設(shè)而不求點(diǎn)差法

1、典型例題三、中點(diǎn)弦的有關(guān)問題（設(shè)而不求、韋達(dá)定理、點(diǎn)差法）直線與曲線的綜合問題，經(jīng)常要借用根與系數(shù)的關(guān)系，來解決弦長(zhǎng)、弦中點(diǎn)、弦斜率問題“設(shè)而不求”：通常將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去(或)，得到關(guān)于(或)的一元二次方程，再由根與系數(shù)的關(guān)系，直接求出，(或，)的值代入計(jì)算即得并不需要求出直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，這種“設(shè)而不求”的方法，在解析幾何中是經(jīng)常采用的例3 已知橢圓，求過點(diǎn)且被平分的弦所在的直線方程分析一：已知一點(diǎn)求直線，關(guān)鍵是求斜率，故設(shè)斜率為，利用條件求解法一：設(shè)所求直線的斜率為，則直線方程為代入橢圓方程，并整理得由韋達(dá)定理得是弦中點(diǎn)，故得所以所求直線方程為分析二：設(shè)弦兩端坐標(biāo)為、，列關(guān)

2、于、的方程組，從而求斜率：解法二：設(shè)過的直線與橢圓交于、，則由題意得得 將、代入得，即直線的斜率為所求直線方程為說明：（1）有關(guān)弦中點(diǎn)的問題，主要有三種類型：過定點(diǎn)且被定點(diǎn)平分的弦；平行弦的中點(diǎn)軌跡；過定點(diǎn)的弦中點(diǎn)軌跡（2）解法二是“點(diǎn)差法”，解決有關(guān)弦中點(diǎn)問題的題較方便，要點(diǎn)是巧代斜率（3）有關(guān)弦及弦中點(diǎn)問題常用的方法是：“韋達(dá)定理應(yīng)用”及“點(diǎn)差法”有關(guān)二次曲線問題也適用變式：已知橢圓，（1）求過點(diǎn)且被平分的弦所在直線的方程；（2）求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程；（3）過引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程；（4）橢圓上有兩點(diǎn)、，為原點(diǎn)，且有直線、斜率滿足，求線段中點(diǎn)的軌跡方程 解：設(shè)

3、弦兩端點(diǎn)分別為，線段的中點(diǎn)，則得由題意知，則上式兩端同除以，有，將代入得（1）將，代入，得，故所求直線方程為： 將代入橢圓方程得，符合題意，為所求（2）將代入得所求軌跡方程為： （橢圓內(nèi)部分）（3）將代入得所求軌跡方程為： （橢圓內(nèi)部分）（4）由得 ： ， ， 將平方并整理得， ， ， 將代入得： ， 再將代入式得： ， 即 此即為所求軌跡方程當(dāng)然，此題除了設(shè)弦端坐標(biāo)的方法，還可用其它方法解決變式1.雙曲線的一弦中點(diǎn)為（2，1），則此弦所在的直線方程為 （ ）A. B. C. D. 【解析】設(shè)弦的兩端分別為.則有：.弦中點(diǎn)為（2，1），.故直線的斜率.則所求直線方程為：，故選C.變式2：在雙曲

4、線上，是否存在被點(diǎn)M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直線方程；如不存在，請(qǐng)說明理由.如果不問情由地利用“設(shè)而不求”的手段，會(huì)有如下解法：【錯(cuò)解】假定存在符合條件的弦AB，其兩端分別為：A（x1，y1），B（x2，y2）.那么：.M（1，1）為弦AB的中點(diǎn)，故存在符合條件的直線AB，其方程為：.這個(gè)結(jié)論對(duì)不對(duì)呢？我們只須注意如下兩點(diǎn)就夠了：其一：將點(diǎn)M（1，1）代入方程，發(fā)現(xiàn)左式=1-1，故點(diǎn)M（1，1）在雙曲線的外部；其二：所求直線AB的斜率，而雙曲線的漸近線為.這里，說明所求直線不可能與雙曲線相交，當(dāng)然所得結(jié)論也是荒唐的.問題出在解題過程中忽視了直線與雙曲線有公共點(diǎn)的條件.【正解】在上述解法的基礎(chǔ)上應(yīng)當(dāng)加以驗(yàn)證.由這里，故方程（2）無實(shí)根，也就是所求直線不合條件.此外，上述解法還疏忽了一點(diǎn)：只有當(dāng)時(shí)才可能求出k=2.若.說明這時(shí)直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，仍不符合題設(shè)條件.結(jié)論；不存在符合題設(shè)條件的直線.變式3：設(shè)已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)