x1時(shí)，u仍是減函數(shù)，但此時(shí)u0，不屬于的減區(qū)間，所以不能取x1，這是應(yīng)當(dāng)特別注意的例7. 設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=x2+|x-a|+1，xR，試討論f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.【思路點(diǎn)撥】對(duì)a進(jìn)行討論，把絕對(duì)值去掉，然后把f(x)轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)求最值問題?！敬鸢浮慨?dāng)a=0時(shí)，函數(shù)為偶函數(shù)；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)為非奇非偶函數(shù).當(dāng).【解析】當(dāng)

15、a=0時(shí)，f(x)=x2+|x|+1，此時(shí)函數(shù)為偶函數(shù)；當(dāng)a0時(shí)，f(x)=x2+|x-a|+1，為非奇非偶函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，且上單調(diào)遞增，上的最小值為f(a)=a2+1.(2)當(dāng)時(shí)，上單調(diào)遞減，上的最小值為上的最小值為綜上：.舉一反三：【變式1】 判斷的奇偶性【答案】當(dāng)時(shí)，函數(shù)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)是奇函數(shù)【解析】對(duì)進(jìn)行分類討論若，則，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù)綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)是奇函數(shù)例8. 對(duì)于函數(shù)，若存在x0R，使成立，則稱點(diǎn)（x0，x0）為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)（1）已知函數(shù)有不動(dòng)點(diǎn)（1，1），（3，3），求a，b的

16、值；（2）若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)b，函數(shù)總有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)存在（有限）n個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，求證：n必為奇數(shù)【答案】（1）a=1，b=3；（2）（0，1）；（3）略【解析】 （1）由已知得x=1和x=3是方程ax2+bxb=x的根，由違達(dá)定理a=1，b=3（2）由已知得：ax2+bxb=x（a0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，1=(b1)2+4ab0對(duì)于任意的實(shí)數(shù)b恒成立即b2+(4a2)b+10對(duì)于任意的實(shí)數(shù)b恒成立也就是函數(shù)的圖象與橫軸無交點(diǎn)又二次函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線，從而2=(4a2)240，即|4a2|2，0a1滿足題意的實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，

17、1）（3）是R上的奇函數(shù)，.令x=0，得，（0，0）是的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)設(shè)（x0，x0）（x00）是的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則又，（x0，x0）也是的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)又x0x0，的非零不動(dòng)點(diǎn)是成對(duì)出現(xiàn)的又（0，0）也是的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，若存在n個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則n必為奇數(shù)【總結(jié)升華】本例是一個(gè)信息遷移問題，解這類問題關(guān)鍵在于準(zhǔn)確理解新定義，充分利用新定義分析解決問題本例的“不動(dòng)點(diǎn)”實(shí)質(zhì)是關(guān)于x的方程的解的問題本例（3）的解決主要是結(jié)合奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱性從而得到有關(guān)的結(jié)論【鞏固練習(xí)】1 函數(shù)是( )A奇函數(shù)B偶函數(shù)C既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)2若函數(shù)是偶函數(shù)，則有 ( )A. B. C. D. 3設(shè)函

18、數(shù)，且則等于（ ）A.-3 B.3 C.-5 D. 54若偶函數(shù)在上是增函數(shù)，則下列關(guān)系式中成立的是( )ABCD5如果奇函數(shù)在區(qū)間 上是增函數(shù)且最大值為，那么在區(qū)間上是( )A增函數(shù)且最小值是 B增函數(shù)且最大值是C減函數(shù)且最大值是 D減函數(shù)且最小值是6設(shè)是定義在上的一個(gè)函數(shù)，則函數(shù)，在上一定是( )A奇函數(shù) B偶函數(shù) C既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D非奇非偶函數(shù).7設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，且，則 .8如果函數(shù)為奇函數(shù)，那么= .9設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，則不等式的解集為 10若函數(shù)是偶函數(shù)，則的遞減區(qū)間是_.11函數(shù)在R上為奇函數(shù)，且，則當(dāng)，_.12已知函數(shù)，試判斷的奇偶性.13設(shè)函數(shù)是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，判斷在上的單調(diào)性，并加以證明.14定義在上的偶函數(shù)滿足：對(duì)任意 ，有成立，試比較的大小